Estimations de la résolvante pour une molécule diatomique dans l'approximation de Born-Oppenheimer

HAL Id: hal-03213085

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03213085

Submitted on 30 Apr 2021

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Estimations de la résolvante pour une molécule

diatomique dans l’approximation de Born-Oppenheimer

Thierry Jecko

To cite this version:

Thierry Jecko. Estimations de la résolvante pour une molécule diatomique dans l’approximation

de Born-Oppenheimer. Communications in Mathematical Physics, Springer Verlag, 1998, 195 (3),

pp.585-612. �10.1007/s002200050403�. �hal-03213085�

Estimations de la r´ esolvante pour une mol´ ecule diatomique

dans l’approximation de Born-Oppenheimer.

Th.Jecko

¹

Fachbereich Mathematik MA 7-2, Technische Universit¨ at Berlin,

D-10623 Berlin, Germany, e-mail : [email protected]

R´ esum´ e

Making use of an adiabatic operator, that takes several electronic states into account, we derive a Born-Oppenheimer approximation of the resolvent for a di- atomic molecule. This is an improvement of a result in [KMW1]. Such a resolvent approximation is useful to obtain an adiabatic approximation of total cross-sections (see [Jec2]). The strategy we use, based on Mourre’s commutator method and on a new kind of global escape function, may be carried over to control the resolvent of some matricial Schr¨ odinger operators. In the same way, we obtain a semiclassical estimate for the resolvent of the semiclassical Dirac operator with scalar electric potential, extending a result of [Ce].

1 Introduction.

En 1927, M.Born et R.Oppenheimer introduisaient ce qui allait devenir l’approximation de Born-Oppenheimer (cf. [BO]), une approche essentielle pour la chimie mol´ eculaire. En vue de d´ ecrire les niveaux d’´ energie mol´ eculaires, leur id´ ee consistait ` a profiter du fait que les rapports de la masse de l’´ electron ` a celles des noyaux sont tr` es petits, pour effectuer des d´ eveloppements en puissances de h, un petit param` etre li´ e ` a ces rapports. En th´ eorie de la diffusion, on peut reprendre cette id´ ee, se ramener ` a une ´ etude semi-classique et profiter ainsi des d´ eveloppements r´ ecents dans ce domaine.

Le pr´ esent travail est motiv´ e par l’´ etude de l’approximation de Born-Oppenheimer de sec- tions efficaces totales pour une mol´ ecule diatomique (cf. [Jec2]). Afin de pouvoir consid´ erer des processus de diffusion in´ elastiques, on am´ eliore ici l’approximation de la r´ esolvante ob- tenue dans [KMW1]. Au moyen d’un op´ erateur adiabatique, qui prend en compte plusieurs

´

etats ´ electroniques et sous une hypoth` ese de “non-croisement” des niveaux ´ electroniques correspondants, on ´ etablit la mˆ eme approximation de la r´ esolvante que dans [KMW1],

1

previous address : D´ epartement de math´ ematiques, Universit´ e de Nantes, 44072 Nantes cedex 03,

France, e-mail : [email protected]

dans une situation plus g´ en´ erale. Comme dans [KMW1], on en d´ eduit une approximation adiabatique pour certains op´ erateurs d’onde de canal.

Ces estimations semi-classiques de r´ esolvantes sont valables pr` es d’une ´ energie non-captive pour certains hamiltoniens classiques, qui ne sont pas, comme dans [W1], les sous-hamilton- iens du syst` eme ` a N -corps. Elles sont obtenues par la m´ ethode de Mourre (cf. [Mo]).

A la diff´ erence des estimations de r´ esolvantes (cf. [PSS]), utilis´ ees dans [Ra] pour l’´ etude d’op´ erateurs d’onde et dans [CT] pour celle de l’amplitude de diffusion, les poids, inter- venant dans les pr´ esentes estimations, ne contiennent pas toutes les variables (comme dans [KMW1]). D’autre part, on se limite ici au cas o` u les potentiels sont r´ eguliers alors que des singularit´ es coulombiennes sont permises dans [KMW2] et que les potentiels sont coulombiens dans [CT] et [Ra].

En ce qui concerne l’approximation de Born-Oppenheimer, introduite dans [BO], on ren- voie le lecteur aux r´ ef´ erences indiqu´ ees dans [KMSW] et [Jec1]. Pour l’approximation de Born-Oppenheimer d´ ependante du temps, de nombreux travaux ont ´ et´ e r´ ealis´ es. On peut consulter ` a ce sujet [H] ainsi que les r´ ef´ erences cit´ ees dans ce m´ emoire.

Les d´ etails de la m´ ethode du commutateur de Mourre figurent dans [Mo] et [JMP]. Dans [T] et [W2], on trouvera des informations sur l’op´ erateur de Dirac. Enfin, signalons un travail r´ ecent (cf. [No]) sur l’amplitude de diffusion pour l’op´ erateur de Dirac avec champ magn´ etique, o` u des estimations semi-classiques de la r´ esolvante sont ´ etablies.

D´ etaillons maintenant le syst` eme ´ etudi´ e. On consid` ere une mol´ ecule diatomique ` a N

´

electrons. La m´ ecanique quantique pr´ edit que le comportement de cette mol´ ecule est donn´ e par son op´ erateur d’´ energie, l’op´ erateur auto-adjoint agissant dans L

²

( R

^3(N+2)

),

H ˜ = − 1

2m

₁

∆

_x1

− 1

2m

₂

∆

_x2

+

N+2

X

j=3

(− 1

2 ∆

_xj

) + ^X

l<j

V

_ij

(x

_l

− x

_j

),

o` u l’on a fix´ e la masse des ´ electrons (3 ≤ j ≤ N + 2) ` a 1 ainsi que la constante de Planck. Les masses respectives des deux noyaux, m

₁

et m

₂

, sont donc grandes devant 1, les fonctions r´ eelles V

_lj

repr´ esentent les interactions bilat´ erales entre particules. Plus g´ en´ eralement, on suppose que l’espace des configurations, dans lequel se meuvent les particules, est de dimension n ≥ 2. L’op´ erateur pr´ ec´ edent agit donc dans L

²

( R

^n(N+2)

).

Soit a = (A

1

, A

2

) une d´ ecomposition de {1, . . . , N + 2} en deux amas telle que j ∈ A

j

, pour j ∈ {1, 2}. En effectuant un changement de variables convenable et en retirant le mouvement du centre de masse, on se ram` ene ` a l’´ etude de l’op´ erateur

P (h) = −h

²

∆

_x

+ P

^a

(h) + I

_a

(h),

agissant dans L

²

( R

^n(N+1)

) (voir la partie 2 pour les expressions pr´ ecises de P

^a

(h) et I

_a

(h)).

Le r´ eel positif h sera un petit param` etre (cf. (1)), l’hamiltonien interne P

^a

(h) est la somme des op´ erateurs d’´ energie de chaque amas, consid´ er´ es comme isol´ es, et le potentiel inter- amas I

_a

(h) rassemble les interactions entre particules appartenant ` a deux amas diff´ erents.

La variable x ∈ R

ⁿ

repr´ esente la position relative des centres de masse des amas. Ainsi

l’op´ erateur −h

²

∆

_x

correspond ` a l’´ energie cin´ etique du mouvement relatif de ces centres de masse.

Puisque le mouvement des particules l´ eg` eres, les ´ electrons, doit ˆ etre nettement plus rapide que celui des particules lourdes, les noyaux, il est naturel d’introduire un hamiltonien

´

electronique correspondant ` a l’op´ erateur d’´ energie du syst` eme constitu´ e des N ´ electrons, en interaction entre eux et plac´ es dans le champ ext´ erieur cr´ e´ e par les noyaux, dont la position relative est li´ ee au param` etre x. On consid` ere donc la famille d’op´ erateurs {P

_e

(x; h), x ∈ R

ⁿ

, h ≤ h

₀

} d´ efinis par

P

_e

(x; h) = P

^a

(h) + I

_a

(x; h), ∀x ∈ R

ⁿ

, ∀h ≤ h

₀

. On a

P (h) = −h

²

∆

_x

+ P

_e

(h).

Les interactions bilat´ erales apparaissant dans ces op´ erateurs seront des fonctions V ∈ C

^∞

( R

ⁿ

; R ), v´ erifiant, pour un certain ρ > 0,

∀α ∈ N

ⁿ

, ∃C

α

> 0; ∀x ∈ R

ⁿ

, |∂

_x^α

V (x)| ≤ C

α

hxi

^−ρ−|α|

(D

ρ

) (avec hxi = (1 + |x|

²

)

^1/2

). On s’int´ eresse aux ´ etats du syst` eme dont l’´ evolution ressemble, asymptotiquement, ` a l’´ evolution libre d’´ etats li´ es dans A

₁

et A

₂

. Une telle ´ evolution est donn´ ee par la restriction ` a un sous-espace propre de P

^a

(h) du propagateur de l’op´ erateur

P

_a

(h) ≡ −h

²

∆

_x

+ P

^a

(h).

Soient E

1

< . . . < E

r

les r premi` eres valeurs propres du spectre discret de P

^a

(0), chaque E

_j

´ etant de multiplicit´ e m

_j

, pour j ∈ {1, · · · , r}. Pour chaque j , on suppose qu’il y a exactement m

_j

“courbes” x 7→ λ

_jl

(x; 0), pour l ∈ {1, · · · , m

_j

}, de valeurs propres λ

_jl

(x; 0) de P

e

(x; 0) (r´ ep´ et´ ees autant que leur multiplicit´ e), qui tendent vers E

j

lorsque |x| → ∞. De plus, on suppose que ces applications x 7→ λ

_jl

(x; 0), ` a valeurs dans le spectre σ(P

_e

(x; 0)) de P

_e

(x; 0), sont globalement d´ efinies sur R

ⁿ

. Soit Π

_j0

(0) le projecteur spectral de P

^a

(0), associ´ e ` a E

j

, et, pour tout x ∈ R

ⁿ

, soit Π

j

(x; 0) celui de P

e

(x; 0), associ´ e aux λ

jl

(x; 0), pour l ∈ {1, · · · , m

_j

}.

D´ efinition 1. Pour δ > 0 et pour tout j ∈ {1, · · · , r}, on consid` ere la condition (H

_j,δ

) suivante : il existe des fonctions e

_j,±

et E

_j,±

et des nombres r´ eels h

_j,δ

> 0 tels que, pour tout h ≤ h

_j,δ

,



 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 



x∈

inf

Rⁿ

E

j,±

(x) − e

j,±

(x)

≥ δ.

∀x ∈ R

ⁿ

, e

j,−

(x) < E

j,−

(x) < e

_j,+

(x) < E

_j,+

(x),

∀x ∈ R

ⁿ

, λ

j1

(x; 0), . . . , λ

jmj

(x; 0) ∈ ]E

j,−

(x); e

j,+

(x)[,

∀x ∈ R

ⁿ

, σ

P

_e

(x; h)

∩

[e

j,−

(x); E

j,−

(x)] ∪ [e

_j,+

(x); E

_j,+

(x)]

= ∅.



 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 



(H

_j,δ

)

Sous la condition pr´ ec´ edente, pour le mˆ eme δ et pour h

_δ

= min

1≤j≤r

h

_j,δ

, en notant par 1 I

_{]Ej,−(x),ej,+(x)[}

la fonction caract´ eristique de l’intervalle ]E

_j,−

(x), e

_j,+

(x)[, on introduit la condition suivante. Il existe un R

₀

> 0 tel que, pour tout |x| ≥ R

₀

et tout h ∈ [0, h

_δ

],

dim Im 1 I

_{]Ej,−(x),ej,+(x)[}

P

_e

(x; h)

!

= m

_j

. (H

_j,δ

)

⁰

Si ces conditions (H

_j,δ

) et (H

_j,δ

)

⁰

sont satisfaites, pour un certain δ > 0, on dira que E

_j

v´ erifie l’hypoth` ese de stabilit´ e semi-classique.

Sous cette hypoth` ese de stabilit´ e semi-classique, pour tout j, on peut trouver une fa- mille (Γ(x))

x∈Rⁿ

, de contours complexes ind´ ependant de h et entourant toutes les valeurs propres λ

_jl

(x; 0) (1 ≤ l ≤ m

_j

, 1 ≤ j ≤ r). Grˆ ace ` a ces contours, on peut exprimer, au moyen d’une formule de Cauchy, le projecteur spectral Π

₀

(0) de P

^a

(0), associ´ e aux valeurs propres {E

1

, . . . , E

r

}, et le projecteur spectral Π(x; 0) de P

e

(x; 0), associ´ e aux valeurs propres {λ

_jl

(x; 0), 1 ≤ j ≤ r, 1 ≤ l ≤ m

_j

}. Pour h suffisamment petit, on peut d´ efinir un projecteur spectral Π

₀

(h) (respectivement Π(x; h)) de P

^a

(h) (respectivement P

e

(x; h)) par la mˆ eme formule de Cauchy (cf. partie 2). Au moyen d’une int´ egrale directe, on d´ efinit un op´ erateur fibr´ e Π(h) par

Π(h) =

Z

⊕ Rⁿ

Π(x; h) dx.

Maintenant, on peut introduire la partie adiabatique de P (h) P

^AD

(h) = Π(h)P (h)Π(h).

Sous l’hypoth` ese (D

_ρ

), pour ρ > 0, l’op´ erateur P

^AD

(h) est auto-ajoint (cf. [CDS]). On note par R

^AD

(z; h) sa r´ esolvante et par R(z; h) celle de P (h). L’objectif essentiel de ce travail est d’approcher la valeur au bord de la r´ esolvante R(z; h) par celle de R

^AD

(z; h).

Avant d’´ enoncer le r´ esultat principal de ce travail, on introduit des notions importantes.

D´ efinition 2. Pour j ∈ {1, · · · , r}, on dit que E

j

v´ erifie la condition de “non- croisement” si les valeurs propres, qui tendent vers E

_j

lorsque |x| → ∞, v´ erifient

∀x ∈ R

ⁿ

, λ

_j1

(x; 0) < . . . < λ

_jl(j)

(x; 0) pour un certain l(j ) ∈ {1, · · · , m

_j

}.

D´ efinition 3. Etant donn´ ´ es un hamiltonien classique p : R

²ⁿ

−→ R et une ´ energie E ∈ R , on note par p

⁻¹

(E) la surface d’´ energie E

p

⁻¹

(E) ≡

(x, ξ) ∈ R

²ⁿ

; p(x, ξ) = E

.

On dit que l’´ energie E est non-captive pour l’hamiltonien classique p si l’on a

∀(x, ξ) ∈ p

⁻¹

(E), lim

t→+∞

kΦ

^t

(x, ξ)k = ∞ et lim

t→−∞

kΦ

^t

(x, ξ)k = ∞,

Φ

^t

d´ esignant le flot hamiltonien associ´ e ` a p et k · k la norme euclidienne sur R

²ⁿ

. Un intervalle I est dit non-captif pour l’hamiltonien classique p si toute ´ energie E ∈ I l’est.

Une fonction a : R

²ⁿ

−→ R , de classe C

¹

, est une fonction fuite globale pour l’hamil- tonien classique p ` a l’´ energie E ∈ R , s’il existe > 0 et C > 0 tels que

∀(x, ξ) ∈ p

⁻¹

]E − , E + [

, ∀t ∈ R , d dt

(a◦Φ

^t

)(x, ξ)

≥ C.

Notons que, dans ce cas, l’´ energie E doit ˆ etre non-captive pour p.

Th´ eor` eme 4. On suppose que les potentiels v´ erifient (D

_ρ

) pour ρ > 0. Soit E

₁

< . . . <

E

r

∈ σ

disc

(P

^a

(0)) les r premi` eres valeurs propres du spectre discret de P

^a

(0). On sup- pose que l’hypoth` ese de stabilit´ e semi-classique (cf. D´ efinition 1) et la condition de “non- croisement” (cf. D´ efinition 2) sont satisfaites pour tout j. Soit E 6∈ {0} ∪ {E

_j

, 1 ≤ j ≤ r}

une ´ energie non-captive pour chaque hamiltonien classique |ξ|

²

+ λ

jl

(x; 0), pour 1 ≤ j ≤ r et 1 ≤ l ≤ l(j) (cf. D´ efinition 3).

1. Pour tout voisinage compact Λ de E, assez petit, et pour tout s > 1/2,

khxi

^−s

R

^AD

(λ ± i0; h)hxi

^−s

k = O(h

⁻¹

), (1) pour h assez petit, uniform´ ement pour λ ∈ Λ.

2. On suppose que

E < E

^AD

≡ inf

x∈Rⁿ

inf

(

σ

P

_e

(x; 0)

\ {λ

_jl

(x; 0), ∀j, l}

)

. (2)

Pour tout voisinage compact Λ de E, assez petit, et pour tout s > 1/2, on a, pour h assez petit et uniform´ ement pour λ ∈ Λ,

hxi

^−s

R(λ ± i0; h) − ΠR

^AD

(λ ± i0; h)

hxi

^−s

= O(1), (3)

pour ρ > 1, et

khxi

^−s

R(λ ± i0; h)hxi

^−s

k = O(h

⁻¹

), (4) pour ρ > 0.

Remarque 5. Dans [KMW1], il est ´ etabli que l’estimation (1) implique l’approximation (3) (et donc aussi l’estimation (4)) pour des potentiels ` a courte port´ ee (ρ > 1). De plus, dans le Th´ eor` eme 3.2 de [KMW1], des conditions suffisantes relatives ` a un op´ erateur conjugu´ e sont d´ egag´ ees pour obtenir l’estimation (1) et cette derni` ere est d´ emontr´ ee dans le cas o` u r = 1. Ici, on obtient ces conditions suffisantes dans le cas o` u les valeurs propres E

_j

, pour j > 1, ne sont pas simples (a priori).

D’autre part, signalons que la condition de non-capture sur E impose que, pour tout j , E 6∈ [inf

x,l

λ

_jl

(x; 0); E

_j

].

Pour l’´ etude semi-classique des op´ erateurs d’onde de canal (cf. Th´ eor` eme 17) et pour celle des sections efficaces totales (cf. [Jec2]), lorsque ρ > 1, il convient de pouvoir consid´ erer une ´ energie E telle que E > E

_r

. Dans ce cas, on a besoin de la condition

E

_r

< E

^AD

≡ inf

x∈Rⁿ

inf

(

σ

P

_e

(x; 0)

\ {λ

_jl

(x; 0), ∀j, l}

)

, (5)

pour avoir l’approximation (3) et donc l’estimation (4).

Remarque 6. En comparant ce r´ esultat avec les estimations semi-classiques de [W1], on est en droit de se demander si cette condition de “non-croisement” est superflue.

Si un croisement a lieu dans la zone classiquement interdite, c’est-` a-dire ` a une ´ energie strictement sup´ erieure ` a E, i.e.

∃k 6= l; C ≡

x ∈ R

ⁿ

; λ

jk

(x; 0) = λ

jl

(x; 0)

6= ∅

et il existe > 0 tel que, pour tout x ∈ C,

λ

_jk

(x; 0) ≥ E + ,

il ne change pas le r´ esultat (mˆ eme si l’on doit introduire quelques modifications dans la preuve du Th´ eor` eme 4, cf. Remarque 16). En revanche, si des ´ energies du croisement sont inf´ erieures ` a E, il semble que l’on ne puisse pas toujours construire une fonction

“multi-fuite” globale.

Le probl` eme pourrait ˆ etre ´ eclairci par l’´ etude des r´ esonances pour des op´ erateurs de Schr¨ odinger ` a potentiel matriciel avec croisement des valeurs propres λ

_j

(x) du potentiel, comme dans [Ne], mais pr` es d’une ´ energie non-captive pour chaque hamiltonien classique

|ξ|

²

+ λ

_j

(x). Pour un autre aspect de ce probl` eme, voir la Remarque 1.3 dans [Jec2].

A partir de l’approximation (3) du Th´ eor` eme 4 (donc pour ρ > 1), on ´ etablit, dans la bande d’´ energie [E

_r

, E

^AD

], l’approximation des op´ erateurs d’onde de canal

Ω

±

(h) = s − lim

t→±∞

e

^ih−1tP(h)

e

^{−ih−1tPa(h)}

Π

0

(h) (qui existent, cf. [RS3]) par les op´ erateurs d’onde adiabatiques

Ω

^AD_±

(h) = s − lim

t→±∞

e

^{ih−1tPAD(h)}

e

^{−ih−1tPa(h)}

Π

₀

(h).

Ce r´ esultat (cf. Th´ eor` eme 17) constitue une am´ elioration du r´ esultat correspondant dans [KMW1]. Signalons qu’une autre am´ elioration a ´ et´ e obtenue dans [KMW2], o` u des singu- larit´ es coulombiennes dans les potentiels sont permises.

Pour la preuve du Th´ eor` eme 4, on adopte la strat´ egie suivie dans [KMW1]. Cette strat´ egie

a ´ et´ e utilis´ ee pour la premi` ere fois dans [GM] pour obtenir une preuve rapide de l’esti-

mation semi-classique de la r´ esolvante d’op´ erateurs de Schr¨ odinger ` a deux corps, initia-

lement ´ etablie dans [RT]. Pour obtenir une estimation semi-classique de la r´ esolvante

d’un op´ erateur de Schr¨ odinger H, on utilise la m´ ethode du commutateur de Mourre (cf.

[Mo], [JMP]). Il s’agit donc de trouver un op´ erateur conjugu´ e A de sorte que le commu- tateur ih

⁻¹

[H, A] soit strictement positif, dans un certain sens. L’id´ ee d´ evelopp´ ee dans [GM] consiste ` a construire une fonction fuite globale (cf. D´ efinition 3) pour l’hamilto- nien classique associ´ e ` a H et, en gros, de choisir comme op´ erateur conjugu´ e l’op´ erateur pseudo-diff´ erentiel de Weyl de symbole la fonction fuite globale.

Dans le pr´ esent travail, on introduit un type particulier de fonction fuite globale. ´ Etant donn´ ee une famille d’hamiltoniens classiques, on veut construire une fonction, qui soit une fonction fuite globale pour chaque hamiltonien classique, une fonction “multi-fuite”

globale. Pour les hamiltoniens classiques |ξ|

²

+ λ

_jl

(x; 0) (1 ≤ j ≤ r, 1 ≤ l ≤ l(j)), in- tervenant dans le Th´ eor` eme 4, on utilise la condition de “non-croisement”, introduite dans la D´ efinition 2, pour prouver l’existence d’une telle fonction. Pourquoi ne pas sim- plement utiliser une fonction fuite pour chaque hamiltonien classique ? Parce que, dans ce cas, un terme particulier, figurant dans l’estimation de Mourre semi-classique, semble incontrˆ olable (cf. Remarque 14). A ce sujet, voir aussi la Remarque 21.

Une telle fonction “multi-fuite” globale semble ˆ etre un bon outil pour obtenir des estima- tions semi-classiques de r´ esolvante pour des op´ erateurs matriciels. Par exemple, on ´ etablit une telle estimation pour la r´ esolvante d’un op´ erateur de Schr¨ odinger ` a deux corps avec un potentiel matriciel ` a longue port´ ee. Pour l’op´ erateur de Dirac avec champ ´ electrique scalaire ` a longue port´ ee, on obtient ´ egalement un contrˆ ole semi-classique de la r´ esolvante, comme dans [Ce], mais sous des hypoth` eses plus faibles sur le potentiel. C’est l’objet du Th´ eor` eme 7. On utilise les notations de la partie 5. En particulier, on note par D l’op´ erateur de Dirac. On suppose que le champ ´ electrique scalaire V est r´ eel et satis- fait la condition (D

ρ

) pour un certain ρ > 0. Soit λ

0

> 1 une ´ energie non-captive (cf.

D´ efinition 3) pour l’hamiltonien classique hξi + V (x) telle que λ

0

>

x∈

inf

R³

V (x)

− 1. (6)

Pour tout voisinage compact Λ de λ

₀

, assez petit, et pour tout s > 1/2,

hxi

^−s

(λ ± i0)I

4

− D

−1

hxi

^−s

= O(h

⁻¹

), pour h assez petit et uniform´ ement pour λ ∈ Λ.

Remarque 8. Ce Th´ eor` eme 7 est encore valable si λ

0

< −1 est non-captive pour l’ha- miltonien classique −hξi + V (x) et v´ erifie

λ

0

<

x∈

inf

R³

V (x)

+ 1.

Ce travail est organis´ e de la fa¸con suivante. Dans la partie 2, on rappelle des propri´ et´ es

de base, obtenues dans [KMW1], sur les projecteurs Π(x; h). La partie 3 est d´ evolue ` a

la preuve du Th´ eor` eme 4. On obtient l’approximation adiabatique des op´ erateurs d’onde

de canal dans la partie 4. Enfin, dans la partie 5, on consid` ere le cas d’un op´ erateur de Schr¨ odinger matriciel et on am´ eliore le r´ esultat de [Ce] sur l’op´ erateur de Dirac.

REMERCIEMENTS.

L’auteur exprime sa profonde gratitude envers X.P. Wang, pour son soutient constant et ses nombreux conseils (en particulier, il signala que la m´ ethode utilis´ ee dans la partie 3 devait s’appliquer ` a l’op´ erateur de Dirac). L’auteur remercie J.M. Combes et A. Martinez pour leurs remarques et l’int´ erˆ et qu’ils ont port´ e ` a ce travail.

L’auteur tient aussi ` a remercier les membres du d´ epartement de math´ ematiques de la TU Berlin pour leur hospitalit´ e et en particulier V. Bach.

L’auteur est soutenu financi` erement par le programme europ´ een TMR de la Commission Europ´ eenne, intitul´ e :“ Network Postdoctoral training programme in partial differential equations and application in quantum mechanics”.

Table des mati` eres

1 Introduction. 1

2 Pr´ eliminaires. 8

3 Estimation semi-classique de la r´ esolvante de P . 13

4 Approximation semi-classiques des op´ erateurs d’onde de canal. 20 5 Autres utilisations d’une fonction fuite ou “multi-fuite” globale. 23

2 Pr´ eliminaires.

Dans cette partie, on introduit des notations et on ´ etablit quelques propri´ et´ es de l’hamilto- nien ´ electronique. En particulier, ces propri´ et´ es permettent de d´ efinir P

^AD

comme op´ erateur auto-adjoint (cf. [CDS]). Les arguments utilis´ es ici proviennent essentiellement de [KMW1].

Tout d’abord, donnons l’expression exacte des op´ erateurs P

^a

(h) et I

_a

(x; h). Tandis que

la variable x ∈ R

ⁿ

rep` ere la position relative des centres de masse des amas, on prend des

coordonn´ ees atomiques dans chaque amas. On obtient ainsi N variables internes que l’on

d´ esigne par y ∈ R

^nN

. Pour k ∈ {1, 2}, notons par A

⁰_k

l’ensemble des ´ electrons de l’amas

A

k

, par |A

⁰_k

| le cardinal de cet ensemble et par M

k

= m

k

+ |A

⁰_k

| la masse totale de l’amas

A

_k

. Le petit param` etre h est alors donn´ e par h =

1

2M

₁

+ 1 2M

₂

1/2

. (1)

On a

P

^a

(h) =

2

X

k=1



 X

j∈A⁰_k

− 1

2 ∆

_yj

+ V

_kj

(y

_j

)

− 1 2m

_k

X

l,j∈A⁰_k

∇

_yl

· ∇

_yj

+ 1 2

X

l,j∈A⁰_k

V

_lj

(y

_l

− y

_j

)





et

I

_a

(x; h) = ^P

l∈A⁰₁,j∈A⁰₂

V

_lj

(y

_l

− y

_j

+ x + f

₂

− f

₁

) + ^P

l∈A⁰₁

V

_l2

(x − f

₁

+ f

₂

− y

_l

)

+ ^P

j∈A⁰₂

V

_1j

(x − f

₁

+ f

₂

− y

_j

) + V

₁₂

(x − f

₁

+ f

₂

), o` u les quantit´ es f

_k

=

_M¹

k

P

j∈A⁰

k

y

_j

, pour k ∈ {1, 2}, d´ ependent de h. Pour l < j, on a pos´ e V

_jl

(z) = V

_lj

(−z). Notons par P

_HE

le terme de Hughes-Eckart suivant

P

HE

≡ −

2

X

k=1

1 2m

_k

X

l,j∈A⁰_k

∇

y_l

· ∇

yj

(le “ · ” d´ esigne le produit scalaire des gradients).

Comme l’op´ erateur P

^a

(h) converge vers P

^a

(0), lorsque h → 0, en norme des r´ esolvantes, il existe, pour tout j, m

j

valeurs propres E

jl

(h) de P

^a

(h) qui convergent vers E

j

, quand h → 0. Soit Π

_j0

(h) le projecteur spectral de P

^a

(h) associ´ e ` a ces m

_j

valeurs propres.

Rappelons que, dans l’introduction, on a suppos´ e que, pour tout j , m

_j

valeurs propres λ

jl

(x; 0) de P

e

(x; 0) tendent vers E

j

.

Sous l’hypoth` ese de stabilit´ e semi-classique (cf. D´ efinition 1), pour tout j, on peut trouver (Γ

j

(x))

x∈Rⁿ

, une famille de contours complexes, ind´ ependants de h, qui entourent tous les λ

_jl

(x; 0) (1 ≤ l ≤ m

_j

) de sorte que l’on ait

x∈

inf

Rⁿ

d

σ(P

_e

(x; h)), Γ

_j

(x)

≥ δ/2,

pour tout h ∈ [0; h

δ

]. Comme λ

jl

(x; 0) → E

j

(|x| → ∞), on est en droit de choisir ces contours tels que

Γ

j

(x) =

z ∈ C ; |z − E

j

| = δ/2

≡ Γ

j

(∞), (2)

pour |x| ≥ R

₁

, pour un certain R

₁

≥ R

₀

, ind´ ependant de j. Ainsi, pour δ et h

_δ

assez petits, on peut ´ ecrire, pour tout h ∈ [0; h

_δ

],

Π

_j0

(h) = 1 2iπ

Z

Γj(∞)

(z − P

^a

(h))

⁻¹

dz (3)

et, pour tout x ∈ R

ⁿ

, le projecteur spectral de P

_e

(x; 0), associ´ e aux valeurs propres λ

_jl

(x; 0) (1 ≤ l ≤ m

_j

), est donn´ e, grˆ ace ` a (H

_j,δ

), par

Π

_j

(x; 0) = 1 2iπ

Z

Γj(x)

(z − P

_e

(x; 0))

⁻¹

dz.

En s’appuyant encore sur (H

_j,δ

), on d´ efinit, pour tout x ∈ R

ⁿ

et tout h ∈ [0; h

_δ

], Π

_j

(x; h) = 1

2iπ

Z

Γj(x)

(z − P

_e

(x; h))

⁻¹

dz. (4) D’apr` es (H

_j,δ

)

⁰

, l’op´ erateur Π

_j

(x; h) est, pour |x| assez grand, le projecteur spectral de P

_e

(x; h), associ´ e ` a certaines valeurs propres λ

_j1

(x; h), . . . , λ

_jmj

(x; h), dont la multiplicit´ e totale est m

_j

. Dans la Proposition 11, on montre que ces valeurs propres sont globalement d´ efinies et proches des λ

_j1

(x; 0), . . . , λ

_jmj

(x; 0).

De fa¸con analogue, on peut trouver (Γ(x))

_x∈Rⁿ

, une famille de contours complexes, ind´ ependants de h, qui entourent tous les λ

_jl

(x; 0) (1 ≤ l ≤ m

_j

, 1 ≤ j ≤ r). On peut ´ egalement les choisir de sorte que l’on ait, pour |x| assez grand,

Γ(x) =

z ∈ C ; inf

1≤j≤r

|z − E

_j

| = δ/2

≡ Γ(∞). (5)

Comme dans l’introduction, on pose, pour h assez petit, Π

₀

(h) = 1

2iπ

Z

Γ(∞)

(z − P

^a

(h))

⁻¹

dz, (6)

Π(x; h) = 1 2iπ

Z

Γ(x)

(z − P

_e

(x; h))

⁻¹

dz. (7)

En particulier, on a, pour tout (x; h), Π

0

(h) =

r

X

j=1

Π

j0

(h) et Π(x; h) =

r

X

j=1

Π

j

(x; h).

Donnons maintenant des propri´ et´ es de r´ egularit´ e et de d´ ecroissance ` a l’infini de ces pro- jecteurs. A partir des formules de Cauchy pr´ ec´ edentes, on voit que ce sont des fonctions C

^∞

car les potentiels le sont. Grˆ ace ` a la d´ ecroissance exponentielle des fonctions propres de l’op´ erateur P

^a

(0) associ´ ees aux valeurs propres E

_j

(cf. [A]), ces projecteurs poss` edent les propri´ et´ es suivantes.

Proposition 9. Sous la condition (D

_ρ

) (ρ > 0) et sous l’hypoth` ese de stabilit´ e semi- classique (cf. D´ efinition 1), on a les estimations suivantes, pour tout 1 ≤ j ≤ r,

∀α ∈ N

ⁿ

, ∃D

_α

> 0; ∀x ∈ R

ⁿ

,

∂

_x^α

Π

_j

(x; h) − Π

_j0

(h)

≤ D

_α

hxi

^−ρ−|α|

,

∀α ∈ N

ⁿ

, ∃D

_α

> 0; ∀x ∈ R

ⁿ

,

(∂

_x^α

I

_a

)(x; h)Π

_j0

(h)

+

(∂

_x^α

I

_a

)(x; h)Π

_j

(x; h)

≤ D

_α

hxi

^−ρ−|α|

,

(8)

Π

_j

(x; h)P

_e

(x; h)Π

_j

(x; h) − Π

_j

(x; h)P

^a

(h)Π

_j0

(h)

= O(hxi

^−ρ

), (9) uniform´ ement pour h ∈ [0, h

_δ

], h

_δ

assez petit. Ici, k · k d´ esigne la norme de L(L

²

( R

^nNy

)).

Les op´ erateurs Π(x; h) v´ erifient des propri´ et´ es analogues.

D´ emonstration : On suit essentiellement les arguments de [KMW1]. Voir [Jec1].

Remarque 10. Signalons une propri´ et´ e importante, commune aux fonctions r´ eguli` eres ` a valeurs projecteur. Pour tout (x; h),

Π(x; h)(∇

x

Π)(x; h)Π(x; h) = 0.

En effet, puisqu’il s’agit de projecteurs, on peut ´ ecrire 0 = Π(x; h)

∇

x

Π

²

(x; h) − Π(x; h)

Π(x; h) = Π(x; h)(∇

x

Π)(x; h)Π(x; h).

Comme on l’a d´ ej` a signal´ e, on va voir que les valeurs propres λ

_j1

(x; h), . . . , λ

_jmj

(x; h) se prolongent ` a R

ⁿ

et que l’on sait les localiser. C’est l’objet de la

Proposition 11. Pour tout 1 ≤ j ≤ r, on suppose que E

_j

v´ erifie l’hypoth` ese de sta- bilit´ e semi-classique (cf. D´ efinition 1) pour un r´ eel δ > 0. Pour h ∈ [0, h

δ

], h

δ

as- sez petit, pour tout x ∈ R

ⁿ

, il existe alors exactement m

_j

valeurs propres de P

_e

(x; h), λ

_j1

(x; h), . . . , λ

_jmj

(x; h), chacune r´ ep´ et´ ee autant que sa multiplicit´ e, telles que

∀l ∈< 1, m >, λ

_jl

(x; h) = λ

_jl

(x; 0) + O(h

²

),

uniform´ ement en x. Le spectre de l’op´ erateur P

_e

(x; h) poss` ede donc la propri´ et´ e suivante.

Pour tout 1 ≤ j ≤ r, pour tout x ∈ R

ⁿ

et tout h ∈ [0, h

_δ

], d {λ

_j1

(x; h), . . . , λ

_jmj

(x; h)}, σ

P

_e

(x; h)

\ {λ

_j1

(x; h), . . . , λ

_jmj

(x; h)}

!

≥ δ/3. (10)

D´ emonstration : On reprend la preuve de [KMW1] et on renvoie pour certaines ´ etapes

`

a l’annexe D de [Jec1]. Cette proposition est bas´ ee sur l’estimation

kΠ

_j

(x; h) − Π

_j

(x; 0)k = O(h

²

), uniform´ ement en x. (11) D’apr` es la relation (4), on est ramen´ e ` a ´ etudier, pour z ∈ Γ

_j

(x), l’op´ erateur

P

e

(x; h) − P

e

(x; 0)

z − P

e

(x; h)

−1

. Notons tout de suite que, uniform´ ement en x et z ∈ Γ(x),

P

_HE

z − P

_e

(x; h)

−1

= O(h

²

).

Il reste donc ` a examiner la contribution du potentiel inter-amas I

_a

qui est du type

V

x + L

_h

(y) + L(y)

− V

x + L(y)

z − P

_e

(x; h)

−1

o` u L

_h

, L sont des applications lin´ eaires de R

^nN

dans R

ⁿ

avec kL

_h

k = O(h

²

) et L ind´ ependant de h, et o` u V v´ erifie (D

ρ

). On pense utiliser une formule de Taylor en h. On voit alors apparaˆıtre un terme L

_h

(y) que l’on “absorbe” en projettant sur ImΠ

_j

(x; h), grˆ ace ` a la d´ ecroissance exponentielle des fonctions propres de P

^a

(0), associ´ ees ` a la valeur propre E

_j

(cf. [A]). On obtient ainsi

Π

_j

(x; h) − Π

_j

(x; 0)

Π

_j

(x; h)

+

Π

_j

(x; h) − Π

_j

(x; 0)

Π

_j

(x; 0)

= O(h

²

), d’o` u l’on tire (11), puisque l’on manipule des projecteurs.

Pour h assez petit, Π

_j

(x; h) et Π

_j

(x; 0) ont mˆ eme rang, pour tout x ∈ R

ⁿ

. Le projecteur Π

_j

(x; h) est donc le projecteur spectral de P

_e

(x; h) associ´ e ` a λ

_j1

(x; h), . . . , λ

_jmj

(x; h), m

_j

valeurs propres, chacune r´ ep´ et´ ee autant que sa multiplicit´ e. L’hypoth` ese de stabilit´ e semi- classique implique la propri´ et´ e (10) pour P

_e

(x; h).

On montre maintenant que les λ

_jl

(x; h) sont proches des λ

_jl

(x; 0). Des arguments pr´ ec´ edents r´ esulte aussi l’estimation

P

_e

(x; h) − P

_e

(x; 0)

Π

_j

(x; 0)

+

P

_e

(x; h) − P

_e

(x; 0)

Π

_j

(x; h)

= O(h

²

), qui permet, conjointement avec (11), d’´ ecrire

Π

_j

(x; h)P

_e

(x; h)Π

_j

(x; h) − Π

_j

(x; 0)P

_e

(x; 0)Π

_j

(x; 0)

= O(h

²

).

En utilisant une formule de “minimax”, on obtient le r´ esultat cherch´ e (cf. [Jec1]).

Sous l’hypoth` ese de “non-croisement” pour chaque j , il y a l(j) fonctions λ

_jl

(·; 0) qui tendent vers E

_j

` a l’infini et chaque λ

_jl

(·; 0) est de multiplicit´ e constante. On peut donc contruire une famille {Γ

_jl

(x), x ∈ R

ⁿ

} de contours dans C telle que

Π

_jl

(x; 0) = 1 2iπ

Z

Γ_jl(x)

(z − P

_e

(x; 0))

⁻¹

dz

soit le projecteur spectral associ´ e ` a λ

_jl

(x; 0). Ces projecteurs sont aussi de classe C

^∞

ainsi que les valeurs propres correspondantes en vertu de la relation

λ

_jl

(x; 0) = 1 m

_j

T r

Π

_jl

(x; 0)P

_e

(x; 0)

o` u T r d´ esigne la trace. A la diff´ erence des contours pr´ ec´ edents, le p´ erim` etre de ceux-ci tend vers 0 lorsque x tend vers l’infini (si la valeur propre E

_j

est multiple). Malgr´ e cela, ces valeurs propres λ

_jl

(x; 0) v´ erifient la condition (D

⁰_ρ

) suivante

∀α ∈ N

ⁿ

; |α| ≤ 1, ∃C

_α

> 0; ∀x ∈ R

ⁿ

,

∂

_x^α

λ

_jl

(x; 0) − E

_j

≤ C

_α

hxi

^−ρ−|α|

, (D

⁰_ρ

)

(il s’agit du ρ de l’hypoth` ese (D

_ρ

) v´ erifi´ ee par les potentiels). Pour confirmer ce point, on va s’appuyer sur [K]. Comme dans la preuve de la Proposition 11, les λ

_j

(x; 0) sont, pour

|x| assez grand, les valeurs propres de la matrice sym´ etrique M(x) repr´ esentant P

_e

(x; 0) dans la base (Π(x; 0)φ

_k

)

1≤k≤m

, o` u (φ

_k

)

1≤k≤m

est une base orthonorm´ ee de ImΠ

₀

(0). Les coefficients a

_kl

(x) de M (x) v´ erifient

∂

_x^α

a

_kl

(x) − δ

_kl

= O(hxi

^−ρ−|α|

)

pour tout α ∈ N

ⁿ

grˆ ace ` a la Proposition 9. D’apr` es [K] page 111, les λ

j

(x; 0) v´ erifient la condition (D

⁰_ρ

).

Enfin, l’op´ erateur P (h) est auto-adjoint sur le domaine du laplacien dans L

²

( R

^n(N+1)

), not´ e D(P (h)). En utilisant la Proposition 9 et les arguments de [CDS], on v´ erifie (cf.

[Jec1]) que les op´ erateurs

P

^AD

(h) = Π(h)P (h)Π(h) et P

_j^AD

(h) = Π

_j

(h)P (h)Π

_j

(h), pour tout j, sont auto-adjoints sur les domaines respectifs

φ ∈ L

²

( R

^n(N+1)

); Π(h)φ ∈ D

P (h)

,

φ ∈ L

²

( R

^n(N+1)

); Π(h)φ ∈ D

P (h)

.

3 Estimation semi-classique de la r´ esolvante de P .

L’objet de cette partie est d’´ etablir, dans les conditions de la partie 2 pr´ ec´ edente, l’approxi- mation adiabatique de la r´ esolvante totale pour certaines ´ energies (cf. Th´ eor` eme 4). A la diff´ erence de [KMW1] o` u le projecteur Π est de rang 1, on est amen´ e ici ` a construire une fonction “multi-fuite” globale, c’est-` a-dire une fonction qui est simultan´ ement une fonction fuite globale pour plusieurs hamiltoniens classiques.

Pour obtenir le Th´ eor` eme 4, on montre l’estimation de Mourre suivante.

Proposition 12. On suppose que les potentiels v´ erifient (D

ρ

) pour un r´ eel ρ > 0. Soit E

₁

< . . . < E

_r

∈ σ

_disc

(P

^a

(0)) v´ erifiant chacune l’hypoth` ese de stabilit´ e semi-classique (cf.

D´ efinition 1) et l’hypoth` ese de “non-croisement” (cf. D´ efinition 2). Pour toute ´ energie E 6∈ {0} ∪ {E

_j

, 1 ≤ j ≤ r}, non-captive pour chaque hamiltonien classique |ξ|

²

+ λ

_jl

(x; 0) (cf. D´ efinition 3), 1 ≤ j ≤ r et 1 ≤ l ≤ l(j), il existe un op´ erateur F

^AD

(h) tel que

[P

^AD

(h), F

^AD

(h)], F

^AD

(h)

(P

^AD

(h) + i)

⁻¹

= O(h

²

), (1) qui v´ erifie l’estimation de Mourre

χ

P

^AD

(h)

i[P

^AD

(h), F

^AD

(h)]χ

P

^AD

(h)

≥ αhχ

²

P

^AD

(h)

(2)

avec χ = 1 I

]E−δ,E+δ[

, δ > 0 et α > 0 ind´ ependants de h.

D´ emonstration : L’hypoth` ese de non-capture impose, pour tout j, E 6∈ [inf

x,l

λ

_jl

(x; 0); E

_j

].

Soit s le plus grand entier j tel que E

_j

< E. On adopte la strat´ egie utilis´ ee dans [KMW1].

Pour chaque hamiltonien classique |ξ|

²

+λ

_jl

(x; 0)−E

_j

, il est naturel de construire une fonc- tion fuite globale (cf. D´ efinition 3) comme dans [GM]. Cependant, on pr´ ef` ere construire ici une fonction a qui soit une fonction fuite globale pour chaque hamiltonien classique

|ξ|

²

+ λ

_jl

(x; 0) − E

_j

(j ≤ s) ` a l’´ energie E − E

_j

> 0. Sous les hypoth` eses de cette Proposi- tion 12, l’existence d’une telle fonction “multi-fuite” globale est donn´ ee par le

Lemme 13. On consid` ere des potentiels (V

_j

)

1≤j≤q

de C

^∞

( R

ⁿ

; R ), v´ erifiant (D

_ρ⁰

) pour un r´ eel ρ > 0. Pour tout j, soit λ

_j

> 0 une ´ energie de non-capture pour l’hamiltonien classique p

_j

(x, ξ) = |ξ|

²

+ V

_j

(x). Sous l’hypoth` ese de “non-croisement”

j 6= k = ⇒

∀x ∈ R

ⁿ

, V

_j

(x) − λ

_j

6= V

_k

(x) − λ

_k

(3) il existe une fonction qui est, simultan´ ement pour tout j , une fonction fuite globale ` a l’´ energie λ

_j

pour l’hamiltonien p

_j

(cf. D´ efinition 3).

D´ emonstration : D’apr` es [GM], il existe R > 0, C

₀

> 0 et > 0 tels que, pour tout j, – {p

_j

, x · ξ} ≥ λ

_j

/2 pour |x| ≥ R et (x, ξ) ∈ p

⁻¹_j

(]λ

_j

− ; λ

_j

+ [),

– il existe a

j

∈ C

^∞

( R

²ⁿ

) de la forme :

a

_j

(x, ξ) = x · ξ + C

_j

χ

_j

(x)f

_j

(x, ξ) o` u C

_j

> 0, χ

_j

∈ C

₀^∞

( R

ⁿ

), χ

_j

f

_j

∈ C

₀^∞

( R

²ⁿ

), et telle que

{p

_j

, a

_j

} ≥ C

₀

sur p

⁻¹_j

(]λ

_j

− ; λ

_j

+ [).

Soient R

⁰

≡ max

_j

sup{|x|; x ∈ suppχ

_j

} > R et R

^”

> R

⁰

. Grˆ ace ` a l’hypoth` ese de “non- croisement” (3), on va montrer qu’il existe α > 0 tel que, pour tout assez petit et pour (V

_j

, λ

_j

) 6= (V

_k

, λ

_k

), la distance

d





(x, ξ); |x| ≤ R

^”

∩p

⁻¹_j

]λ

_j

−; λ

_j

+[

,

(x, ξ); |x| ≤ R

^”

∩p

⁻¹_k

]λ

_k

−; λ

_k

+[



 ≥ α.

(4) Posons

K = max

j

sup

|x|≤R^”

|V

j

(x)| et K

j

= sup

|x|≤R^”

kV

_j⁰

(x)k.

D’apr` es (3), il existe un δ > 0 tel que

|x| ≤ R

^”

= ⇒



 ∀j 6= k,

V

j

(x) − λ

j

− V

k

(x) + λ

k

≥ δ



 .

Prenons < δ/2 et η, r > 0. Supposons qu’il existe des couples (x, ξ) ∈

(y, η); |y| ≤ R

^”

∩ p

⁻¹_j

]λ

_j

− ; λ

_j

+ [

,

(x

⁰

, ξ

⁰

) ∈

(y, η); |y| ≤ R

^”

∩ p

⁻¹_k

]λ

k

− ; λ

k

+ [

pour j 6= k, tels que |ξ − ξ

⁰

| < η, |x − x

⁰

| < r. On a donc

|ξ

⁰

|

²

− |ξ|

²

≤ |ξ

⁰

− ξ| · |ξ

⁰

+ ξ| ≤ η

(λ

_j

+ + K)

^1/2

+ (λ

_k

+ + K )

^1/2

. D’une part,

V

_j

(x) − λ

_j

−

V

_k

(x

⁰

) − λ

_k

≤

p

_j

(x, ξ) − λ

_j

−

p

_k

(x

⁰

, ξ

⁰

) − λ

_k

+

|ξ

⁰

|

²

− |ξ|

²

≤ 2 + η

(λ

_j

+ + K )

^1/2

+ (λ

_k

+ + K)

^1/2

et d’autre part,

V

_j

(x) − λ

_j

−

V

_k

(x

⁰

) − λ

_k

≥

V

_j

(x

⁰

) − λ

_j

−

V

_k

(x

⁰

) − λ

_k

− |V

_j

(x) − V

_j

(x

⁰

)| ≥ δ − rK

_j

. Pour r et η assez petits, on a une contradiction. Par cons´ equent, il existe un α > 0 pour lequel l’implication (4) est vraie, pour tout assez petit.

Grˆ ace ` a cette propri´ et´ e, on peut construire, pour assez petit, une partition de l’unit´ e (t

_j

)

1≤j≤q

sur R

²ⁿ

(i.e ^P t

_j

= 1) telle que, pour tout j, 0 ≤ t

_j

≤ 1, t

_j

∈ C

^∞

( R

²ⁿ

) et

– t

_j

= 1 sur

(x, ξ); |x| ≤ R

^”

∩ p

⁻¹_j

]λ

_j

− ; λ

_j

+ [

, – t

_j

= 0 sur

(x, ξ); |x| ≤ R

^”

∩ p

⁻¹_k

]λ

_k

− ; λ

_k

+ [

pour tout k 6= j.

On pose a = ^P t

_j

a

_j

et on v´ erifie que cette fonction convient. Sur p

⁻¹_j

]λ

_j

− ; λ

_j

+ [

, {p

_j

, a} =

q

X

k=1

{p

_j

, C

_k

t

_k

χ

_k

f

_k

} + {p

_j

, x · ξ}.

Si |x| ≤ R

^”

alors

{p

_j

, a} = {p

_j

, C

_j

t

_j

χ

_j

f

_j

} + {p

_j

, x · ξ} = {p

_j

, a

_j

} ≥ C

₀

. Si |x| > R

^”

alors

{p

_j

, a} = {p

_j

, x · ξ} ≥ λ

_j

/2 car R

^”

> R

⁰

et pour |x| > R

⁰

, x 6∈ suppχ

_k

, pour tout k.

Poursuivons la preuve de la Proposition 12. Grˆ ace aux hypoth` eses de “non-croisement”

(cf. D´ efinition 2) et de stabilit´ e semi-classique (cf. D´ efinition 1), pour tout j, l 6= l

⁰

= ⇒

∀x ∈ R

ⁿ

, λ

_jl

(x; 0) − E

_j

− (E − E

_j

) 6= λ

_jl⁰

(x; 0) − E

_j

− (E − E

_j

)

,

j 6= j

⁰

= ⇒

∀x ∈ R

ⁿ

, ∀l, l

⁰

, λ

_jl

(x; 0) − E

_j

− (E − E

_j

) 6= λ

_j⁰_l⁰

(x; 0) − E

_j⁰

− (E − E

_j⁰

)

. On peut donc appliquer le Lemme 13 aux hamiltoniens classiques p

_jl

(x, ξ) − E

_j

= |ξ|

²

+ λ

_jl

(x; 0) − E

_j

aux ´ energies E − E

_j

. Soit a la fonction “multi-fuite” globale correspondante.

D’apr` es (8) et (9), on peut choisir le R de la preuve de ce Lemme 13 de sorte que,

Π

_j

(x; h)x · (∇

_x

I

_a

)(x; h)Π

_j

(x; h)

+

2Π

_j

(x; h)

P

_e

(x; h) − E

_j

Π

_j

(x; h)

≤ E − E

_j

, (5) pour tout j et pour |x| ≥ R. Soient τ

₁

, τ

₂

∈ C

^∞

( R

ⁿ

) telles que τ

₁²

+ τ

₂²

= 1. On impose que τ

1

vaille 1 sur {x; |x| ≤ R

⁰

} et soit ` a support dans {x; |x| ≤ R

^”

}. On pose

F

^AD

=

r

X

j=1





l(j)

X

l=1

τ

₁

Π

_jl

a

^w

Π

_jl

τ

₁

+ τ

₂

Π

_j

a

^w

Π

_j

τ

₂



 , (6) o` u a

^w

l’op´ erateur h-pseudo-diff´ erentiel de symbole de Weyl a. D’apr` es la r´ egularit´ e des projecteurs Π

_jl

et le choix du support de τ

₁

d’une part, les propri´ et´ es des Π

_j

et celles de a d’autre part, l’op´ erateur F

^AD

v´ erifie (1).

On calcule le commutateur i[P

^AD

, F

^AD

] modulo “O(h

²

)”, o` u “O(h

²

)” (respectivement

“O(h)”) d´ esignera des op´ erateurs B P

^AD

-born´ es tels que la norme de B(P

^AD

+ i)

⁻¹

soit un O(h

²

) (respectivement O(h)). D’une part, pour tout j ,

i[P

^AD

, τ

₂

Π

_j

a

^w

Π

_j

τ

₂

] = τ

₂

Π

_j

i[P, a

^w

]Π

_j

τ

₂

+ Πi[−h

²

∆

_x

, τ

₂

Π

_j

]a

^w

Π

_j

τ

₂

+ τ

₂

Π

_j

a

^w

i[−h

²

∆

_x

, τ

₂

Π

_j

]Π

= τ

₂

Π

_j

i[P, a

^w

]Π

_j

τ

₂

+ “O(h

²

)”

−2iΠh∇

_x

· h

∇

_x

(τ

₂

Π

_j

)

a

^w

Π

_j

τ

₂

− 2iτ

₂

Π

_j

a

^w

h

∇

_x

(τ

₂

Π

_j

)

· h∇

_x

Π.

La somme, pour 1 ≤ j ≤ r, des termes faisant intervenir (∇

x

Π

j

) forme un op´ erateur h-pseudo-diff´ erentiel de symbole principal

−2τ

₂²

(x)a(x, ξ)ξ ·

r

X

j=1

Π(x)

(∇

_x

Π

_j

)(x)Π

_j

(x) + Π

_j

(x)(∇

_x

Π

_j

)(x)

Π(x), qui est nul car

r

X

j=1

Π(x)

(∇

_x

Π

_j

)(x)Π

_j

(x) + Π

_j

(x)(∇

_x

Π

_j

)(x)

Π(x) =

r

X

j=1

Π(x)(∇

_x

Π

_j

)(x)Π(x) (7)

= Π(x)(∇

_x

Π)(x)Π(x) = 0, d’apr` es la Remarque 10. Comme les commutateurs [Π

_j

, a

^w

], [Π

_j

, h∇

_x

] sont des “O(h)”,

r

X

j=1

i[P

^AD

, τ

₂

Π

_j

a

^w

Π

_j

τ

₂

] =

r

X

j=1

τ

₂

Π

_j

i[P, a

^w

]Π

_j

τ

₂

+ “O(h

²

)”

−2i

r

X

j=1

Πh∇

_x

· (h∇τ

₂

)Π

_j

a

^w

Π

_j

τ

₂

+ τ

₂

Π

_j

a

^w

Π

_j

(h∇τ

₂

) · h∇

_x

Π

!

=

r

X

j=1

τ

₂

Π

_j

i[P, a

^w

]Π

_j

τ

₂

+ “O(h

²

)”

−2i

r

X

j=1

Πh∇

_x

· (h∇τ

₂

)τ

₂

Π

_j

a

^w

Π

_j

+ Π

_j

a

^w

Π

_j

τ

₂

(h∇τ

₂

) · h∇

_x

Π

!

car le commutateur [τ

₂

, a

^w

] est “O(h)”. Comme τ

₂

est nulle au voisinage du support de χ

_j

(cf. Lemme 13), pour tout j , on peut en fait remplacer a

^w

par Op

^w_h

(x · ξ), l’op´ erateur h-pseudo-diff´ erentiel de symbole de Weyl x · ξ. D’autre part, on peut ´ ecrire

r

X

j=1





l(j)

X

l=1

i[P

^AD

, τ

₁

Π

_jl

a

^w

Π

_jl

τ

₁

]



 =

r

X

j=1





l(j)

X

l=1

τ

₁

Π

_jl

i[P, a

^w

]Π

_jl

τ

₁



 +“O(h

²

)” +

r

X

j=1





l(j)

X

l=1

−2iΠh∇

_x

· h

∇

_x

(τ

₁

Π

_jl

)

a

^w

Π

_jl

τ

₁

−2iτ

₁

Π

_jl

a

^w

h

∇

_x

(τ

₁

Π

_jl

)

· h∇

_x

Π



 .

Les termes contenant les (∇

_x

Π

_jl

) forment un op´ erateur h-pseudo-diff´ erentiel admissible de symbole principal

−2ih

r

X

j=1





l(j)

X

l=1

τ

1

(x)Π(x)h(∇

x

Π

jl

)(x) · ξa(x, ξ)Π

jl

(x)τ

1

(x)

+τ

₁

(x)Π

_jl

(x)a(x, ξ)ξ · h(∇

_x

Π

_jl

)(x)Π(x)τ

₁

(x)



 . (8) Comme, d’apr` es (7),

r

X

j=1

Π

_j





l(j)

X

l=1

(∇

_x

Π

_jl

)Π

_jl

+ Π

_jl

(∇

_x

Π

_jl

)



 Π

_j

=

r

X

j=1

Π(∇

_x

Π

_j

)Π = 0,

r

X

j=1





l(j)

X

l=1

i[P

^AD

, τ

₁

Π

_jl

a

^w

Π

_jl

τ

₁

]



 =

r

X

j=1





l(j)

X

l=1

τ

₁

Π

_jl

i[P, a

^w

]Π

_jl

τ

₁



 + “O(h

²

)” +

r

X

j=1





l(j)

X

l=1

−2iΠh∇

x

· (h∇τ

1

)Π

jl

a

^w

Π

jl

τ

1

−2iτ

₁

Π

_jl

a

^w

Π

_jl

(h∇τ

₁

) · h∇

_x

Π



 . En utilisant le fait que (∇τ

₁

)[a

^w

, Π

_jl

]τ

₁

= “O(h)”,

(∇τ

₁

)Π

_j

a

^w

Π

_j

τ

₁

= (∇τ

₁

) ^X

l,k

Π

_jl

a

^w

Π

_jk

τ

₁

= (∇τ

₁

) ^X

l

Π

_jl

a

^w

Π

_jl

τ

₁

+ “O(h)”,