Approximation de Born-Oppenheimer de sections efficaces totales diatomiques

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efficaces totales diatomiques

Thierry Jecko

To cite this version:

Thierry Jecko. Approximation de Born-Oppenheimer de sections efficaces totales diatomiques.

Asymptotic Analysis, IOS Press, 2000, 24 (1), pp.1-35. �hal-03213401�

Approximation de Born-Oppenheimer de sections efficaces totales diatomiques.

Th. Jecko

¹

IRMAR, Universit´ e de Rennes I, Campus Beaulieu, F-35042 Rennes cedex.

e-mail : jecko@maths.univ-rennes1.fr R´ esum´ e

Pour des mol´ ecules diatomiques dans la limite de Born-Oppenheimer, on construit une approximation adiabatique de plusieurs sections efficaces totales, y compris des sections in´ elastiques. On montre la pr´ epond´ erance de la diffusion ´ elastique et l’on en donne des termes dominants. L’un d’eux contient un potentiel effectif, ce qui permet de r´ eduire la diffusion ` a celle d’un syst` eme ` a deux corps. De plus, l’approximation am´ eliore une borne a priori sur d’autres sections totales.

Abstract

In the Born-Oppenheimer limit, for diatomic molecules, we approximate several total cross-sections, including inelastic ones, by adiabatic equivalents. We show the preponderance of the elastic total cross-section and we give leading terms for it.

One of them contains a two-body efficient potential so that the scattering behaviour may be well-approximated by those of some two-body system. Furthermore, the adiabatic approximation improves an a priori bound on some other total cross- sections.

1 Introduction.

La complexit´ e des syst` emes quantiques s’accroˆıt fortement lorsque l’on passe de deux corps ` a trois et plus. L’approximation de Born-Oppenheimer (cf. [BO]), qui profite de la diff´ erence de nature des particules, permet de ramener des mol´ ecules diatomiques ` a des probl` emes essentiellement ` a deux corps. En th´ eorie stationnaire de la diffusion, cette approximation a ´ et´ e valid´ ee pour certains op´ erateurs d’onde de canal d’une mol´ ecule diatomique (cf. [KMW]). Dans l’esprit de [KMW], on introduit une approximation de Born-Oppenheimer de plusieurs sections efficaces totales, ` a angle d’incidence fix´ e, pour une mol´ ecule diatomique. Pour approximer des sections efficaces totales in´ elastiques, l’approxi- mation de [KMW], de la r´ esolvante par une r´ esolvante adiabatique, s’av` ere insuffisante.

On utilise celle de [Jec-2], rappel´ ee dans le Th´ eor` eme 2.3, car l’op´ erateur adiabatique P

^AD

1. previous address : Fachbereich Mathematik MA 7-2, Technische Universit¨ at Berlin, Strasse des 17.

Juni 136, D-10623 Berlin, Germany,

prend en compte plusieurs ´ etats ´ electroniques. En adaptant les arguments de [I1], [I2], [RT], [RW] et [W], certaines sections efficaces totales de la mol´ ecule diatomique sont ap- proxim´ ees par des sections efficaces totales construites ` a partir de l’op´ erateur adiabatique P

^AD

.

Comme dans l’asymptotique des sections efficaces totales relativement ` a la constante de Planck ~ (cf. [RW] et [I2]), on montre la pr´ epond´ erance de la diffusion ´ elastique et on exibe un terme dominant analogue. De plus, on d´ etermine d’autres termes dominants (cf.

Th´ eor` eme 1.2) pr´ esentant un int´ erˆ et physique et l’approximation pr´ ec´ edente permet une estimation a priori sur d’autres sections efficaces totales (cf. corollaire 1.5).

Contrairement ` a l’habitude, les sections efficaces totales consid´ er´ ees ici ne sont pas construites

`

a partir de l’amplitude de diffusion (cf. [AJS]). Comme dans [RW], on pr´ ef` ere les d´ efinir comme des distributions sur l’´ energie, selon une id´ ee de Enss-Simon (cf. [ES]). Le lien entre les deux d´ efinitions est expos´ e formellement dans [RW] et justifi´ e dans [Jec-1].

Pour plus de d´ etails sur l’approximation de Born-Oppenheimer, on renvoie le lecteur aux r´ ef´ erences indiqu´ ees dans [KMSW] et [Jec-1]. Au sujet des sections efficaces totales, on peut consulter [I1], [I2], [RT], [RW] et [W]. Signalons que, dans [CT], l’amplitude de diffusion est ´ etudi´ ee pour des potentiels coulombiens. Ici, les potentiels seront r´ eguliers avec une forte d´ ecroissance ` a l’infini (cf. Th´ eor` eme 1.2). Pour une approche temporelle de la situation pr´ esente, on peut consulter [Kar].

D´ etaillons bri` evement le cadre de ce travail (voir aussi [Jec-2]). Consid´ erant une mol´ ecule diatomique ` a N ´ electrons, son op´ erateur d’´ energie, auto-adjoint dans L

²

(IR

^n(N+2)

), est

H ˜ = − 1

2m

₁

∆

_x1

− 1

2m

₂

∆

_x2

+

N+2

X

j=3

(− 1

2 ∆

_xj

) + X

l<j

V

_lj

(x

_l

− x

_j

), (1.1) (on a fix´ e la masse des ´ electrons ` a 1 ainsi que la constante de Planck et on suppose que les particules se meuvent dans IR

ⁿ

, pour n ≥ 2). Les masses respectives des deux noyaux, m

₁

et m

₂

, sont grandes devant 1 (h donn´ e par (2.5) sera donc petit), les fonctions r´ eelles V

_lj

repr´ esentent les interactions bilat´ erales entre particules et ∆

_xj

d´ esigne le laplacien en la variable x

_j

. Soit a = (A

₁

, A

₂

) une d´ ecomposition de {1, . . . , N + 2} en deux amas telle que j ∈ A

_j

, pour j ∈ {1, 2}. En effectuant un changement de variables convenable, on est amen´ e, apr` es retrait du mouvement du centre de masse, ` a ´ etudier l’op´ erateur

P (h) = −h

²

∆

_x

+ P

^a

(h) + I

_a

(h),

agissant dans L

²

(IR

^n(N+1)

) (voir la partie 2 pour les expressions de P

^a

(h) et I

_a

(h)). L’ha- miltonien interne P

^a

(h) est la somme des op´ erateurs d’´ energie de chaque amas, consid´ er´ es comme isol´ es, et le potentiel inter-amas I

a

(h) rassemble les interactions entre particules appartenant ` a deux amas diff´ erents. La variable x ∈ IR

ⁿ

repr´ esente la position relative des centres de masse des amas et on note par y ∈ IR

^nN

les autres variables. On consid` ere la famille des hamiltoniens ´ electroniques P

e

(x; h), x ∈ IR

ⁿ

, h ≤ h

0

, pour un certain h

0

> 0 petit, d´ efinis par

P

_e

(x; h) = P

^a

(h) + I

_a

(x; h), ∀x ∈ IR

ⁿ

, ∀h ≤ h

₀

.

En physique, ce sont pr´ ecis´ ement ces op´ erateurs pour h = 0 (c’est-` a-dire pour une masse nucl´ eaire infinie) qui repr´ esentent la mol´ ecule dans l’approximation de Born-Oppenheimer.

L’´ evolution libre de r´ ef´ erence sera la restriction ` a un sous-espace propre de P

^a

(h) de t 7→ e

^ih−1tPa(h)

avec P

_a

(h) ≡ −h

²

∆

_x

+ P

^a

(h).

En notant hxi = (1 + |x|

²

)

^1/2

, les interactions bilat´ erales apparaissant dans ces op´ erateurs seront des fonctions V ∈ C

^∞

(IR

ⁿ

; IR), v´ erifiant, pour un certain ρ > 0,

∀α ∈ IN

ⁿ

, ∃C

α

> 0; ∀x ∈ IR

ⁿ

, |∂

_x^α

V (x)| ≤ C

α

hxi

^−ρ−|α|

. (D

ρ

) Construisons maintenant l’op´ erateur adiabatique P

^AD

. Soient E

₁

< . . . < E

_r

les r premi` eres valeurs propres du spectre discret de P

^a

(0), chaque E

j

´ etant de multiplicit´ e p

_j

, pour j ∈ {1, · · · , r}. Pour chaque j , on suppose qu’il y a exactement p

_j

“courbes”

x 7→ λ

_jl

(x; 0), pour l ∈ {1, · · · , p

_j

}, de valeurs propres λ

_jl

(x; 0) de P

_e

(x; 0) (r´ ep´ et´ ees au- tant que leur multiplicit´ e), qui tendent vers E

j

lorsque |x| → ∞. De plus, on suppose que ces applications x 7→ λ

_jl

(x; 0), ` a valeurs dans le spectre σ(P

_e

(x; 0)) de P

_e

(x; 0), sont globalement d´ efinies sur IR

ⁿ

. On impose la condition de stabilit´ e suivante.

D´ efinition 1.1. Pour δ > 0 et pour tout j ∈ {1, · · · , r}, on consid` ere la condition (H

_j,δ

) suivante : il existe des fonctions e

j,±

et E

j,±

et des nombres r´ eels h

j,δ

> 0 tels que, pour tout h ≤ h

_j,δ

,



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 



x∈IR

inf

ⁿ

E

j,±

(x) − e

j,±

(x) ≥ δ.

∀x ∈ IR

ⁿ

, e

j,−

(x) < E

j,−

(x) < e

j,+

(x) < E

j,+

(x),

∀x ∈ IR

ⁿ

, λ

_j1

(x; 0), . . . , λ

_jpj

(x; 0) ∈ ]E

j,−

(x); e

_j,+

(x)[,

∀x ∈ IR

ⁿ

, σ

P

_e

(x; h)

∩

[e

j,−

(x); E

j,−

(x)] ∪ [e

_j,+

(x); E

_j,+

(x)]

= ∅.



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 



(H

_j,δ

)

Sous la condition pr´ ec´ edente, pour le mˆ eme δ et pour h

_δ

= min

1≤j≤r

h

_j,δ

, en notant par 1I

_{]Ej,−(x),ej,+(x)[}

la fonction caract´ eristique de l’intervalle ]E

j,−

(x), e

j,+

(x)[, on introduit la condition suivante. Il existe un R

₀

> 0 tel que, pour tout |x| ≥ R

₀

et tout h ∈ [0, h

_δ

],

dim Im

1I

_{]Ej,−(x),ej,+(x)[}

P

_e

(x; h)

= p

_j

. (H

_j,δ

)

⁰

Si ces conditions (H

j,δ

) et (H

j,δ

)

⁰

sont satisfaites, pour un certain δ > 0, on dira que E

j

v´ erifie l’hypoth` ese de stabilit´ e semi-classique.

Pour h assez petit, il existe aussi une valeur propre λ

_jl

(x; h) de P

_e

(x; h) qui tend vers λ

_jl

(x; 0) lorsque h → 0 (cf. [Jec-2]). De plus, ` a l’aide d’une formule de Cauchy, on peut exprimer le projecteur spectral Π(x; h) de P

_e

(x; h), associ´ e ` a toutes les valeurs propres λ

_jl

(x; h). Au moyen d’une int´ egrale directe, on d´ efinit

Π(h) ≡ Z

⊕

IRⁿ

Π(x; h) dx.

La partie adiabatique de P (h) est donn´ ee par

P

^AD

(h) = Π(h)P (h)Π(h).

On s’int´ eresse aux sections efficaces totales issues d’un canal d’entr´ ee

α = (a, E

_α

(h), φ

_α

(h)), i.e. P

^a

(h)φ

_α

(h) = E

_α

(h)φ

_α

(h) et kφ

_α

(h)k

_L2(IR^nN_y )

= 1, (1.2) dont l’´ energie E

_α

(h) tend vers E

_jα

(1 ≤ j

_α

≤ r) quand h → 0. Pour un tel canal d’entr´ ee α et pour des canaux de sortie β, de d´ ecomposition a et d’´ energie discr` ete, l’existence des sections efficaces totales, ` a angle d’incidence fix´ e ω sur la sph` ere S

ⁿ⁻¹

, σ

_α

(·, ω; h) et σ

_βα

(·, ω; h) (cf. partie 2) est connue pour ρ >

ⁿ⁺¹₂

(cf. [RW], [W]). De mˆ eme, on montre l’existence des sections efficaces totales adiabatiques correspondantes, construites ` a partir de l’op´ erateur P

^AD

(h). Le r´ esultat principal de ce travail est le suivant.

Th´ eor` eme 1.2. On suppose que les potentiels v´ erifient la condition (D

_ρ

) pour un certain ρ >

ⁿ⁺¹₂

et que l’hypoth` ese de stabilit´ e semi-classique (cf. D´ efinition 1.1) et l’hypoth` ese de “non-croisement” (cf. D´ efinition 2.1) sont remplies pour chaque E

_j

(1 ≤ j ≤ r). On suppose aussi que

E

_r

< E

^AD

≡ inf

x∈IRⁿ

inf

σ

P

_e

(x; 0)

\ n

λ

_jl

(x; 0), ∀j, l o

. (1.3)

Soit J ⊂]E

_jα

; E

^AD

[ un intervalle compact, de non-capture pour chaque hamiltonien clas- sique |ξ|

²

+ λ

_jl

(x; 0) (cf. D´ efinition 2.2), et γ =

_ρ−1¹

.

Il existe

₀

> 0 tel que, uniform´ ement pour λ ∈ J et ω ∈ S

ⁿ⁻¹

, on ait

σ

_α

(λ, ω; h) = O(h

^γ(1−n)

), (1.4) σ

α

(λ, ω; h) − σ

αα

(λ, ω; h) = O(h

^γ(1−n)+0

), (1.5) σ

_α

(λ, ω; h) − σ

_α^AD

(λ, ω; h) = O(h

^{(γ(1−n)+1+0}

), (1.6) σ

_βα

(λ, ω; h) − σ

_βα^AD

(λ, ω; h) = O(h

^{γ(1−n)+1+0}

), (1.7) o` u β est un canal de sortie, de d´ ecomposition a, dont l’´ energie tend vers une certaine E

_jβ

(1 ≤ j

_β

≤ r) quand h → 0. En d´ efinissant n

_α

(λ) = (λ − E

_jα

)

^1/2

et I

_a

(x; h) par (2.6), en d´ esignant par H

_ω

l’hyperplan orthogonal ` a ω, on a, pour

I(x) = I

_a⁰

(x) ≡ I

_a

(x; h)|

_y=0

et I(x) = ˆ I

_a

(x) ≡ hI

_a

(x; 0)φ

_α

(0), φ

_α

(0)i

_L²_(IR^nN

y )

, σ

_α

(λ, ω; h) = 4C

_a

(h)

Z

Hω

sin

²

1 4hn

_α

(λ)

Z

IR

I (u + sω)ds

du + O(h

^γ(1−n)+0

) (1.8) et, si E

_α

(h) converge vers E

₁

, alors (1.8) est aussi valable pour I(x) = I

_eff

(x) ≡ λ

₁

(x; 0) − E

₁

. Ici, la fonction C

_a

(h) v´ erifie C

_a

(h) + C

_a

(h)

⁻¹

= O(1), quand h → 0.

Remarque 1.3. Il est ` a noter que l’asymptotique de Born-Oppenheimer ci-dessus pr´ esente

des similitudes avec l’asymptotique relative ` a la constante de Planck ~ . Les formules (1.4)

et (1.8) pour I = I

_a⁰

sont celles obtenues dans [RW] pour les estimations en ~ . La diffusion

´

elastique est pr´ epond´ erante, d’apr` es (1.5), comme cela ´ etait le cas dans [I2] pour l’asymp- totique en ~ . Le fait nouveau r´ eside dans le fait que l’on dispose d’une approximation adiabatique des sections efficaces totales issues du canal α et de mˆ eme d´ ecomposition de sortie, dont une cons´ equence est une estimation a priori, donn´ ee dans le Corollaire 1.5, sur les sections efficaces totales issues de α mais de d´ ecomposition de sortie diff´ erente (voir aussi la Remarque 2.7). Malheureusement, nous ne disposons pas d’estimation pr´ ecise des σ

_βα

pour β 6= α, mais de mˆ eme d´ ecomposition.

Remarque 1.4. Par terme dominant, on entend ici un terme contenant la contribu- tion principale de l’asymptotique. Physiquement, il est naturel d’avoir un terme dominant d´ ependant des int´ egrales de recouvrement I ˆ

_a

(x), comparable ` a celui obtenu dans [W] pour les hautes ´ energies. Le terme dominant contenant I

_eff

, sp´ ecifique ` a la situation pr´ esente, est d’une grande importance physique puisqu’il signifie que la diffusion issue du canal α peut ˆ etre r´ eduite ` a celle d’un syst` eme ` a deux corps, muni de ce potentiel.

Consid´ erons un canal δ, associ´ e ` a une d´ ecomposition diff´ erente de a, et supposons que la section efficace totale σ

_δα

(·, ω

₀

; h) existe (cf. (2.1)) sur un voisinage ouvert ˜ J de J , pour un certain ω

₀

∈ S

ⁿ⁻¹

. C’est en fait un op´ erateur auto-adjoint, positif et born´ e sur L

²

( ˜ J ) (cf. Proposition 2.6). On note par k · k la norme d’op´ erateur sur L

²

(J ). Alors que les estimations (1.4) et (1.5) fournissent seulement

kσ

_δα

(·, ω

₀

; h)k = O(h

^γ(1−n)+0

), (1.9) les approximations (1.6) et (1.7) permettent d’obtenir le

Corollaire 1.5. Sous les hypoth` eses du Th´ eor` eme 1.2 et les conditions pr´ ec´ edentes, la section efficace totale σ

_δα

(·, ω

₀

; h) se prolonge en un op´ erateur auto-adjoint, positif et born´ e sur L

²

( ˜ J ), dont la norme d’op´ erateur sur L

²

(J ) v´ erifie

kσ

_δα

(·, ω

₀

; h)k = O(h

^{γ(1−n)+1+0}

) . (1.10) Enfin, on peut se demander si les r´ esultats pr´ ec´ edents sont optimaux. La pr´ esence du

₀

dans (1.6) et (1.7) sugg` ere que l’approximation adiabatique est en fait meilleure. Quant

`

a (1.4), on d´ emontre, pour un choix particulier d’interactions mod´ elisant grossi` erement le cas physique de la diffusion ion-ion, que le terme dominant (1.8) pour I

_a⁰

est non nul (cf.

partie 5). On utilise pour cela un argument de [Y].

Ce travail est organis´ e de la fa¸con suivante. Les sections efficaces totales sont d´ efinies et exprim´ ees dans la partie 2. Admettant (1.4), (1.6) et (1.7), on y montre le Corollaire 1.5.

Dans les parties 3 et 4, on ´ etablit (1.4), (1.6) et (1.7). Enfin, la partie 5 est consacr´ ee ` a la

pr´ epond´ erance de la diffusion ´ elastique (1.5) et aux termes dominants (1.8).

Table des mati` eres

1 Introduction. 1

2 Sections efficaces totales. 6

3 Preuve du Th´ eor` eme 2.4 13

4 Preuve du Th´ eor` eme 2.5 26

5 Termes dominants de σ

_α

, pr´ epond´ erance de la diffusion ´ elastique. 33

R´ ef´ erences. 35

REMERCIEMENTS.

L’auteur est tr` es reconnaissant envers X.P. Wang pour son soutien constant et ses nom- breuses suggestions, J.M. Combes et A. Martinez pour leurs remarques et leur int´ erˆ et pour ce travail. L’auteur tient aussi ` a remercier les membres du d´ epartement de math´ ematiques de la TU Berlin pour leur hospitalit´ e et en particulier V. Bach.

L’auteur est soutenu financi` erement par le programme europ´ een TMR de la Commission Europ´ eenne, intitul´ e :“ Network Postdoctoral training programme in partial differential equations and application in quantum mechanics”.

2 Sections efficaces totales.

Dans cette partie, on rappelle bri` evement la d´ efinition, inspir´ ee de Enss-Simon (cf. [ES]), des sections efficaces totales ` a angle d’incidence fix´ e. On s’int´ eresse ` a certaines sections efficaces totales issues d’un canal ` a α deux amas, dont l’existence et l’expression en terme de valeur au bord de la r´ esolvante de P (h) sont connues (cf. [RW], [I2]). De la mˆ eme fa¸con, on d´ efinit des sections efficaces totales adiabatiques, dont on montre l’existence et dont on donne une expression en fonction de la r´ esolvante adiabatique R

^AD

(h). Apr` es avoir rappel´ e des estimations semiclassiques de r´ esolvantes de [Jec-2] (cf. Th´ eor` eme 2.3), on ´ enonce ensuite les r´ esultats d’approximation (cf. Th´ eor` emes 2.4 et 2.5) qui seront d´ emontr´ es dans les parties 3 et 4. En admettant ces r´ esultats, on prouve ensuite le Corollaire 1.5, concernant les autres sections efficaces totales issues du canal α.

Pour d´ efinir les sections efficaces totales, on utilise le formalisme d’Agmon (cf. [A]) pour

les op´ erateurs de Schr¨ odinger ` a plusieurs corps (voir aussi [W] ou [Jec-1]). Rappelons que

l’on consid` ere N + 2 particules, dont N ´ electrons. Dans IR

^n(N+2)

et son dual, on note par

(·, ·) et par | · | le produit scalaire et la norme usuels, tandis que la dualit´ e est not´ ee par

ω · r, pour ω ∈ (IR

^n(N+2)

)

^∗

et r ∈ IR

^n(N+2)

. Avec les notations de l’introduction, on note

par q la restriction de la forme quadratique

˜

q(r) = 2m

₁

|x

₁

|

²

+ 2m

₂

|x

₂

|

²

+

N+2

X

j=3

2|x

_j

|

²

`

a X = n

r = (x

1

, · · · , x

N+2

) ∈ IR

^n(N+2)

; m

1

x

1

+ m

2

x

2

+

N+2

X

j=3

x

j

= 0 o

.

La g´ eom´ etrie de l’espace X d´ epend donc du param` etre h (cf. (2.5)). Soit A l’ensemble des d´ ecompositions en amas de {1, · · · , N + 2}. Pour chaque d´ ecomposition d ∈ A, on d´ efinit des espaces X

^d

et X

_d

, suppl´ ementaires orthogonaux dans X par rapport ` a q. On note par π

^d

r (respectivement π

_d

r) la projection orthogonale du vecteur r ∈ X sur X

^d

(respectivement X

_d

). Au moyen de ces espaces, on munit A de l’ordre partiel c ⊂ d ⇐⇒

X

^c

⊂ X

^d

(cf. [Jec-1]). Apr` es retrait du centre de masse, on peut ´ ecrire l’op´ erateur ˜ H donn´ e par (1.1) sous la forme

H = −∆

X

+ X

c∈A

V

c

(x

^c

)

o` u −∆

_X

est l’op´ erateur de Laplace-Beltrami sur X et les fonctions V

_c

v´ erifient la condi- tion (D

_ρ

). Cet op´ erateur H est consid´ er´ e comme op´ erateur auto-adjoint non born´ e dans l’espace L

²

sur X, muni de la mesure de Lebesgue. En notant par −∆

^d

(respectivement

−∆

_d

) le laplacien en la variable π

^d

r (respectivement π

_d

r), on pose H

^d

= −∆

^d

+ X

c⊂d

V

_c

(x

^c

), H

_d

= −∆

_d

+ H

^d

, I

_d

(r) = X

c6⊂d

V

_c

(x

^c

) si bien que H = H

_d

+ I

_d

(r). Soit δ = (d, E

_δ

, ψ

_δ

) un canal de d´ ecomposition d i.e.

H

^d

ψ

_δ

= E

_δ

ψ

_δ

, kψ

_δ

k

_L2(X^d)

= 1.

On pose N

_δ

(λ) = (λ − E

_δ

)

^1/2

. On note par X

_d^∗

le dual de X

_d

, que l’on munit de la forme quadratique q

^∗_d

, restriction ` a X

_d^∗

de

q

^∗

(ξ

₁

, · · · , ξ

_N+2

) = 1 2m

1

|ξ

₁

|

²

+ 1 2m

2

|ξ

₂

|

²

+

N+2

X

j=3

1 2 |ξ

_j

|

²

.

Pour ω

_d

∈ X

_d^∗

, de norme q

^∗_d

´ egale ` a 1, les fonctions r

_d

7→ exp(iN

_δ

(λ)ω

_d

· r

_d

) sont des fonctions propres g´ en´ eralis´ ees de −∆

_d

de valeurs propres N

_δ

(λ)

²

= λ − E

_δ

. Pour g ∈ C

₀^∞

(]E

_δ

; +∞[) et r

_d

∈ X

_d

, on consid` ere le paquet d’onde

G

_ωd

(r

_d

) = |ω

_d

|

^1/2

2 √

π Z

IR

e

^{iNδ(λ)ωd·rd}

g(λ) N

δ

(λ)

^1/2

dλ.

Notons qu’il existe ω

_d^]

∈ X

_d

tel que, pour tout r

_d

∈ X

_d

, ω

_d

· r

_d

= (ω

_d^]

, r

_d

). On pose

ω = ω

_d^]

/|ω

_d^]

|. Comme la fonction G

_ωd

ne d´ epend que de la projection orthogonale sur ω de

r

_d

(pour le produit scalaire usuel de IR

^n(N+2)

), on a choisi la constante de normalisation de G

_ωd

de sorte que

G

ω_d

L²(IRω)

= g

L²(IR)

Soit C l’ensemble des canaux. Pour tout canal de sortie τ ∈ C, on voudrait appliquer l’op´ erateur T

_{τ δ}

, de transition de τ ` a δ (bien d´ efini cf. [SS]), ` a G

_ωd

(π

_d

r)ψ

_δ

(π

^d

r). Malheu- reusement, cette derni` ere n’appartient pas ` a L

²

(X). Elle ne d´ ecroit pas les directions orthogonales ` a ω, c’est pourquoi l’on introduit une r´ egularisation (H

_R,ωd

)

_R>0

form´ ee de fonctions de la variable π

_d

r − (ω, π

_d

r)ω, qui appartiennent ` a l’espace de Schwartz et qui tendent ponctuellement vers 1 lorsque R → ∞. Si, pour toute fonction g ∈ C

₀^∞

(]E

_δ

; +∞[), la limite

R→∞

lim kT

_{τ δ}

H

_R,ωd

G

_ωd

ψ

_δ

k

²

existe, ne d´ epend pas du choix de la r´ egularisation et si ces limites d´ efinissent une forme quadratique q

_{τ δ}

, continue sur C

₀^∞

(]E

_δ

; +∞[), alors, en notant par B

_{τ δ}

la forme sesqui- lin´ eaire associ´ ee ` a q

_{τ δ}

, la section efficace totale σ

_{τ δ}

(·, ω

_d

) existe et est l’application anti- lin´ eaire continue

C

₀^∞

(]E

_δ

; +∞[) −→ D

⁰

(]E

_δ

; +∞[)

g 7→ B

_{τ δ}

(g, ·) . (2.1)

En notant par h·, ·i

⁰

la dualit´ e entre D

⁰

et C

₀^∞

, on a, pour g ∈ C

₀^∞

(]E

_δ

; +∞[), hσ

τ δ

(·, ω

d

)(g), gi

⁰

= q

τ δ

(g) = lim

R→∞

kT

τ δ

H

R,ω_d

G

ω_d

ψ

δ

k

²

. (2.2) De mˆ eme, on d´ efinit la distribution σ

_δ

(·, ω

_d

) en rempla¸cant la limite pr´ ec´ edente par

R→∞

lim X

τ∈C

kT

τ δ

H

R,ω_d

G

ω_d

ψ

δ

k

²

. (2.3) De telles distributions n’existent pas forc´ ement pour tout angle d’incidence ou n’existent a priori que sur un ouvert strictement inclu dans ]E

δ

; +∞[ (cf. [W]). On s’int´ eresse tout particuli` erement aux sections efficaces issues du canal α = (a, E

_α

, ψ

_α

) (cf. (1.2)). Soient

β = (a, E

β

, ψ

β

), avec E

β

→ E

j_β

, quand h → 0, (2.4) pour un 1 ≤ j

_β

≤ r (E

_jα

6= E

_jβ

est possible si r > 1) un canal “adiabatique” et C

^AD

l’ensemble de tels canaux. D’apr` es [RW] et [W], sous la condition (D

ρ

) avec ρ >

ⁿ⁺¹₂

, les sections efficaces totales σ

_α

et σ

_βα

existent en dehors des seuils de H, pour tout angle d’incidence, elles s’identifient ` a la multiplication par des fonctions continues de l’´ energie λ, encore not´ ee σ

α

et σ

βα

, et ces fonctions s’expriment en fonction de la valeur au bord de la r´ esolvante de H.

Afin de proc´ eder aux estimations semi-classiques, on introduit les variables (x, y) et on exprime tous les objets en fonction de ces variables (voir [Jec-1] pour plus de d´ etails).

Tandis que la variable x ∈ IR

ⁿ

rep` ere la position relative des centres de masse des amas,

on prend des coordonn´ ees atomiques dans chaque amas. On obtient ainsi N variables

internes que l’on d´ esigne par y ∈ IR

^nN

. Pour k ∈ {1, 2}, notons par A

⁰_k

l’ensemble des

´

electrons de l’amas A

_k

, par |A

⁰_k

| le cardinal de cet ensemble et par M

_k

= m

_k

+ |A

⁰_k

| la masse totale de l’amas A

_k

. Le petit param` etre h et les op´ erateurs P

^a

(h) et I

_a

(x; h) sont alors donn´ es par

h = 1

2M

₁

+ 1 2M

₂

1/2

, (2.5)

P

^a

(h) =

2

X

k=1



 X

j∈A⁰_k

− 1

2 ∆

_yj

+ V

_kj

(y

_j

)

− 1 2m

_k

X

l,j∈A⁰_k

∇

_yl

· ∇

_yj

+ 1 2

X

l,j∈A⁰_k

V

_lj

(y

_l

− y

_j

)



 ,

I

_a

(x; h) = X

l∈A⁰₁,j∈A⁰₂

V

_lj

(y

_l

− y

_j

+ x + f

₂

− f

₁

) + X

l∈A⁰₁

V

_l2

(x − f

₁

+ f

₂

+ y

_l

)

+ X

j∈A⁰₂

V

_1j

(x − f

₁

+ f

₂

− y

_j

) + V

₁₂

(x − f

₁

+ f

₂

), (2.6)

o` u les quantit´ es f

_k

=

_M¹

k

P

j∈A⁰_k

y

_j

, pour k ∈ {1, 2}, d´ ependent de h (le “ · ” d´ esigne le produit scalaire des gradients). Pour l < j, on a pos´ e V

_jl

(z) = V

_lj

(−z).

Les sections efficaces totales s’exprimant en fonction de r´ esolvantes, on a besoin de contrˆ oler semiclassiquement ces derni` eres. Le Th´ eor` eme 2.3 suivant s’en charge. Pr´ ealablement, introduisons deux notions requises dans ce th´ eor` eme.

D´ efinition 2.1. Pour j ∈ {1, · · · , r}, on dit que E

_j

v´ erifie la condition de “non- croisement” si les valeurs propres de P

_e

(x; 0), qui tendent vers E

_j

lorsque |x| → ∞, v´ erifient, pour un certain l(j) ∈ {1, · · · , p

_j

},

∀x ∈ IR

ⁿ

, λ

_j1

(x; 0) < . . . < λ

_jl(j)

(x; 0).

D´ efinition 2.2. Etant donn´ ´ es un hamiltonien classique p : IR

²ⁿ

−→ IR et une ´ energie E ∈ IR, on note par p

⁻¹

(E ) la surface d’´ energie E

p

⁻¹

(E ) ≡ n

(x, ξ) ∈ IR

²ⁿ

; p(x, ξ) = E o .

On dit que l’´ energie E est non-captive pour l’hamiltonien classique p si l’on a

∀(x, ξ) ∈ p

⁻¹

(E), lim

t→+∞

kΦ

^t

(x, ξ)k = ∞ et lim

t→−∞

kΦ

^t

(x, ξ)k = ∞,

Φ

^t

d´ esignant le flot hamiltonien associ´ e ` a p et k · k la norme euclidienne sur IR

²ⁿ

. Un intervalle J est dit non-captif pour l’hamiltonien classique p si toute ´ energie E ∈ J l’est.

Consid´ erons, sous l’hypoth` ese (1.3), un intervalle compact J, non-captif pour les hamil- toniens classiques |ξ|

²

+ λ

jl

(x; 0) de sorte que

sup J < E

^AD

. (2.7)

Th´ eor` eme 2.3. ([Jec-2]) On suppose que les potentiels v´ erifient (D

_ρ

) pour un r´ eel ρ > 0.

Soit E

₁

< . . . < E

_r

∈ σ

_disc

(P

^a

(0)) v´ erifiant chacune l’hypoth` ese de stabilit´ e semi-classique (cf. D´ efinition 1.1) et l’hypoth` ese de “non-croisement” (cf. D´ efinition 2.1). On note

∀z ∈ C I \ IR, R(z; h) ≡ P (h) − z

−1

, R

^AD

(z; h) ≡ P

^AD

(h) − z

−1

.

Pour toute ´ energie E 6∈ {0} ∪ {E

_j

, 1 ≤ j ≤ r}, non-captive pour chaque hamiltonien classique |ξ|

²

+ λ

_jl

(x; 0) (cf. D´ efinition 2.2), 1 ≤ j ≤ r et 1 ≤ l ≤ l(j), pour tout s > 1/2, uniform´ ement pour λ assez proche de E,

khxi

^−s

R

^AD

(λ ± i0; h)Πhxi

^−s

k = O(h

⁻¹

). (2.8) Si, de plus, les potentiels sont ` a courte port´ ee (ρ > 1) et si E < E

^AD

, alors, pour s > 1/2, uniform´ ement pour λ assez proche de E,

khxi

^−s

R(λ ± i0; h)hxi

^−s

k = O(h

⁻¹

), (2.9)

hxi

^−s

n

R(λ ± i0; h) − R

^AD

(λ ± i0; h)Π o

hxi

^−s

= O(1). (2.10) Soit ˜ J un intervalle ouvert relativement compact, contenant J, non-captif pour les ha- miltoniens classiques |ξ|

²

+ λ

jl

(x; 0) et v´ erifiant (2.7). Les canaux de d´ ecomposition a, dont l’´ energie ne tend vers aucune des E

_j

, sont “ferm´ es” sur ˜ J puisqu’elle est sup´ erieure ` a E

^AD

, pour h petit. Sur cette bande d’´ energie, on va ´ etudier semi-classiquement les autres sections efficaces totales, que l’on exprime d’abord en fonction des variables (x, y).

L’angle d’incidence ω

_a

est associ´ e ` a un angle ω ∈ S

ⁿ⁻¹

et N

_α

(λ) s’´ ecrit n

_α

(λ; h) = (λ − E

_α

(h))

^1/2

. Pour toute fonction g ∈ C

₀^∞

( ˜ J), le paquet d’onde G

_ωa

devient

g

_ω

(x) = h

^−1/2

2 √

π Z

IR

e

^{ih−1nα(λ;h)x·ω}

g(λ) n

α

(λ; h)

^1/2

dλ.

A la place de la r´ egularisation (H

_R,ωa

)

_R>0

, on prend une famille (h

_R,ω

)

_R>0

de fonctions de x. Les fonctions propres ψ

α

et ψ

β

de H

^a

sont remplac´ ees par φ

α

(h) et φ

β

(h), des fonctions propres de P

^a

(h) (avec les mˆ emes valeurs propres). On note par Π

_β

(h) la projection ortho- gonale |φ

_β

(h)ihφ

_β

(h)|. Soit χ une fonction nulle pr` es de 0, telle que 1 − χ ∈ C

₀^∞

(IR

ⁿ

; IR).

On pose

L

_a

(h) = P (h)χ − χP

_a

(h). (2.11)

Pour tout ω ∈ S

ⁿ⁻¹

, on note par e

α

l’onde plane

e

_α

≡ e

^{ih−1nα(λ;h)x·ω}

φ

_α

(y; h). (2.12)

En notant = la partie imaginaire, pour une certaine fonction C

_a

(h) d´ ependante du choix des variables (x, y) et v´ erifiant C

_a

(h) + C

_a

(h)

⁻¹

= O(1) quand h → 0, on a, sur ˜ J , d’apr` es [RW] et [W],

σ

_α

(λ, ω; h) = C

_a

(h)h

⁻¹

n

_α

(λ; h) = D

R(λ + i0; h)I

_a

e

_α

, I

_a

e

_α

E

, (2.13)

σ

_βα

(λ, ω; h) = C

a

(h)h

⁻¹

n

_α

(λ; h) = D

R(λ + i0)L

_a

e

_α

, χ

²

Π

_β

L

_a

e

_α

E

(2.14)

−= D

L

_a

Π

_β

χR(λ + i0)L

_a

e

_α

, R(λ + i0)L

_a

e

_α

E

! . On construit maintenant des sections efficaces totales adiabatiques associ´ ees ` a l’op´ erateur P

^AD

(h). Comme P

^a

(h) → P

^a

(0) en norme des r´ esolvantes, lorsque h → 0, chaque E

_j

est limite de p

_j

valeurs propres de P

^a

(h). Notons par Π

₀

(h) le projecteur spectral de P

^a

(h), associ´ e ` a toutes ces valeurs propres. On introduit les op´ erateurs d’onde adiabatiques

Ω

^AD_±

(h) = s − lim

t→±∞

e

^{ih−1tPAD(h)}

e

^{−ih−1tPa(h)}

Π

0

(h).

Dans [Jec-2], l’existence et la compl´ etude de ces op´ erateurs d’onde sont d´ emontr´ ees. On peut donc d´ efinir un op´ erateur de diffusion adiabatique S

^AD

(h) par

S

^AD

(h) =

Ω

^AD₊

(h)

∗

Ω

^AD₋

(h).

Pour β ∈ C

^AD

(cf. (2.4)), on proc` ede comme pr´ ec´ edement avec les diff´ erences suivantes.

Le rˆ ole d’op´ erateur de transition de α ` a β est jou´ e par Π

_β

S

^AD

− δ

_βα

Π

_α

.

La somme intervenant dans la d´ efinition de σ

^AD_α

porte sur C

^AD

et est multipli´ ee par C

_a

(h).

On pose

V

^AD

(h) = P

^AD

(h) − P

_a

(h) et L

^AD

(h) = P

^AD

(h)χ − χP

_a

(h). (2.15) Dans [Jec-1], on montre, en adaptant les arguments de [RW] et [W], que les sections efficaces totales σ

_α^AD

et σ

_βα^AD

existent sur ˜ J, pour tout angle d’incidence ω ∈ S

ⁿ⁻¹

, comme multiplication par des fonctions continues de l’´ energie λ, que l’on note encore par σ

^AD_α

et σ

_βα^AD

, donn´ ees par

σ

^AD_α

(λ, ω; h) = C

_a

(h)h

⁻¹

n

_α

(λ; h) = D

R

^AD

(λ + i0; h)V

^AD

e

α

, V

^AD

e

α

E

, (2.16)

σ

_βα^AD

(λ, ω) = C

_a

(h)h

⁻¹

n

α

(λ; h) = D

ΠR

^AD

(λ + i0)L

^AD

e

_α

, χ

²

Π

_β

ΠL

^AD

e

_α

E

(2.17)

−= D

L

^AD

Π

_β

χR

^AD

(λ + i0)ΠL

^AD

e

_α

, R

^AD

(λ + i0)ΠL

^AD

e

_α

E

!

.

En reprenant les techniques d´ evelopp´ ees dans [RW], on approxime, pour α donn´ e par (1.2),

la section efficace totale σ

α

par la section adiabatique σ

^AD_α

et on d´ etermine une majoration

de ces deux sections. En utilisant des techniques analogues ` a celles de [I2], on approxime

aussi les sections σ

_βα

, avec β donn´ e par (2.4), par leur ´ equivalent adiabatique. C’est

l’objet des Th´ eor` emes 2.4 et 2.5 suivants. Les preuves de ces th´ eor` emes sont renvoy´ ees

aux parties 3 et 4.

Th´ eor` eme 2.4. On se place sous les hypoth` eses du Th´ eor` eme 1.2. Uniform´ ement par rapport ` a λ ∈ J et ω ∈ S

ⁿ⁻¹

, on a (1.4) et il existe

₀

> 0 tel que l’on ait (1.6).

Th´ eor` eme 2.5. Sous les hypoth` eses du Th´ eor` eme 1.2, il existe

0

> 0 tel que, uni- form´ ement par rapport ` a λ ∈ J et ω ∈ S

ⁿ⁻¹

, on ait (1.7).

A partir de ces deux th´ eor` emes, on peut donner une estimation des autres sections efficaces totales issues du canal α, du moins de celles qui existent, et ´ etablir ainsi le Corollaire 1.5.

On s’int´ eresse donc aux sections σ

_δα

, pour un canal δ associ´ e ` a une d´ ecomposition d 6= a.

Si une telle section existe sur ˜ J, comme application antilin´ eaire continue de C

₀^∞

( ˜ J ) dans D

⁰

( ˜ J), alors les propri´ et´ es de σ

_α

lui impose d’ˆ etre un op´ erateur born´ e sur L

²

( ˜ J) ! D’apr` es [RT], la section efficace totale σ

_α

est la multiplication par une fonction continue, encore not´ ee σ

α

.

Proposition 2.6. Dans les conditions du Th´ eor` eme 2.4, soient τ ∈ C et ω

₀

∈ S

ⁿ⁻¹

tels que la section efficace totale σ

_{τ α}

(·, ω

₀

; h) soit d´ efinie sur J. Alors, elle se prolonge en un ˜ op´ erateur auto-adjoint, positif et born´ e sur L

²

( ˜ J). De plus, sa norme d’op´ erateur v´ erifie

kσ

_{τ α}

(·, ω

₀

; h)k ≤ kσ

_α

(·, ω

₀

; h)k

_L∞( ˜J)

. D´ emonstration : Pour toute fonction g ∈ C

₀^∞

( ˜ J) et tout R > 0,

T

_{τ α}

h

_R,ω0

g

_ω0

φ

_α

2

≤ X

τ⁰∈C

T

_τ⁰_α

h

_R,ω0

g

_ω0

φ

_α

2

.

En laissant tendre R vers l’infini, on obtient, d’apr` es (2.2), 0 ≤ q

_{τ α}

(g) ≤

Z

IR

σ

_α

(λ, ω

₀

; h)|g(λ)|

²

dλ ≤ sup

J˜

σ

_α

(·, ω

₀

; h)

kgk

²_L2( ˜J)

.

Puisque C

₀^∞

( ˜ J) est dense dans L

²

( ˜ J ), on en d´ eduit, d’apr` es [K], que la forme quadratique q

_{τ α}

s’´ etend en une forme quadratique positive et born´ ee sur L

²

( ˜ J ). L’op´ erateur auto- adjoint positif born´ e associ´ e n’est autre que le prolongement de la section efficace totale σ

_{τ α}

et v´ erifie

kσ

_{τ α}

(·, ω

₀

; h)k ≤ sup

J˜

σ

_α

(·, ω

₀

; h) .

En admettant les Th´ eor` emes 2.4 et 2.5, on montre maintenant le Corollaire 1.5. Les arguments qui suivent, permettent aussi d’obtenir, ` a l’aide de (1.5), l’estimation (1.9).

Pour l’asymptotique relative ` a la constante de Planck, on obtient de mˆ eme (1.9) ` a partir de [RW] et [I2] ( ~ rempla¸cant h).

D´ emonstration (du Corollaire 1.5) : Par d´ efinition de σ

_α^AD

(·, ω

₀

; h) et des σ

_βα^AD

(·, ω

₀

; h) et compte tenu du fait que ce sont des fonctions continues sur ˜ J ,

∀λ ∈ J , σ ˜

_α^AD

(λ, ω

₀

; h) = X

β∈C^AD

σ

_βα^AD

(λ, ω

₀

; h) (2.18)

Pour toute fonction g ∈ C

₀^∞

( ˜ J) et tout R > 0,

T

_δα

h

_R,ω0

g

_ω0

φ

_α

2

+ X

β∈C^AD

T

_βα

h

_R,ω0

g

_ω0

φ

_α

2

≤ X

τ∈C

T

_{τ α}

h

_R,ω0

g

_ω0

φ

_α

2

.

En prenant la limite lorsque R → ∞, on obtient, q

_δα

(g) + X

β∈C^AD

Z

IR

σ

_βα

(λ, ω

₀

; h)|g(λ)|

²

dλ ≤ Z

IR

σ

_α

(λ, ω

₀

; h)|g(λ)|

²

dλ.

D’apr` es la proposition 2.6 et en utilisant sur J les approximations (1.6) et (1.7), la relation (2.18), on obtient (1.10).

Remarque 2.7. Pour un intervalle ouvert J ˆ ⊂ J et g ∈ C

₀^∞

( ˆ J), soit q ˜

_δα

(g) donn´ e par (2.2) en rempla¸ cant la limite par une limite sup´ erieure. La preuve pr´ ec´ edente montre qu’il existe

₀

> 0 tel que

sup n

˜

q

_δα

(g) ; g ∈ C

₀^∞

( ˆ J ), kgk

²_{L2( ˆJ)}

= 1 o

= O(h

^{γ(1−n)+1+0}

) .

3 Preuve du Th´ eor` eme 2.4

L’objet de ce paragraphe est de prouver le Th´ eor` eme 2.4. On reprend la d´ emarche suivie dans [RW] et [RT]. Le point nouveau r´ eside dans la pr´ esence du projecteur Π(x), que l’on contrˆ ole grˆ ace ` a la Proposition 3.1 ci-dessous. Par souci de compl´ etude, on d´ etaille les arguments, red´ emontrant ainsi certains r´ esultats de ces r´ ef´ erences. La preuve se d´ ecompose en plusieurs ´ etapes.

A partir des expressions (2.13) et (2.16), ` a l’aide de la Proposition 3.1 et de la Re- marque 3.2 suivantes, on va en fait prouver, en parall` ele, (1.6) et

σ

_α^AD

(λ, ω; h) = O(h

^γ(1−n)

). (3.1) Proposition 3.1. ([Jec-2]) Sous la condition (D

_ρ

) (ρ > 0) et sous l’hypoth` ese de stabilit´ e semi-classique (cf. D´ efinition 1.1), pour tout 1 ≤ j ≤ r,

∀α ∈ IN

ⁿ

, ∃D

α

> 0; ∀x ∈ IR

ⁿ

, ∂

_x^α

Π(x; h) − Π

0

(h)

y

≤ D

α

hxi

^−ρ−|α|

,

∀α ∈ IN

ⁿ

, ∃D

_α

> 0; ∀x ∈ IR

ⁿ

,

(∂

_x^α

I

_a

)(x; h)Π

₀

(h)

y

+

(∂

_x^α

I

_a

)(x; h)Π(x; h)

y

≤ D

_α

hxi

^−ρ−|α|

, uniform´ ement pour h ∈ [0, h

_δ

], h

_δ

assez petit. On a not´ e par k·k

_y

la norme de L(L

²

(IR

^nN_y

)).

Comme Π(x; h) est un projecteur, pour tout (x; h),

Π(x; h)(∇

_x

Π)(x; h)Π(x; h) = 0.

Notons de plus que les estimations ci-dessus sont bas´ ees sur la d´ ecroissance exponentielle,

uniforme en h, des fonctions propres de P

^a

(h) associ´ ees aux valeurs propres qui tendent

vers les E

_j

, 1 ≤ j ≤ r, lorsque h tend vers 0.

Remarque 3.2. En utilisant le fait que e

^{inα(λ;h)x·ωh}

est une valeur propre g´ en´ eralis´ ee de

−h

²

∆

_x

et φ

_α

une valeur propre de P

^a

, on obtient (la d´ ependance en h est omise) I

_a

e

_α

= (P − λ)e

_α

et

V

^AD

e

α

= Π[−h

²

∆

x

, Π]e

α

+ ΠI

a

e

α

+ λ(Π − Π

0

)e

α

= (P

^AD

− λ)e

α

. D´ etaillons la deuxi` eme ´ egalit´ e (l’autre est claire). Avec ˆ Π = 1 − Π,

P

^AD

e

_α

= Π(−h

²

∆

_x

)Πe

_α

+ Π(P

^a

+ I

_a

)e

_α

= n

_α

(λ; h)

²

Πe

_α

+ Π[−h

²

∆

_x

, Π]e

_α

+ ΠE

_α

e

_α

+ ΠI

_a

e

_α

= λΠe

α

+ Π[−h

²

∆

x

, Π]e

α

+ ΠI

a

e

α

= λe

_α

− λ Πe ˆ

_α

+ Π[−h

²

∆

_x

, Π]e

_α

+ ΠI

_a

e

_α

et V

^AD

e

_α

= (P

^AD

− P

_a

)e

_α

= P

^AD

e

_α

− (−h

²

∆

_x

+ E

_α

)e

_α

= P

^AD

e

_α

− λe

_α

. Les trois termes constituant V

^AD

e

_α

sont O(hxi

^−ρ

) (cf. Proposition 3.1) mais

λ(Π − Π

₀

)e

_α

= −λ ΠΠ ˆ

₀

e

_α

= −λ Πe ˆ

_α

se distingue des deux autres car, si λ n’est pas une valeur propre de P

^AD

,

R

^AD

(λ ± i0)λ(Π − Π

₀

)e

_α

= ˆ Πe

_α

. (3.2) Comme Π ˆ Π = 0, ˆ Π est auto-adjoint, (2.16) devient, grˆ ace ` a (3.2),

σ

^AD_α

(λ, ω; h) = C

_a

(h)h

⁻¹

n

_α

(λ; h) = D

R

^AD

(λ + i0; h)ΠV

^AD

e

_α

, ΠV

^AD

e

_α

E

. (3.3)

Soient δ > 0 et η = (1 + δ)γ. On consid` ere P

3

j=1

χ

_j

= 1 une partition de l’unit´ e sur IR

ⁿ

, d´ ependante de h avec, pour 1 ≤ j ≤ 3, χ

_j

∈ C

^∞

(IR

ⁿ

; IR), 0 ≤ χ

_j

≤ 1 et

suppχ

₁

⊂ {|x| < 2h

^−γ

} , χ

₁

= 1 sur {|x| < h

^−γ

},

suppχ

₂

⊂ C

_γη

≡ {h

^−γ

< |x| < 3h

^−η

} , χ

₂

= 1 sur {2h

^−γ

< |x| < 2h

^−η

}, suppχ

₃

⊂ {|x| > 2h

^−η

}.

On impose de plus qu’uniform´ ement en h,

∀α ∈ IN

ⁿ

, ∃D

α

> 0; ∀j ∈ {1, 2, 3}, |∂

_x^α

χ

j

(x)| ≤ D

α

hxi

^−|α|

(3.4) Ceci est possible car les ensembles {x; χ

_j

(x) = 0} et {x; χ

_j

(x) = 1} s’´ eloignent l’un de l’autre quand h → 0. On d´ ecompose les deux sections de la fa¸con suivante

σ

_α

(λ, ω; h) = C

a

(h)h

⁻¹

n

_α

(λ; h)

X

1≤j,k≤3

σ

_jk

(λ, ω; h), (3.5)

σ

_α^AD

(λ, ω; h) = C

_a

(h)h

⁻¹

n

_α

(λ; h)

X

1≤j,k≤3

σ

_jk^AD

(λ, ω; h), (3.6) avec, pour j, k ∈ {1, 2, 3}, d’apr` es (3.3),

σ

_jk

(λ, ω; h) = = D

R(λ + i0; h)χ

_j

I

_a

e

_α

, χ

_k

I

_a

e

_α

E , σ

^AD_jk

(λ, ω; h) = = D

R

^AD

(λ + i0; h)χ

j

ΠV

^AD

e

α

, χ

k

ΠV

^AD

e

α

E

.

Proposition 3.3. Si χ, θ ∈ C

₀^∞

(IR

ⁿ

; IR) et λ ∈ J, alors

R(λ ± i0; h)χI

_a

e

_α

= χe

_α

+ R(λ ± i0; h)[χ, −h

²

∆

_x

]e

_α

, R

^AD

(λ ± i0; h)χV

^AD

e

_α

= χe

_α

+ R

^AD

(λ ± i0; h)Π[χ, −h

²

∆

_x

]Πe

_α

,

= D

R(λ ± i0; h)χI

a

e

α

, θI

a

e

α

E + = D

R(λ ± i0; h)θI

a

e

α

, χI

a

e

α

E

= = D

R(λ ± i0; h)[χ, −h

²

∆

_x

]e

_α

, [θ, −h

²

∆

_x

]e

_α

E + = D

R(λ ± i0; h)[θ, −h

²

∆

_x

]e

_α

, [χ, −h

²

∆

_x

]e

_α

E ,

= D

R

^AD

(λ ± i0; h)χV

^AD

e

_α

, θV

^AD

e

_α

E + = D

R

^AD

(λ ± i0; h)θV

^AD

e

_α

, χV

^AD

e

_α

E

= = D

R

^AD

(λ ± i0; h)Π[χ, −h

²

∆

_x

]Πe

_α

, Π[θ, −h

²

∆

_x

]Πe

_α

E + = D

R

^AD

(λ ± i0; h)Π[θ, −h

²

∆

x

]Πe

α

, Π[χ, −h

²

∆

x

]Πe

α

E .

D´ emonstration : Elle s’appuie essentiellement sur la Remarque 3.2, voir [Jec-1].

D´ emonstration (du Th´ eor` eme 2.4) : La preuve d´ ecoule de plusieurs lemmes r´ epartis sur cinq ´ etapes. On n’´ ecrira pas toujours la d´ ependance en h.

Premi` ere ´ etape : On ´ ecarte des termes n´ egligeables.

Lemme 3.4. Si l’un des indices est 3 alors il existe

₀

> 0 tel que, uniform´ ement par rapport ` a λ ∈ J et ω ∈ S

ⁿ⁻¹

,

σ

_jk^AD

(λ, ω; h) = O(h

^{1+γ(1−n)+0}

) et

σ

_jk

(λ, ω; h) − σ

_jk^AD

(λ, ω; h) = O(h

1+γ(1−n)+1+0

).

D´ emonstration : Soient 1/2 < s

⁰

< s < ρ − n/2, on a, d’apr` es la Proposition 3.1,

hxi

^s0

χ

2

I

a

e

α

≤ C

hxi

^{−n/2−(s−s0)}

1I

suppχ2

(x)hxi

^n/2+s−ρ

= O(h

^{γ(ρ−n/2−s)}

) = O(h

1+γ(1−n/2−s)

) (3.7)

car hxi

^{−n/2−(s−s0)}

∈ L

²

(IR

ⁿ_x

) et γρ = 1 + γ. Comme

Π[−h

²

∆

_x

, Π]e

_α

= −h

²

Π(∆

_x

Π)e

_α

− 2in

_α

(λ; h)hΠ(∇

_x

Π) · ωe

_α

,

hxi

^s0

χ

₂

Π[−h

²

∆

_x

, Π]e

_α

k ≤ Chkhxi

^{−n/2−(s−s0)}

1I

_suppχ2

(x)hxi

^{n/2+s−ρ−1}

= O(h

1+γ(ρ+1−n/2−s)

) = O(h

2+γ(2−n/2−s)

), (3.8) toujours grˆ ace ` a la Proposition 3.1. D’apr` es la Remarque 3.2,

ΠV

^AD

e

_α

= Π[−h

²

∆

_x

, Π]e

_α

+ ΠI

_a

e

_α

et

hxi

^s0

χ

₂

ΠV

^AD

e

_α

= O(h

1+γ(1−n/2−s)

).

De mˆ eme, comme η = (1 + δ)γ, on obtient

hxi

^s0

χ

₃

I

_a

e

_α

= O(h

^{η(ρ−n/2−s)}

) = O(h

1+γ(1−n/2−s)+δγ(ρ−n/2−s)

), (3.9)

hxi

^s0

χ

3

Π[−h

²

∆

x

, Π]e

α

= O(h

1+η(ρ+1−n/2−s)

) = O(h

2+γ(2−n/2−s)+δγ(ρ+1−n/2−s)

) et

hxi

^s0

χ

₃

ΠV

^AD

e

_α

= O(h

1+γ(1−n/2−s)+δγ(ρ−n/2−s)

).

D’apr` es (2.8), on a donc, pour j, k ∈ {2, 3}, (j, k) 6= (2, 2), σ

^AD_jk

(λ, ω; h) = O(h

⁻¹

)O(h

1+γ(1−n/2−s)

)O(h

1+γ(1−n/2−s)+δγ(ρ−n/2−s)

)

= O(h

1+γ(1−n)+γ(1−2s)+δγ(ρ−n/2−s)

)

avec γ(1 − 2s) + δγ(ρ − n/2 − s) > 0 pour s assez proche de 1/2. Grˆ ace ` a (2.10),

= Dn

R(λ + i0; h) − R

^AD

(λ + i0; h)Π o

χ

_j

I

_a

e

_α

, χ

_k

I

_a

e

_α

E

= O(h

⁰

)O(h

1+γ(1−n/2−s)+δγ(ρ−n/2−s)

) O(h

1+γ(1−n/2−s)

)

= O(h

1+γ(1−n)+1+γ(1−2s)+δγ(ρ−n/2−s)

) et les autres termes de la diff´ erence σ

_jk

(λ, ω; h) − σ

^AD_jk

(λ, ω; h) sont du type

= D

ΠR

^AD

(λ + i0; h)χ

_j

Π[−h

²

∆

_x

, Π]e

_α

, χ

_k

I

_a

e

_α

E

= O(h

⁻¹

)O(h

1+γ(1−n/2−s)

) O(h

2+γ(2−n/2−s)

)

= O(h

1+γ(1−n)+1+γ+γ(1−2s)

).

Il reste donc ` a estimer les termes faisant intervenir χ

1

et χ

3

. Pour cela, on transforme l’expression de R

^AD

(λ + i0; h)χ

₁

V

^AD

e

_α

en utilisant la Proposition 3.3. On en d´ eduit que σ

₁₃^AD

(λ, ω; h) = = D

χ

₁

e

_α

, χ

₃

V

^AD

e

_α

E + = D

R

^AD

(λ + i0; h)Π[χ

₁

, −h

²

∆

_x

]Πe

_α

, χ

₃

V

^AD

e

_α

E ,

= = D

R

^AD

(λ + i0; h)Π[χ

₁

, −h

²

∆

_x

]Πe

_α

, χ

₃

V

^AD

e

_α

E car χ

₁

χ

₃

= 0. Pour ´ evaluer ce dernier terme, calculons

[χ

₁

, −h

²

∆

_x

]Πe

_α

=

h

²

(∆χ

₁

)Π + 2h(∇χ

₁

) · h(∇

_x

Π) + 2in

_α

(λ; h)h(∇χ

₁

) · ωΠ e

_α

. D’apr` es les propri´ et´ es de χ

₁

, notamment (3.4),

hxi

^s0

[χ

₁

, −h

²

∆

_x

]Πe

_α

= O(h

1+γ(1−n/2−s)

)

et σ

^AD₁₃

(λ, ω; h) = O(h

−1+1+γ(1−n/2−s)+1+γ(1−n/2−s)+δγ(ρ−n/2−s)

)

= O(h

1+γ(1−n)+γ(1−2s)+δγ(ρ−n/2−s)

),

avec γ (1 − 2s) + δγ(ρ − n/2 − s) > 0 pour s assez proche de 1/2. L’´ etude de σ

^AD₃₁

(λ, ω; h) est similaire en utilisant l’expression de R

^AD

(λ − i0; h)χ

₁

V

^AD

e

_α

de la Proposition 3.3.

On ´ etudie maintenant la diff´ erence σ

_jk

(λ, ω; h) − σ

_jk^AD

(λ, ω; h) pour (j, k) = (1, 3) (ce sera analoque pour (j, k) = (3, 1)). D’apr` es la Proposition 3.3,

σ

13

(λ, ω; h) = = D

R(λ + i0; h)[χ

1

, −h

²

∆

x

]e

α

, χ

3

I

a

e

α

E

On est donc ramen´ e ` a estimer la diff´ erence

= D

R(λ + i0; h)[χ

₁

, −h

²

∆

_x

]e

_α

, χ

₃

I

_a

e

_α

E

− = D

R

^AD

(λ + i0; h)Π[χ

₁

, −h

²

∆

_x

]Πe

_α

, χ

₃

V

^AD

e

_α

E

= = D

R(λ+i0; h)[χ

₁

, −h

²

∆

_x

]e

_α

, χ

₃

I

_a

e

_α

E

− = D

R

^AD

(λ+i0; h)Π[χ

₁

, −h

²

∆

_x

]e

_α

, χ

₃

V

^AD

e

_α

E

−= D

R

^AD

(λ + i0; h)Π h

[χ

₁

, −h

²

∆

_x

], Π i

e

_α

, χ

₃

V

^AD

e

_α

E . Le dernier terme est d’ordre (en h)

1 + γ(1 − n) + 2 + 2γ + γ(1 − 2s) + δγ(ρ − n/2 − s) car h

[χ

₁

, −h

²

∆

_x

], Π i

= 2h(∇χ

₁

) · h(∇

_x

Π). Il s’agit donc d’´ evaluer la quantit´ e

= Dn

R(λ + i0; h) − R

^AD

(λ + i0; h)Π o

[χ

₁

, −h

²

∆

_x

]e

_α

, χ

₃

I

_a

e

_α

E

−= D

R

^AD

(λ + i0; h)Π[χ

₁

, −h

²

∆

_x

]e

_α

, χ

₃

[−h

²

∆

_x

, Π]e

_α

E . D’apr` es les arguments pr´ ec´ edents, ces deux termes sont d’ordre

1 + γ(1 − n) + 1 + γ(1 − 2s) + δγ(ρ − n/2 − s) avec γ(1 − 2s) + δγ(ρ − n/2 − s) > 0 pour s assez proche de 1/2.

Deuxi` eme ´ etape : En rappelant que I

_a⁰

(x) = I

_a

(x; h)|

_y=0

et n

_α

(λ) = n

_α

(λ; 0), on pose f

₁

= 2in

_α

(λ)h(∇χ

₁

) · ω et f

₂

= χ

₂

I

_a⁰

. (3.10) Lemme 3.5. Il existe

₀

> 0 tel que, pour 1 ≤ j, k ≤ 2, uniform´ ement sur J × S

ⁿ⁻¹

,

σ

^AD_jk

(λ, ω; h) = = D

R

^AD

(λ + i0; h)Πf

_j

e

_α

, f

_k

e

_α

E

+ O(h

^{1+γ(1−n)+0}

),

σ

_jk

(λ, ω; h) − σ

_jk^AD

(λ, ω; h) = = Dn

R(λ + i0; h) − R

^AD

(λ + i0; h)Π o

f

_j

e

_α

, f

_k

e

_α

E + O(h

1+γ(1−n)+1+₀

).