Mathématiques semestre 1 – Mesures Physiques

Me contacter: sans hésiter

• jean-marie.de-conto@univ-grenoble-alpes.fr

•

04 76 82 54 12 (campus)

• http://jmdeconto.pagesperso-orange.fr/

pour les supports de cours

• http://maths.tetras.org/

pour les TDs (Guillaume Laget)

Cours à l’IUT1

Maths S1, mécanique S2, métrologie S3 , chaîne de mesure S4

Activités

• Professeur des Universités, enseignant-chercheur

• Physique des particules (accélérateurs)

• Direction de thèses, comités scientifiques, CNRS…

• Chargé de mission Artistes de Haut Niveau à l’UGA (INP, Sciences-Po, ENSAG, UGA)

Conseils

•

Prenez des notes en cours et arrêtez moi si je vais trop vite

•

Posez des questions y compris en amphi

•

Demandez au prof , pas aux voisin(e)s

•

Pas de rappels de cours en TD

• Venez avec le cours, et en l’ayant regardé au préalable

• Revoyez le cours et/ou le TD avant d’y assister

•

Cours et TD sont obligatoires

•

Sortir de cours en n’ayant guère compris n’est pas grave: c’est la répétition qui permet d’assimiler

(cours+relecture+TD+questions au prof…)

•

Sachez les “formules à connaître” que je vous indique

•

Demandez de l’aide si besoin (“soutien” si besoin, rattrapage

pour absence etc)

Résolution d’un problème grâce aux mathématiques : un point au milieu de plusieurs autres.

•

Poser correctement le problème

•

Modéliser le problème et précisant les hypothèses

•

Résoudre le problème

•

La connaissance du comportement physique vous guide pour trouver des solution (ex: eq. Diff avec second membre)

•

Rester conscient que cette solution est dépendante du modèle

•

F=ma est FAUX en physique relativiste

•

Chute libre = parabole vrai pour un champ de pesanteur uniforme.

Ellipse en réalité

•

Vitesse relative = différence des vitesses est FAUX en physique

relativiste

Quelques trucs

•

Les maths: une boîte à outils indispensable dans votre cas, mais aussi (surtout) une science très riche.

•

Détournement de citations: « Ora et labora » / « Tais-toi et calcule » (Saint Benoît, Feynman, Cohen-Tannoudji, Serge Haroche) .

•

Rôle indispensable de l’écrit: prendre des notes, travailler les exercices à l’écrit.

•

Simple lecture des diapos: non (passivité)

•

Calculatrice

• Pour résoudre les problèmes ? Non

• Pour se vérifier? Absolument

•

Internet? Attention!

Plan du cours

•

Rappels: formules usuelles de dérivation, logarithmes et exponentielle

•

Fonctions et équations trigonométriques

•

Nombres complexes

•

introduction aux fonctions de plusieurs variables, différentielles

•

Intégration

•

Equations différentielles

•

Vecteurs, équations linéaires

•

Coordonnées polaires, cylindriques

« anecdote »

2 + 3 ∙ 4² = 50 (2 + 3) ∙ 4 ² = 400

• Priorités (décroissantes)

• Puissances

• Produit et rapport

• Somme et différence

• Rôle indispensable des parenthèses

sin 0 + 𝜋

2 = 1 sin 0 + 𝜋

2 = 𝜋 2 sin 0 +𝜋

2 = 𝜋 2

Fonctions d’une seule variable

Rappels

Continuité

Dérivation

Extrema

Continuité

• Une fonction peut être continue ou non, selon que sa courbe

représentative l’est ou non.

• Exemples

• f(x)=1/x est discontinue en 0 car non définie.

• La courbe qui à x associe 0 pour x<0 et 1 sinon est définie partout et non continue en 0.

• Les fonctions polynômiales sont continues

• La fonction sin(x)/x est non définie en 0. On peut néanmoins la

prolonger par continuité en lui donnant la valeur 1 en zéro.

Limite à droite

•

On dit que +∞est la limite de f quand x tend vers x0 si pour tout A, on peut

trouver η tel que

•

A gauche c’est pareil avec x

-x<

A











)

( x A si x x

f

Limites finies

• Théorème

: Quand la limite existe, elle est unique.

• Théorème

: Quand une

fonction admet une limite finie en un point ou elle est définie, elle y est continue. Si elle n’y

est pas définie, on peut la définir en ce point en la prolongeant par continuité

(exemple déjà donné : sin(x)/x en zéro).





















 0

0

)

( )

( lim

petit assez

que dès veut on

l'

que fixé

à L de proche aussi

) (

0

x x si L

x f L

x f

x x x

f

x x





Limites infinies (un seul exemple)

•

On dit que +∞est la limite de f quand x tend vers x0 si pour tout A, on peut

trouver η tel que

•

•

L’infini a un signe!!!









)

( x A si x x

f

A



•

Soient f et g deux fonctions

Si lim

𝑥→𝐴𝑓(𝑥) et lim

𝑥→𝐴𝑔(𝑥) existent et sont finies alors

𝑥→𝐴lim 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝐴𝑓(𝑥) + lim

𝑥→𝐴𝑔(𝑥)

𝑥→𝐴lim 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝐴𝑓(𝑥) ∙ lim

𝑥→𝐴𝑔(𝑥)

• Sinon on peut avoir des formes indéterminées

< 0 >

< 0 >

< +∞ >−< +∞ >

< ∞ >

< ∞ >

< 0 >∙< +∞ >

• On ne calcule pas avec les formes indéterminées

• ^<0>

<∞>n’est pas une forme indéterminée (la limite est zéro)

• < +∞ >+< +∞ >n’est pas une forme indéterminée (la limite est +∞)

Quelques règles pour les limites à ±∞

•

Toute puissance de x l’emporte sur le logarithme

•

L’exponentielle l’emporte sur toute puissance de x

•

La limite à ±∞ d’une fraction rationnelle (rapport de deux polynômes) est égale à la limite du rapport des termes de plus haut degré

 

0

0 ) ln(

lim

) 0 lim ln(

) ln(

lim

) ln(

lim

0 0





 



 





























n

x x

x x x

x

n x

x n x x





lim

) lim exp(

0 ) exp(

lim

) exp(

lim





 



 



























x x

x x x x

n x

x n x x

𝑠𝑖𝑛𝑥 Pas de limite en zéro

𝑥→2lim 2𝑥² + 𝑥 + 4

𝑥→1lim

1 𝑥² − 1

𝑥→−1lim

1 𝑥² − 1

• Limites en + ∞ de

2𝑥 − 𝑒^𝑥

𝑥³+2

3−𝑥⁴ et ^𝑥3+2

3+𝑥³

𝑒^𝑥 𝑥³ + 1

ln(𝑥²) 𝑥³

𝑒^−𝑥 ∙ cos(𝑥) et 𝑒^𝑥 ∙ cos(𝑥) cos(2𝑥 + 1)

𝑥³



Quelques rappels (sans démonstration)

Dérivation

• Le nombre dérivé, quand il existe, caractérise la pente d’une courbe en un point

• 𝑓^′ 𝑥₀ =^sin(𝜃)ൗ_cos(𝜃)= tan(𝜃)où  est « l’angle limite »

• Une fonction n’est pas nécessairement dérivable en un point (discontinuité ou point anguleux).

• Si une fonction est dérivable alors elle est continue (dans le domaine de dérivabilité).

• Si la dérivée s’annule et change de signe, la fonction admet un extrémum

• 𝑢 + 𝑣 ^′ = 𝑢^′+ 𝑣^′

• 𝑎𝑢 ^′ = 𝑎𝑢^′ pour a constant

• 𝑢𝑣 ^′ = 𝑢^′𝑣 + 𝑢𝑣^′

• ^𝑢

𝑣

′ = ^{𝑢′𝑣−𝑢𝑣′}

𝑣²

• 𝑔(𝑓(𝑥) ^′ = 𝑔′(𝑓 𝑥 ) ∙ 𝑓′(𝑥)

Notation: 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓(𝑥))

• Ex: 𝑔 𝑥 = 𝑥² + 1 𝑒𝑡 𝑓 𝑥 = sin 𝑥

• 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛²(𝑥) +1

• 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥²+ 1

Dérivation et limites

• Définition : Si la limite L existe, la fonction qui associe à x le nombre dérivé de f en x est la fonction dérivée de f par rapport à x.

• Théorème : La dérivée en un point est la pente de la courbe en ce point.

• Propriété 1: Une fonction dérivable en un point y est continue

• Propriété 2 : Une fonction impaire a pour dérivée une fonction paire et vice-versa.

Preuve?

• Non dérivabilité si

• Non continuité OU

• Point anguleux

• Devinette. Existe-t-il

• Des fonctions jamais continues

• Continues mais jamais dérivables

• Dérivables mais jamais continues

x f x

x f x x

L f

x

x 

 







 







 0

0 0

0 ( ) ( ) lim

lim

x0

dx

df



 

 





Δf

Δx 𝑓 𝑥₀ + ℎ ~𝑓 𝑥₀ + ℎ ∙ 𝑓′(𝑥₀) quand h est petit

Un exemple amusant

•

Pour x<=1:

•

continue

•

dérivable

•

Pour x>1

•

continue

•

Pas dérivable







1

2

) ) sin(

(

n

n

n x nx

f

Dérivées usuelles ( à savoir sauf les deux dernières)

•

𝑥

→ 𝛼𝑥

•

𝑥 = 𝑥

→

2

𝑥

=

2 𝑥

• ¹

𝑥

= 𝑥

→ −𝑥

= −

𝑥²

•

cos 𝑥 → − sin 𝑥

•

sin(𝑥) → cos(𝑥)

•

cos 𝑎𝑥 + 𝑏 → −𝑎 ∙ sin 𝑎𝑥 + 𝑏

•

sin 𝑎𝑥 + 𝑏 → 𝑎 ∙ cos(𝑎𝑥 + 𝑏)

•

1 + 𝑥

→

2 1+𝑥³

∙ 3𝑥

•

1 + 𝑐𝑜𝑠

(𝑥) →

2 1+𝑐𝑜𝑠³(𝑥)

∙ 3𝑐𝑜𝑠

(𝑥) ∙ −sin(𝑥)

•

Remarque de notation: on note également 𝑓

𝑥 sous la forme 𝑑𝑓

𝑑𝑥

Exemple: dériver

𝑥 𝑥 + 1 cos 3𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛³(𝑥) et sin(𝑥³)

ln 2𝑥 − 1 ln(2𝑥)

𝑥 𝑒^1/𝑥 𝑒^2𝑥−3

3𝑥 + 1

Minimum – maximum - extremum

• Théorème : Pour admettre un extremum local, il est nécessaire que la dérivée s’annule.

• Si La dérivée s’annule et change de signe, alors on a un extremum local.

• Si on passe de – à + c’est un minimum

• Si on passe de + à – c’est un maximum

6 x5 

5 x 6

6 x5

6

Minimum – maximum – extremum (le même!)

• Théorème

: Pour admettre un extremum local, il est nécessaire que la dérivée s’annule.

•

Si la dérivée seconde est négative, alors on a un maximum local.

•

Si la dérivée seconde est positive, alors on a un minimum local.

6 x5 

5 x 6

6 x5

6

Dérivation de fonctions composées





(

) ( ))

( ( )

(

x g x g f x F

x g f x

g f x F



 

 



 

La dérivée de la composée est le produit des dérivées.

Comme f agit sur g(x), f’ agit également sur g(x)

Dérivation de la réciproque

F est la réciproque de f si 𝐹(𝑓(𝑥)) = 𝑥

𝑥 ⟼ 𝑓 𝑥 = 𝑦 𝐹 𝑦 = 𝑥 ⟻ 𝑦

𝑥 ∈ [0, +∞[⟼ 𝑓 𝑥 = 𝑥² = 𝑦 𝑥 = 𝐹 𝑦 = 𝑦

𝑥 = 𝐹 𝑓 𝑥 = 𝐹 𝑦 1 = 𝐹^′ 𝑓 𝑥 ∙ 𝑓^′ 𝑥 𝐹^′ 𝑦 = 1

𝑓^′ 𝑥 = 1 𝑓′(𝐹 𝑦 ) Dérivation

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥²

𝑦 ^′ = 1

𝑓^′ 𝑥 = 1

2𝑥 = 1 2 𝑦

x 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥²

𝑥 = 𝑦² → 𝑦 = 𝑥 les pentes

𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑥 ⟼ 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝐺 𝑦

𝑦 ⟼ 𝑥 = 𝑓

(𝑦) 𝑦 ⟼ 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 1 𝐺 𝑦

𝑦 = 𝑥 ² 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 2 ∙ 𝑥 = 2 ∙ 𝑦

𝑥 = 𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 1 2 ∙ 𝑦

Sous réserve d’existence et de définition

𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑥 ⟼ 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝐺 𝑦

𝑦 ⟼ 𝑥 = 𝑓

(𝑦) 𝑦 ⟼ 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 1 𝐺 𝑦

𝑦 = tan 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 1 + tan ² 𝑥 = 1 + 𝑦 ²

𝑥 = arctan 𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 1 1 + 𝑦 ²

Sous réserve d’existence et de définition

𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑥 ⟼ 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝐺 𝑦

𝑦 ⟼ 𝑥 = 𝑓

(𝑦) 𝑦 ⟼ 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 1 𝐺 𝑦

𝑦 = 𝑠ℎ 𝑥 = 𝑒 ^𝑥 − 𝑒 ^−𝑥 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑒 ^𝑥 + 𝑒 ^−𝑥

2 = 𝑦 ² − 1

𝑥 = argsh 𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 1

𝑦 ² − 1

Sous réserve d’existence et de définition

𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑥 ⟼ 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝐺 𝑦

𝑦 ⟼ 𝑥 = 𝑓

(𝑦) 𝑦 ⟼ 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 1 𝐺 𝑦

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = cos(𝑥) = 1 − 𝑦 ²

𝑥 = arc𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 1

1 − 𝑦 ²

Sous réserve d’existence et de définition

Fonctions logarithmes et exponentielle

•

La fonction logarithme népérien est la fonction définie par

•

Autrement dit:

• Propriété: le logarithme du

produit est égal à la somme des logarithmes (on suppose a et x positifs)

• ^𝑑

𝑑𝑥

ln 𝑥 =

𝑥

avec ln(1)=0

•

ln 𝑥 = ׬

•

Soit 𝑓 𝑥 = ln(𝑎𝑥) (avec a constant)

→

𝑓

𝑥 =

𝑎𝑥

∙ 𝑎 =

𝑥

→

ln 𝑎𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶

→

ln 𝑎 = ln 1 + 𝐶 = 𝐶

→

𝐶 = ln 𝑎

→

ln 𝑎𝑥 = ln 𝑎 + ln(𝑥)

Propriétés élémentaires

•

Domaine de définition: ℝ

•

Fonction strictement croissante

•

lim

𝑥→+∞

ln 𝑥 = +∞

•

lim

𝑥→0⁺

ln 𝑥 = −∞

•

ln 1 = 0

•

ln 𝑥𝑦 = ln 𝑥 + ln 𝑦

•

ln

𝑦

= ln 𝑥 − ln(𝑦)

•

Il existe un nombre 𝑒 ≈ 2.718 tel que ln 𝑒 = 1

𝑥→+∞lim

ln(𝑥) 𝑥^𝑛

= 0 𝑛 > 0

Histoires de dérivées: dérivée logarithmique

•

Quelle est la dérivée (si elle existe) de𝑔 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 ?

•

Pour x>0, on a 𝑥 = 𝑥 donc 𝑔 𝑥 = ln 𝑥 donc 𝑔′ 𝑥 = 1/𝑥

•

Pour x<0, on a 𝑥 = −𝑥 donc 𝑔 𝑥 = ln −𝑥



𝑔′ 𝑥 =

−𝑥

∙ −1 =

𝑥

également

𝑑

𝑑𝑥

ln 𝑥 =

𝑥

pour tout x≠0

•

De la même manière, pour toute fonction f, on a 𝑓(𝑥) = ±𝑓 𝑥

• ^𝑑

𝑑𝑥

𝑙𝑛 𝑓(𝑥) =

𝑑𝑥

𝑙𝑛 ±𝑓(𝑥) =

±𝑓(𝑥)

∙ ±𝑓′(𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥 ln 𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)

Théorème

•

Les primitives de

𝑓(𝑥)

sont 𝑙𝑛 𝑓(𝑥) + 𝐶 avec C une constante réelle quelconque

•

Exemple:

න

−2

−1

3𝑥

𝑑𝑥

𝑥

+ 2 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥

+ 2

= ln 1 − ln 6 = − ln 6 = ln( 1 6 )

•

Les primitives de

𝑥

sont 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 avec C une constante réelle quelconque

•

Exemple: ׬

𝑥

= ln 1 − ln 2 = − ln 2 = ln(

2

)

La fonction exponentielle

• Def: la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme

.

• Propriété fondamentale

• exp 1 = 𝑒 car ln 𝑒 = 1 par définition Donc exp 𝑛 = 𝑒 ∙ 𝑒 ∙ 𝑒 ⋯ 𝑒 ∙ 𝑒 = 𝑒^𝑛

• On montre que pour tout x réel on a:

• On a bien sûr: exp −𝑥 = 𝑒^−𝑥 = 1/𝑒^𝑥

e

x )  exp(

) ln(

) ln(

) ln(

) exp(

ab b

a

e e y

x









𝑦 = exp 𝑥 ⟺ 𝑥 = ln(𝑦)

) exp(

) exp(

)) exp(ln(

) exp(

) ln(

) ln(

) ) ln(

ln(

)

ln( x y a b ab x y ab ab x y

b y

a

x          









Autres propriétés

• L’exponentielle est définie sur ℝ tout entier

• Sa courbe représentative s’obtient par

symétrie de la courbe de ln par rapport à la diagonale

𝑑

𝑑𝑥

𝑒

= 𝑒

𝑑𝑥

𝑒

= 𝑓′(𝑥)𝑒

𝑑

𝑑𝑥 𝑒

= 𝑎𝑒

 

ab a

e e

ab a e





 ) exp(

) ln(

En rouge: fonction exponentielle.

En vert: fonction ln





lim

) lim exp(

0 ) exp(

lim

) exp(

lim





 



 



























x x

x x x x

n x

x n x x

Un exemple: 𝑒 ^𝑥 + 𝑒 ^−𝑥 = 3

•

On pose 𝑒

= 𝑋

•

𝑋 +

𝑋

= 3 ⟹ 𝑋

− 3𝑋 + 1 = 0 ⟹ 𝑋 =

2

•

Les deux valeurs trouvées pour X sont positives et correspondent à

𝑥

= 𝑙𝑛

2

et 𝑥

= 𝑙𝑛

2

•

Si X solution, 1/X aussi. Si x solution, -x aussi

•

On a bien

2

∙

2

=

4

= 1 donc les solutions en X sont inverses l’une de l’autre et les solutions en x opposées

•

𝑥

= 𝑙𝑛

2

et 𝑥

= −𝑥

Logarithme de base quelconque

• Soient x et b deux nombres réels positifs et non nuls. On cherche 𝛼 tel que 𝑥 = 𝑏^𝛼

𝑥 = 𝑒^ln(𝑥) = 𝑏^𝛼 = 𝑒^{ln(𝑏) 𝛼} = 𝑒^{𝛼∙ln(𝑏)}

⟹ ln 𝑥 = 𝛼 ∙ ln 𝑏 ⟹ 𝛼 = ln(𝑥) ln(𝑏)

• On dit que 𝛼 est le logarithme à base b de x et on le note 𝑙𝑜𝑔_𝑏(𝑥) = ^ln(𝑥)

ln(𝑏)

• Exemple le plus fréquent: b=10 (logarithme décimal)

• Nombre de chiffres d’un nombre entier N?

𝐸 𝑙𝑜𝑔₁₀(𝑁) + 1 où E désigne la partie entière

• Décibel: mesure de la puissance relativement à une puissance de référence 𝐺_𝑑𝐵 = 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔₁₀ 𝑃

𝑃_𝑟𝑒𝑓

• Exemple: le dBm indique la puissance relativement à Pref=1mW

Trigonométrie – Equations trigonométriques

•

Tout se fait sur le cercle trigonométrique (rayon 1)

•

Mesure et orientation des angles

•

Formules trigo simples

•

Un angle est défini modulo

M

x y

P

Q

 









] 2 , 0

0 [





] ,

0 [  

  



  3  ,   ,  ,



2,0,2,

 2

sin θ = 𝑂𝑃 cos θ = 𝑂Q

tan θ = 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃

La fonction tangente

•

Domaine de définition:

ℝ\ (2𝑛 + 1)

2

•

Périodique de période 𝜋

•

Infinité d’asymptotes verticales

•

Dérivée:

• ^{𝑑𝑡𝑎𝑛(𝑥)}

𝑑𝑥

=

𝑐𝑜𝑠²(𝑥)

= 1 + 𝑡𝑎𝑛

(𝑥)

A savoir par cœur ou à savoir retrouver

θ ^{s in c o s}

0 ⁰ 1

6

 2 1

2 3

4



2 2

2 2

3



2 3

2 1

2

 1 ⁰

2 ? sin

2 ? cos

2 ? sin

2 ? cos





 

 





 

 





 

 





 

 

 

 

 

   

 

 

  ? sin

? cos

? sin

? cos

































2 ? sin 3

2 ? cos 3

2 ? sin 3

2 ? cos 3





 



 

 



 



 

 



 

 

 



 

 

 

 

 

 

• Acheter une loupe

• Rouge: par

cœur

• Vert: savoir déduire

• Orange:

savoir que

cela existe et penser à

lire le formulaire

Fonction arctangente

•

L’équation 𝑦 = tan(𝑥) admet une solution unique dans

l’intervalle ]-/2, /2[ notée arc𝑡𝑎𝑛(𝑦).

•

Une autre solution de 𝑦 = tan(𝑥) est arctan(y) + π

•

Conclusion: l’ensemble des solutions de 𝑦 = tan(𝑥) est

arctan(𝑦) + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

y<0

arc𝑡𝑎𝑛(𝑦)

y>0

Tangente et arctangente

•

Domaine de définition: ℝ\ (2𝑛 + 1)

2

•

Périodique de période 𝜋

•

Infinité d’asymptotes verticales

•

Dérivée:

• ^{𝑑𝑡𝑎𝑛(𝑥)}

𝑑𝑥

=

𝑐𝑜𝑠²(𝑥)

= 1 + 𝑡𝑎𝑛

(𝑥)

1

arctan 1 x x dx

d

 

D étermination de l’angle à partir de son sinus ET de son cosinus

•

Dans ce cas, l’angle est unique (à 2 près)

•

Une seule une valeur est solution. Laquelle ?

•

La fonction arctan a ses valeurs dans le demi-cercle

trigonométrique de droite ]-/2,

/2[, correspondant aux cosinus

positifs.

 





 b x

a x

cos sin

)

/ arctan(

) / arctan(

/ )

tan( 















 b a x

OU

b a x

b a x

) / arctan(

/ )

tan(

0 )

cos( x x a b x a b

b      















 cos( x ) 0 tan( x ) a / b x arctan( a / b ) b

Attention: dans certains domaines, le cas+𝜋n’arrive jamais (en électricité, par exemple, une résistance est toujours positive) mais ce n’est pas une généralité!

Equations angulaires



  n

•

Un exemple simple

•

Une solution fausse

•

La solution juste

•

Il y a en fait (ici) 5 solutions

•

Nota:

•

Cas général: n solutions

??????

10 5    2    

k n n

k n



 







2 2









2 10 10

5 10 10

5 8 ,10

5 6 ,10

5 4 ,10

5 2 ,10

10

5 2 10

2 2 5

 























 



 

 





























k k

Equations trigonométriques 𝑎 ∙ cos 𝑥 + 𝑏 ∙ sin 𝑥 = c

On change éventuellement les signes pour avoir c>0 On écrit 𝑎 ∙ cos 𝑥 + 𝑏 ∙ sin 𝑥 = 𝐴 ∙ cos(𝑥 − 𝜑)

𝑐 = 𝑎 ∙ cos 𝑥 + 𝑏 ∙ sin 𝑥 = 𝑎² + 𝑏² ∙ 𝑎

𝑎² + 𝑏² ∙ cos 𝑥 + 𝑏

𝑎² + 𝑏² ∙ sin 𝑥 cos 𝜑 = ^𝑎

𝑎²+𝑏² et sin 𝜑 = ^𝑏

𝑎²+𝑏²

𝑐 = 𝑎² + 𝑏² ∙ cos 𝑥 − 𝜑 → cos 𝑥 − 𝜑 = 𝑐

𝑎² + 𝑏² = 𝐾 Condition d’existence de solution: 𝐾 ≤ 1

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ^𝑏

𝑎 si a>0 et 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ^𝑏

𝑎 + π si a<0 sin 𝑥 − 𝜑 = ± 1 − 𝐾²

tan 𝑥 − 𝜑 = ± ^1−𝐾2

𝐾 → 𝑥 − 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ± ^1−𝐾2

𝐾 car c>0 𝑥 = 𝜑 ± 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ^1−𝐾2

𝐾 + 2𝑘𝜋 = 𝜑 ± 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ^{𝑎2+𝑏2−𝑐2}

𝑐 + 2𝑘𝜋

Cette mise en forme est indispensable: la somme des carrés des coefficients doit valoir 1

Procédure

•

On s’assure qu’il y a des solutions 𝑐 ≤ 𝑎

+ 𝑏

•

On change les signes si besoin pour avoir c>0 𝑥 = arctan

𝑎

+𝜋 𝑠𝑖 𝑎 < 0 ± 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

𝑐

+ 2𝑘𝜋

•

Cas où l’équation est en x: deux familles de solutions (deux points sur le cercle)

•

Cas où l’équation est en nx: 2n familles de solutions (2n

points sur le cercle) et du 2k/n

2 )

sin(

3 )

cos(

4 x  x 

2 ≤ 16 + 9

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ^𝑏

𝑎 si a>0 et 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ^𝑏

𝑎 + π si a<0 → 𝜑 = −arctan ³

4

𝑥 = 𝜑 ± 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ^{𝑎2+𝑏2−𝑐2}

𝑐 + 2𝑘𝜋 = −arctan ³

4 ±𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ²¹

2 + 2𝑘𝜋

2 )

3 sin(

3 )

3 cos(

4 x  x 

3𝑥 = −arctan ³

4 ±𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ²¹

2 + 2𝑘𝜋 𝑥 = ¹

3 ∙ −arctan ³

4 ± 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ²¹

2 + 𝑘 ∙ ^2𝜋

3

2 )

sin(

3 )

cos(

4  

 x x

2 ≤ 16 + 9 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ^𝑏

𝑎 si a>0 et 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ^𝑏

𝑎 + π si a<0 → 𝜑 = arctan ³

4 + 𝜋 𝑥 = 𝜑 ± 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ^{𝑎2+𝑏2−𝑐2}

𝑐 + 2𝑘𝜋 = arctan ³

4 + π ±𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ²¹

2 + 2𝑘𝜋

2 )

sin(

3 )

cos(

4 x  x  

La somme de deux fonctions sinusoïdales de même

fréquence est une fonction sinusoïdale de même fréquence

•

•

NOMBRES COMPLEXES

• Introduction

• Définition

• Calcul algébrique

• Module et argument

• Formule de Moivre

• Formules d’Euler

• Linéarisation et développement d’expression trigonométriques

Quelques questions

𝑥 + 2 = 0 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℕ ⟹ 𝑥 = −2 ∈ ℤ 3𝑥 − 2 = 0 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℤ ⟹ 𝑥 = 2/3 ∈ ℚ

𝑥² − 2 = 0 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℚ ⟹ 𝑥 = ± 2 ∈ ℝ

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℚ ⟹ 𝑥 = −𝑏 ± Δ 2𝑎 Exemple: 𝑥 ∉ ℚ 𝑠𝑖 Δ = 2 ∙ 𝑞² 𝑒𝑡 𝑞 ∈ ℚ

⟹ 𝑥 = 𝑢 + 𝑣 2

2 ∉ ℚ

La somme et le produit de deux nombres de la forme 𝑢 + 𝑣 2 est solution d’une équation du second degré dont le discriminant est de la forme Δ = 2𝑞² (éventuellement q=0)

« reculer »

« découper des parts»

« irrationnel »

−𝑏± Δ

2𝑎 seront dits conjugués 𝑧₁ = 1 + 2 2 ↔ ҧ𝑧₁ = 1 − 2 2

𝑥 − 𝑧₁ ∙ 𝑥 − ҧ𝑧₁ = 𝑥² − 2𝑥 − 7 = 0 ∆= 2 ∙ 4² 𝑧₂ = 1 + 3 2 ↔ ҧ𝑧₁ = 1 − 3 2

𝑥² − 2𝑥 − 17 = 0 ∆= 2 ∙ 6²

𝑧₃ = 𝑧₁ ∙ 𝑧₂ = 13 + 5 2 ↔ ҧ𝑧₃ = 13 − 5 2 𝑥² − 26𝑥 + 119 = 0 ∆= 2 ∙ 10²

𝑧₄ = 𝑧₁ + 𝑧₂ = 2 + 5 2 ↔ ҧ𝑧₄ = 2 − 5 2 𝑥² − 4𝑥 − 46 = 0 ∆= 2 ∙ 10² ҧ𝑧3 = 𝑧₁ ∙ 𝑧₂ = ҧ𝑧₁ ∙ ҧ𝑧₂ ҧ𝑧₄ = 𝑧₁ + 𝑧₂ = ҧ𝑧₁ + ҧ𝑧₂

𝑢 + 𝑣 2 𝑢 − 2𝑣

• On a étendu l’ensemble des rationnels en lui adjoignant une dimension supplémentaire 2

• L’ensemble obtenu permet de trouver toutes les solutions et toutes les équations de discriminant 2𝑞²

• 2 est un nombre « irrationnel » que les grecs n’acceptaient pas Nombres complexes:

• Si l’on sait résoudre 𝑥² + 1 = 0 alors on saura résoudre toute équation polynomiale à coefficients réels (non-démontré ici)

• Les solutions de cette équation ne peuvent être réelles

• On doit donc montrer qu’elles existent et ce qu’elles sont.

• On les notera « i » et « -i ».

• « i » signifie « imaginaire » car on n’acceptait pas cette notion à la Renaissance

• Toute équation polynomiale à coefficients réels aura des solutions dites complexes de la forme 𝑧 = 𝑥 + 𝑖 ∙ 𝑦

• On pourra travailler avec les nombres complexes comme avec les nombres réels. On aura fait une extension des réels, notée ℂ

Nota: irrationnel ou imaginaire traduit la difficulté d’acceptation de la notion, à l’origine

Le nombre i

𝑥 + 2 = 0 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℕ ⟹ 𝑥 = −2 ∈ ℤ 3𝑥 − 2 = 0 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℤ ⟹ 𝑥 = 2/3 ∈ ℚ

𝑥² + 1 = 0 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℝ ⟹ 𝑥 = ±𝑖 ∈ ℂ

−1 ∙ 𝑥 = −𝑥 𝑖²𝑥 = −𝑥

Si l’on associe la multiplication par « i » à un quart de tour, celle par 𝑖²correspond bien à un demi-tour.

Les nombres complexes doivent être cherchés dans le plan (x,y) et associé à des rotations et des homothéties (« zooms »)

« reculer »

« découper des parts»

« faire demi-tour»

ℛ_𝜃1 𝑥

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙ 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙ 𝑦

−𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙ 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙ 𝑦

ℛ_𝜃2(ℛ_𝜃1 𝑥

𝑦 ) =

𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ − 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ ∙ 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ ∙ 𝑦

− 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ ∙ 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ − 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ ∙ 𝑦

•

Deux rotations:

•

Rotation et homothétie (“zoom”)

𝑅₁ ∙ ℛ_𝜃1 𝑥

𝑦 = 𝑅₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙ 𝑥 + 𝑅₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙ 𝑦

−𝑅₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙ 𝑥 + 𝑅₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙ 𝑦

•

Deux rotations et deux zooms

𝑅₂ ∙ℛ_𝜃2(𝑅₁ ∙ℛ_𝜃1 𝑥 𝑦 )

=

𝑅₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙𝑅₂ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ −𝑅₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙𝑅₂ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ ∙ 𝑥 + 𝑅₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙𝑅₂ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ +𝑅₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙𝑅₂ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ ∙ 𝑦

− 𝑅₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙ 𝑅₂ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑅₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ ∙ 𝑥 + 𝑅₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙ 𝑅₂ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ − 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙ 𝑅₂ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ ∙ 𝑦

y

x 𝜃₁

Cosinus et sinus de la somme des angles

𝑅₂ ∙ℛ_𝜃2(𝑅₁ ∙ ℛ_𝜃1 𝑥 𝑦 )

=

𝑅₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙𝑅₂ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ −𝑅₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙𝑅₂ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ ∙ 𝑥 + 𝑅₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙𝑅₂ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ +𝑅₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙𝑅₂ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ ∙ 𝑦

− 𝑅₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙ 𝑅₂ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ + 𝑅₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ ∙ 𝑥 + 𝑅₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ ∙ 𝑅₂ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ − 𝑠𝑖𝑛𝜃₁ ∙ 𝑅₂ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₂ ∙ 𝑦

𝑋 = 𝑅₁ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₁ 𝑌 = 𝑅₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₁

𝜃₁

𝐴 = 𝑅₂ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃₂ 𝐵 = 𝑅₂ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃₂

𝜃₂

𝑋

𝑌 ⨂ 𝐴

𝐵 = 𝑋𝐴 − 𝑌𝐵 𝑋𝐵 + 𝑌𝐴 𝑋

0 ⨂ 𝐴

𝐵 = 𝑋𝐴 𝑋𝐵 𝑋

0 ⨂ 𝐴

0 = 𝑋𝐴 0

Est une nouvelle opération

Est une simple homothétie (zoom sans rotation)

Est la multiplication dans ℝ

𝑋

0 ⨂ 𝐴

𝐵 = 𝑋𝐴 𝑋𝐵 𝑋

0 ⨂ 𝐴

0 = 𝑋𝐴 0

Est une simple homothétie (zoom sans rotation)

Est la multiplication dans ℝ

𝑌 ⨂

𝐵 =

𝑋𝐵 + 𝑋𝐴

1

0 ⨂ 𝐴

0 = 𝐴

0 Est l’identité (pas d’action)

0

1 ⨂ 𝐴

𝐵 = −𝐵

𝐴 Est une rotation de 90 degrés

0

1 ⨂ 0

1 = −1

0 Correspond au demi tour et donc à la multiplication par -1

Cette nouvelle opération se réduit à la multiplication dans ℝ quand on n’a que la première ligne. Les vecteurs du type [x,0] correspondent aux nombres réels, avec la multiplication usuelle.

𝑖 = 0 1 𝑖² = −1

0 = −1

𝑌 ⨂

𝐵 =

𝑋𝐵 + 𝑌𝐴

• Le plan (x,y) muni de cette opération est appelé le plan complexe ℂ

• Cette opération est la multiplication usuelle quand y=0 et b=0

• Les points (x,y=0) correspondent à ℝ

• On notera le nombre complexe z = 𝑋

𝑌 sous la forme 𝑧 = 𝑥 + 𝑖 ∙ 𝑦

• x est la partie réelle de z

• y est sa partie imaginaire Produit:

𝑥 + 𝑖 ∙ 𝑦 ∙ 𝑎 + 𝑖 ∙ 𝑏 = 𝑥𝑎 − 𝑦𝑏 + 𝑖 ∙ 𝑥𝑏 + 𝑦𝑎

Inverse ¹

𝑥+𝑖∙𝑦 = ^{𝑥−𝑖∙𝑦}

𝑥²+𝑦² = ^𝑥

𝑥²+𝑦² − 𝑖 ^𝑦

𝑥²+𝑦²

Somme:

𝑥 + 𝑖 ∙ 𝑦 + 𝑎 + 𝑖 ∙ 𝑏 = 𝑥 + 𝑎 + 𝑖 ∙ (𝑦 + 𝑏) Opposé: − 𝑥 + 𝑖 ∙ 𝑦 = -𝑥 − 𝑖 ∙ 𝑦

• On travaille comme dans ℝ, en ayant simplement 𝑖² = −1

• Les nombres de la forme x sont les réels

• Les nombres de la forme 𝑖 ∙ 𝑦 sont dits imaginaires purs.

𝑢 + 𝑣 2 → 𝑎 + 𝑖 ∙ 𝑏

En résumé

•

On travaille avec les nombres complexes comme si l’on était dans ℝ

•

Ceci revient à considérer qu’il y a un nombre « i » de carré -1

𝑖² = −1 (più di meno via più di meno fa meno –Bombelli 1572-)

•

Toute équation polynomiale a alors des solutions

•

Restriction:

•

On ne peut écrire 𝑧 (sauf si Z est un réel positif ou nul)

•

Il n’y a pas de notion de signe (mais d’opposé)

•

Z>z n’a de sens que pour les réels

•

Ln(z) peut être défini mais avec prudence (hors programme

Anecdotes (sans démonstration )

• 𝑥³ − 15𝑥 − 4 = 0 a une solution évidente : 𝑥 = 4

• Les formules de Cardan (1545) font intervenir

3 2 ± −121 Utilisé par Bombelli pour trouver x=4

Les solutions, toutes réelles, sont: 4, −2 ± 3

• 𝑥³ − 3𝑥 + 1 = 0

• Les formules de Cardan (1545) font intervenir (notation de l’époque)

3 1 2 ± 1

2 −3 On écrit aujourd’hui que ¹

2 ± ¹

2 −3 = cos ^𝜋

3 ± 𝑖 ∙ sin ^𝜋

3

On déduit que la seule solution réelle de l’équation est x = cos ^𝜋

9

2 + 3𝑖 ∙ 4 + 5𝑖 =

1 + 2𝑖 ∙ 1 − 2𝑖 = 1

2 + 3𝑖

1 + 2𝑖 2 + 3𝑖

Définitions et propriétés

• Soit 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

• 𝑥 = 𝑅𝑒 𝑧 est la partie réelle

• 𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧) est la partie imaginaire

• 𝑧 = 𝑥² + 𝑦²est le module de z

• 𝜃 est son argument

• 𝑡𝑎𝑛𝜃 = ^{𝐼𝑚(𝑧)}

𝑅𝑒(𝑧) → ቐ

𝜃 = arctan ^{𝐼𝑚 𝑧}

𝑅𝑒 𝑧 𝑠𝑖 𝑅𝑒 𝑧 > 0 𝜃 = arctan ^{𝐼𝑚 𝑧}

𝑅𝑒 𝑧 + 𝜋 𝑠𝑖 𝑅𝑒 𝑧 < 0

• arg −𝑧 = arg 𝑧 + 𝜋

• arg 𝑖 = ^𝜋

2 et 𝑖 = 1

• arg −𝑖 = −^𝜋

2 et 𝑖 = 1





z

x y

O

ҧ𝑧

Le point symétrique à l’affixe de z, par rapport à l’axe horizontal, définit le conjugué de z

ҧ𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑧 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 est la forme trigonométrique de z