2éme BAC PC www.etude-generale.com 2020/2021 www.etude-generale.com
Matière : Mathématique Professeur : Yahya MATIOUI
Correction de la série sur les suites numériques Exercice 01
On considère la suite (un)n2N telle que :
( u0 = 1
un+1 = 3uu22n n+1
1. Montrons par récurrence que, pour tout n2N, on a : un 0:
Initialisation : si n = 0, alors u0 0, ceci est vraie. Donc l’inégalité pour n = 0 est vraie.
Hérédité :On suppose que un 0 et on montre que un+1 0:
On a un 0, alors u2n 0: (1)
D’autre part, comme un 0 alors 3u2n+ 1 0. (2) D’aprés (1) et (2), on obtient 3uu22n
n+1 0. C’est-à-dire : un+1 0:
D’après le principe de récurrence on conclut que : 8n2N; un 0 2. Les variations de la suite (un):
Étudions le signe de la di¤érence :un+1 un: un+1 un = u3n
3u2n+ 1 un
= u3n un(3u2n+ 1) 3u2n+ 1
= u3n 3u3n un 3u2n+ 1
= 2u3n un 3u2n+ 1
= 2u3n+un 3u2n+ 1 Comme un 0, alors 2u3u3n2+un
n+1 0. Donc, 2u3u3n2+un
n+1 0. Ce qui signi…e que : un+1 un 0. Donc, la suite (un)n2N est strictement décroissante.
a) Montrons que : 8n2N; 0 un+1 1 3un
Il su¢ t de montrer que 0 un+1 et un+1 13un, pour tout n 2N: Soit n2N
On a : un 0, alors 3uu22n
n+1 0: C’est-à-dire un+1 0: (1)
Montrons que :un+1 13un;ce qui est équivaut à un+1 13un 0:
un+1 1
3uu = u3n 3u2n+ 1
1 3un
= 3u3n un(3u2n+ 1) 3(3u2n+ 1)
= 3u3n 3u3n un 3(3u2n+ 1)
= un
3(3u2n+ 1) On a : un 0 et 3(3u2n+ 1) 0. Donc : 3(3uu2n
n+1) 0: Ce qui signi…e que un+1 1
3un 0: D’ou un+1 1
3un. (2)
D’après (1) et (2), on conclut que pour tout n 2N;on a : 0 un+1 1
3un b) On déduit que : 8n2N ; 0 un (13)n
Soit n2N ; on a : 0 un+1 13un
Donc 8
>>
>>
>>
>>
><
>>
>>
>>
>>
>:
0 u1 13u0 0 u2 13u1 0 u3 13u2
...
0 un 13un 1 en multipliant ces inégalités, on obtient
0 u1 u2 ::: un (1 3
1
3 ::: 1
| {z 3}
ntermes
) u0 u1 ::: un 1
Ce qui signi…e que
0 un (1 3)nu0 et comme u0 = 1 alors, on aura
0 un (1 3)n 2
c) La convergence de la suite (un)n2N:
* La suite (un)n2N est minorée par 0. (Question 1)
* La suite (un)2N est strictement décroissante. (Question 2)
On conclut que la suite (un) est convergente, calculons sa limite : limn !+1un: On sait que
0 un (1 3)n
Comme limn !+1(13)n = 0. Car 1 13 1:Donclimn !+10 = limn !+1(13)n= 0:
On en déduit que
nlim!+1un= 0 Exercice 02
On considère la suite (un)n2N, telle que :
u0 = 1 etu1 = 4 un+2 = 32un+1 12un 1. Calculons u2:
u2 = 3
2u1 1
2u0 = 3
2 4 1
2 1 = 11 2 2. On pose pour tout n 2N: vn =un+1 un
a) Déterminons la nature de la suite (vn)n2N: Calculons les rapports suivants: vv1
0 et vv2
1 pour estimer la nature de la suite(vn)n2N: v1
v0
= u2 u1 u1 u0
=
11
2 4
4 1 = 1 2 et v2
v1
= u3 u2
11
2 4 =
25 4
11 2 11
2 4 = 1
2 Ce qui montre bien que la suite est géométrique de raison 12. Car vv1
0 = vv2
1 =:::=
1 2 =q
Montrons maintenant que la suite (vn) est géométrique pour tout n 2N: vn+1 = un+2 un+1
= 3
2un+1 1
2un un+1
= (3
2un+1 un+1) 1 2un
= 1
2un+1 1 2un
= 1
2(un+1 un)
= 1 2vn
Ce qui montre que la suite (vn)n2N est une suite géométrique de raison 12 et de premier terme v0 =u1 u0 = 4 1 = 3:
3
b) Calculons vn en fonction de n:
On a :
vn =vpqn p
comme p= 0 et q = 12; alors :vn=v0 (12)n: C’est-à-dire : vn= 3 (1
2)n
3. Calculons la somme Sn =v0+v1+:::+vn 1, pour tout n2N : Puisque la suite (vn) est géométrique alors sa somme est :
Sn = v0+v1+:::+vn 1
= v0(1 (12)n 1 12 )
= 3(1 (12)n
1 2
)
= 6(1 (1 2)n) 4. On sait que vn=un+1 un; donc
Sn = v0+v1+:::+vn 1
= (u1 u0) + (u2 u1) +:::+ (un un 1)
= u0 +un
= 1 +un C’est-à-dire
Sn= 1 +un () 6(1 (1
2)n) = 1 +un () un= 6(1 (1
2)n) + 1 Ce qui signi…e que pour tout n2N ; on a
un= 6(1 (1
2)n) + 1 Par passage à la limite, on aura
nlim!+1un= lim
n !+17 6 (1
2)n= 7. Car lim
n !+1(1 2)n=0 à suivre ...
www:etude generale:com
Pr : Yahya MATIOUI
4
