Correction devoir surveillé n°3

2 -1

-2 -3

2 3 4

-1

0 1

A 1

B

C G

626

Correction devoir surveillé n°3

Exercice 1

1) 2 1 1 2 0 donc existe.

et par lecture graphique, on trouve

; 2.

2) ^!"

# ^{$$$ %} 2 Donc le point a bien pour coordonnées ; 2

Exercice 2 1)

2) & & ^'

Or, si & est le barycentre de ; (! et ; )! avec ( ) 1 alors & ) . Par identification, on a ) ^' puis comme ( ) 1, on trouve ( .

Finalement, & est le barycentre de ; et ;^'.

3) 6 1 5 0 donc , existe et , _. & &.

4) Il y a plusieurs méthodes : soit le calcul direct, soit en passant par l’associativité des barycentres…

1^ère méthode : calcul direct :

, & et & donc , Ceci montre que , est le milieu de / 0.

2^ème méthode : par les barycentres :

& est le barycentre de ; et ;^' avec ^' 1 et , est le barycentre de ; 6! et

&; 1!. Par associativité du barycentre, , est le barycentre de ; 6!, ; et ;^'. Par regroupement, , est le barycentre de ; et ; car 6 ^' . Finalement, , est l’isobarycentre de et et , est le milieu de / 0.

Exercice 3

D’après la figure, 2 et 3 _..

On peut donc en déduire que 2 est le barycentre de ; 3! et ; 2! et que 3 est le barycentre de

; 1! et ; 5! soit encore le barycentre de ; 2! et ; 10!. On considère le point 5 barycentre de ; 3!, ; 2! et ; 10!.

Alors par associativité, 5 est le barycentre de 2; 5! et ; 10! donc les points 2, et 5 sont alignés.

Par associativité, nous avons aussi que 5 est le barycentre de ; 3! et 3; 12! donc les points , 3 et 5 sont alignés.

Le point 5 est donc le point d’intersection des droites 2! et 3!. Or le point d’intersection de ces droites est . Donc 5 et est le barycentre de ; 3!, ; 2! et ; 10!.

Exercice 4

1) 22 donc 2 2 0 ou encore avec la relation de Chasles : 2 2 0.

Ceci montre que 2 est l’isobarycentre de et donc que 2 est le milieu de / 0. 2) 7 ₈ donc 7 ₈ 0.

En utilisant la définition d’un barycentre et comme 1 ₈^%₈ 0, est le barycentre de ; ₈ et 7; 1!.

3) 3 ^% donc _%3 or _:⁹₉3 donc on peut par exemple prendre ; 2 et )^< ; 3 soit )^< 1.

Comme 2 1 3 0, on peut dire que est le barycentre de ; 1! et 3; 2!.

4) Comme est le barycentre de ; ₈ et 7; 1!, on peut aussi dire que est le barycentre de ; 1! et 7; 4! . Le but de cette opération est que la somme des coefficients du barycentre de et 7 soit égale à la somme des coefficients du barycentre de et 3. Comme 2 est le milieu de / 0, on peut dire que 2 est le barycentre de ; 3! et ; 3!.

Par associativité du barycentre, 2 est le barycentre de ; 1!, 7; 4!, ; 1! et 3; 2!. En regroupant les coefficients, 2 est le barycentre de 7; 4! et 3; 2! donc :

Les points 7, 2 et 3 sont alignés.

Remarque : on pouvait aussi définir un repère du plan, comme >; ; ?, calculer les coordonnées des points 7, 2 et 3 puis les coordonnées des vecteurs 72 et 73 pour montrer qu’ils sont colinéaires.