Chapitre 18 : espaces vectoriels

ESPACES VECTORIELS

Dans tout ce qui suit,Kdésigne soitR, soitC, etnun entier naturel non nul.

I – L’espace K

Définition 1 :

L’espace vectoriel Kⁿ est l’ensemble des n-uplets d’éléments de K :

Kⁿ=©

(x1,x2, . . . ,xn) ,∀k∈££ 1,n¤¤

,xk∈K^ª.

Remarque : On parle d’espace vectoriel réel siK=Ret d’espace vectoriel complexe siK=C^. Définition 2 :

Les éléments deKⁿsont appelésvecteurs, les éléments deKsont appelésscalaires. Pour tout vecteur u=(x₁,x₂, . . . ,x_n), les scalairesx_k sont appelés composantes du vecteuru. Le vecteur (0, 0, . . . , 0) est appelévecteur nuldeK^{net noté 0}Kⁿ .

Remarque : Deux vecteurs sont égaux ssi leurs composantes sont égales :u=(x1,x2, . . . ,xn) etv=¡

y1,y2, . . . ,yn¢ sont égaux ⇐⇒ ∀k∈££

1,n¤¤

,xk=yk. Une égalité de vecteurs revient donc ànégalités de scalaires.

On définit deux opérations surKⁿ, en procédant composante par composante : Définition 3 :

L’addition dansKⁿet le produit par un scalaire sont définis par : – ∀(u,v) ∈ (Kⁿ⁾², la somme de u = (x1,x2, . . . ,xn) et v = ¡

y1,y2, . . . ,yn¢

est le vecteur de Kⁿ u+v=¡

x1+y1,x2+y2, . . . ,xn+yn¢ .

– ∀λ∈K^,∀u∈Kⁿ, le produit du scalaireλpar le vecteuru=(x1,x2, . . . ,xn) est le vecteur deKⁿ λu=(λx1,λx2, . . . ,λxn) .

Remarque :

– Pourn=2 etK=R, l’espace vectorielR²correspond au plan, et la somme de deux vecteurs ainsi que le produit par un scalaire peuvent s’interpréter à l’aide des connaissances usuelles sur les vecteurs du plan. De même pourn=3 etK=R.

– L’addition ainsi définie est associative (∀(u,v,w) ∈ (Kⁿ)³, u+(v+w) = (u+v)+w), commutative (∀(u,v)∈(Kⁿ)²,u+v=v+u) et possède un élément neutre qui est 0_Kⁿ (∀u∈K^n,u+0_Kⁿ=u).

Exemple 1 : Pourλ= −1, le vecteur (−1)uest noté−uet appelé vecteuropposédeu. On peut ainsi définir une soustraction de vecteurs :u−v=u+(−v).

Les règles de calcul dans un espace vectoriel sont les mêmes que les règles vues en géométrie : Propriété 1 :

(règles de calcul dans un espace vectoriel)

1^o) ∀(λ,µ)∈K²,∀u∈Kⁿ, (λ+µ)u=λu+µu . 2^o) ∀λ∈K^,∀(u,v)∈(K^n)2, λ(u+v)=λu+λv . 3^o) ∀(λ,µ)∈K^2,∀u∈K^n, λ(µu)=(λµ)u . 4^o) ∀u∈K^n, 1·u=u .

Démonstration : Toutes ces propriétés sont tellement immédiates qu’il serait dommage de perdre du temps à écrire leur démonstration.

Propriété 2 :

Pour toutλ∈K^{et tout x}∈K^n: 1^o) λu=0_Kⁿ⇐⇒¡

λ=0ou u=0_Kⁿ¢ . 2^o) (−λ)u=λ(−u)= −(λu) =

notation−λu . Démonstration : À nouveau évident.

Les deux opérations précédentes permettent de définir la notion de combinaison linéaire : Définition 4 :

Soitp∈N^∗, (uk)_1≤k≤pune famille depvecteurs deKⁿ.

On appellecombinaison linéairede la famille (uk)_1≤k≤p tout vecteurutel qu’il existe une famille de scalaires (λk)_1≤k≤pde telle sorte que u=

p

X

k=1

λkuk .

Exemple 2 :

1^o) DansC³, le vecteur i(1,−1+i, 2i)−3(4−2i,−1, i+2) est une combinaison linéaire des vecteurs (1,−1+i, 2i) et (4−2i,−1, i+2).

2^o) DansR³, le vecteuru=(−1,−6, 7) est-il combinaison linéaire des vecteurse1=(1, 3,−3) ete2=(1,−3, 5) ?

II – Sous-espaces vectoriels

Définition 5 :

Une partieFdeKⁿest appeléesous-espace vectorieldeKⁿsi elle vérifie les propriétés suivantes : 1^o) F6= ;(un s.e.v. est non vide).

2^o) ∀(u,v)∈F²,∀(λ,µ)∈K^2,λu+µv∈F(un s.e.v. est stable par combinaison linéaire).

Propriété 3 :

Si F est un sous-espace vectoriel deK^{n, alors0}_Kⁿ∈F .

Démonstration : Fétant non vide, on choisit un de ses élémentsu, puisu=vetλ=µ=0.

Exemple 3 : Le singleton contenant le vecteur nul est un sous-espace vectoriel (c’est le plus petit possible...).Kⁿ est un sous-espace vectoriel (c’est le plus grand possible...).

DansR^2etR³, l’identification géométrique nous permet de déterminer tous leurs sous-espaces vectoriels, et ceux qui n’en sont pas.

DansR^{4, on noteu}1=(−1, 2, 3, 0) etu2=(3,−1, 0, 4) et on définitF=©

u∈R^4,∃(α,β)∈R^2,u=αu1+βu2ª . G=©

(x,y,z,t)∈R^4,x−2y+3z=0 et −x+3y−z+4t=0ª

est un sous-espace vectoriel deR^4. H=©

(a,b,c,d)∈R^{4, 3a}−b+4c+d=1ª

est-il un sous-espace vectoriel deR^{4? I}=©

(x,y)∈R^{2, x y}=0ª

est-il un sous-espace vectoriel deR^2?

Remarque : À la place de la condition 2, on peut aussi démontrer deux conditions : d’une part (u,v)∈F²⇒u+v∈F,et d’autre partu∈F ⇒ ∀λ∈K, λu∈F (stabilité par addition et par multiplication par un scalaire).

On montrerait par une récurrence immédiate : Propriété 4 :

Si F est un sous-espace vectoriel deKⁿ, alors toute combinaison linéaire de vecteurs de F appartient à F . Démonstration : À tester.

L’intersection de sous-espaces vectoriels reste un sous-espace vectoriel :

Propriété 5 :

L’intersection de deux sous-espaces vectoriels deKⁿest un sous-espace vectoriel deKⁿ. Démonstration : L’occasion d’utiliser la définition, et de constater que tout marche bien.

Remarque :

– Interprétation géométrique en dimension 3 : intersection de deux plans, d’une droite et d’un plan.

– Attention : la réunion de deux sous-espaces vectoriels n’est pas forcément un sous-espace vectoriel . On peut même montrer que siFetGsont des sous-espaces vectoriels ,F∪Gest un sous-espace vectoriel ssi F⊂GouG⊂F(cas triviaux).

Corollaire 1 :

L’intersection de k sous-espaces vectoriels deK^n(k≥2) est un sous-espace vectoriel deK^n.

Le type de sous-espace vectoriel qui sera constamment rencontré est le cas des sous-espaces vectoriels en- gendrés par une famille de vecteurs :

Définition 6 :

Soit (ui)1≤i≤kune famille de vecteurs.

On appelle sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs (ui)1≤i≤p l’ensemble défini par Vect¡

u1, . . . ,up¢

= (

u∈Kⁿ,∃(λ1, . . . ,λp)∈K^p,u=

p

X

i=1

λiui

)

=n

λ1u1+. . .+λpup, (λ1, . . . ,λp)∈K^po.

Démonstration : Assez rapide.

Remarque :

– Un sous-espace vectoriel engendré est un sous-espace vectoriel : cela donne une autre méthode (à privilégier) pour prouver qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel .

– Dans le cas d’un sous-espace vectoriel engendré par un seul vecteur non nul, on parle dedroite vectorielle.

Dans le cas d’un sous-espace vectoriel engendré par deux vecteurs non proportionnels, on parle deplan vectoriel.

Exemple 4 : Cas deFdans l’exemple précédent.

Propriété 6 :

Soit(u_i)_1≤i≤pune famille de vecteurs.

Vect¡

u1, . . . ,up¢

est le plus petit (au sens de l’inclusion) espace vectoriel contenant les vecteurs u1,. . ., up. Démonstration : Vect¡

u1, . . . ,up¢

est inclus dans tout sous-espace vectoriel qui contient la famille.

Exemple 5 : On définit F =©

u=(x,y,z,t)∈R^{4, 2x}+3y−4z =0 etx+y+2z−t =0ª

. On montre queF = Vect (u1,u2). On constate qu’il n’y a pas unicité de l’écriture d’un espace vectoriel sous forme d’espace vectoriel engendré.

Propriété 7 :

Soient(k,p)∈N^{∗, avec k}<p, et(u_i)_1≤i≤pune famille de vecteurs.

1^o) u∈Kⁿest combinaison linéaire des(ui)_1≤i≤kssi u∈Vect (u1, . . . ,u_k).

2^o) Les vecteurs u_k+1, . . . ,u_p sont combinaisons linéaires des vecteurs u₁, . . . ,u_k ssi Vect¡

u1, . . . ,up¢

=Vect (u1, . . . ,uk).

Démonstration : Le point 1^o) est immédiat. Pour le point 2^o), la CN se déduit de 1^o) (une seule inclusion à prouver), et la CS est immédiate.

Remarque : Ce résultat montre que l’on peut enlever des vecteurs combinaisons linéaires des autres dans un sous espace vectoriel engendré sans que cela ne le modifie. On pourrait aussi montrer qu’on peut remplacer tout vecteurupar une combinaison linéaire de ce vecteur avec les autres (du typeu+α1u1+. . .+αkuk).

III – Bases

Il s’agit de chercher à décrire un sous-espace vectoriel deKⁿ à partir d’un nombre le plus réduit possible de ses éléments, à l’aide de la notion de base. Dans tout ce qui suit,Fdésigne un sous-espace vectoriel deK^n.

1^o) Familles génératrices

Définition 7 :

On dit que la famille (ui)_1≤i≤pest unefamille génératricefinie deFsi F=Vect¡

u1, . . . ,up¢ .

En d’autres termes, une famille est génératrice deF si tout vecteur deF peut s’écrire comme combinaison linéaire de vecteurs de la famille (d’après la propriété 7).

Exemple 6 : La famille (−2, 1, 2), (0, 3, 1), (−8, 1, 7) est-elle génératrice deR³ ? Même question avec la famille (−2, 1, 2), (0, 3, 1), (−8, 1, 8). C’est l’occasion de faire le lien avec les systèmes linéaires.

Il est clair qu’en ajoutant des vecteurs à une famille génératrice, elle reste génératrice : Propriété 8 :

Si(ui)_1≤i≤k est une famille génératrice de F , alors, pour toute famille(ui)k+1≤i≤p de vecteurs de F , la famille(ui)_1≤i≤pest génératrice de F .

Démonstration : Évident, les coefficients des (u_i)_k+1≤i≤pétant nuls.

Ainsi on peut ajouter des vecteurs quelconques à une famille génératrice d’un sous-espace vectoriel , elle reste génératrice.

On peut d’autre part enlever les vecteurs combinaison linéaire des autres : Propriété 9 :

Soit(u_i)_1≤i≤k+1une famille génératrice de F .

Alors(ui)1≤i≤k est une famille génératrice de F ssi uk+1est combinaison linéaire des(ui)1≤i≤k. Démonstration : La CN ne se démontre pas, la CS est très rapide.

On peut donc enlever des vecteurs qui sont combinaison linéaire des autres dans une famille génératrice d’un sous-espace vectoriel , elle reste génératrice.

2^o) Familles libres Définition 8 :

On dit que la famille (ui)_1≤i≤k de vecteurs de Kⁿ est une famillelibre finie ssi ∀(λ1, . . .λk) ∈K^k, λ1u1+λ2u2+. . .+λkuk=0_Kⁿ=⇒λ1=λ2=. . .=λk=0 .

Si une famille de vecteurs n’est pas libre, on dit que la famille estliée.

Remarque : En résumé, pour une famille libre une combinaison linéaire de vecteurs de la famille est nulle ssi tous les scalaires sont nuls. Lorsqu’une famille de vecteurs est libre, on dit aussi que les vecteurs en question sont linéairement indépendants.

Exemple 7 :

– Une famille (u) à un seul élément est libre ssiu6=0_Kⁿ.

– Une famille à deux vecteurs non nuls est libre ssi les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

– Toute famille contenant le vecteur nul est liée.

– Toute famille contenant deux fois le même vecteur est liée (ou : les vecteurs d’une famille libre sont tous distincts).

– Reprenons l’exemple 6, dans les deux cas.

D’après la définition, une famille est liée s’il existe une combinaison linéaire non triviale nulle de ces vecteurs.

Ce que l’on peut également caractériser sous la forme : Propriété 10 :

Une famille est liée ssi l’un des vecteurs peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres.

Démonstration : Par double implication.

Exemple 8 : Retour au dernier cas de l’exemple précédent, où l’on exprime un vecteur en fonction des autres.

De même que pour les familles génératrices, observons ce qui se passe avec l’ajout ou la suppression de vecteurs dans une famille libre :

Propriété 11 :

Toute sous-famille d’une famille libre est libre.

Démonstration : Évidente avec la définition.

Remarque : Toute surfamille d’une famille liée est liée.

Propriété 12 :

Soit(ui)1≤i≤kune famille libre.

La famille(ui)_1≤i≤k+1est libre ssi uk+1n’est pas combinaison linéaire des vecteurs u1,. . ., uk. Démonstration : CN immédiate, CS par l’absurde.

3^o) Bases

Les familles libres et génératrices permettent d’aboutir à une notion fondamentale dans les espaces vectoriels : la notion de base.

Définition 9 :

On appellebasedu sous-espace vectorielFtoute famille finie libre et génératrice deF.

Exemple 9 : Pour vect_C©

(i+1,−1, 0, 2),¡

2i, i−1,−1, e^iπ/3¢ª

, une base est immédiate. Pour F =©

(x,y,z)∈ C^3, x+y+z=0 etx+iy−z=0ª

c’est un peu moins évident mais nous allons le faire.

Théorème 1 :

Tout sous-espace vectoriel deK^{nautre que{0}Kⁿ}admet des bases. De plus, toutes les bases d’un même sous-espace vectoriel ont le même cardinal : on appelle ce cardinal ladimensionde F , notédim(F).

Démonstration : Admis.

Remarque : Par convention, on dira que le sous-espace vectoriel© 0_Kⁿª

admet pour base la famille vide, et donc que dim (0_Kⁿ)=0 .

Exemple 10 :

– On examine le cas d’une droite vectorielle, d’un plan vectoriel. Celui également de F = ©

u ∈ R⁴,

∃(α,β,γ)∈R³,u=(α−β,β+2γ,α−β+γ, 2α+β−γ)ª

. Plus généralement, celui deF=Vect (u₁, . . . ,u_k).

– Cas d’une famille orthogonale de 2 vecteurs dans le plan, de 3 vecteurs dans l’espace.

Propriété 13 :

B=(e₁, . . . ,ep)est une base du sous-espace vectoriel F ssi∀u∈F ,∃!(x₁,x₂, . . . ,xp)∈K^{p, u}=

p

X

i=1

xiei . Les scalaires xisont appeléscoordonnées(oucomposantes) de u dans la baseB.

Démonstration : Voilà qui est intéressant à écrire, en décomposant existence et unicité.

Remarque : Ainsi la dimension d’un sous-espace vectoriel est le nombre minimal de vecteurs qu’il faut donner pour déterminer entièrement ce sous-espace vectoriel (c’est-à-dire être capable d’écrire tout vecteur du sous- espace vectoriel ). C’est le nombre de composantes permettant d’exprimer tout vecteur, ou encore (graphique- ment) le nombre d’axes nécessaires pour repérer tout vecteur.

Propriété 14 : Pour tout i∈££

1,n¤¤

, on définit le vecteur ei=(0, . . . , 0, 1

|{z}

i^ième

, 0, . . . , 0)∈K^n. La famille(e₁, . . . ,e_n)est une base deK^nappeléebase canonique.

Démonstration : Tout découle de la propriété précédente.

Remarque : On en déduit que dim¡

K^n¢=n .

La notion de base permet d’utiliser la notation matricielle dans les espaces vectoriels : Définition 10 :

SoitB=(e1, . . . ,ep) une base deF.

À tout u ∈ F de coordonnées (x_i)_1≤i≤p dans B est associée la matrice colonne Mat_B(u)=(xi)_1≤i≤p∈Mp,1(K), matrice contenant les coordonnées deudans la baseB.

Remarque : On peut alors utiliser les opérations matricielles (somme et produit par un scalaire) pour effectuer des opérations dansKⁿ: Mat_B(λu+µv)=λMatB(u)+µMatB(v).

Exemple 11 : Déterminer Mat_B(u) oùu=(2, 3) etB=(e1,e2) avece1=(−1, 1) ete2=(3,−2).

Par extension, on peut définir la matrice d’une famille de vecteurs dans une base donnée : Définition 11 :

SoitB=(e1, . . . ,ep) une base deF, etF=(u1, . . . ,uk) une famille de vecteurs deF.

La matrice deF dans la baseB est la matrice, notée Mat_B(F), appartenant à Mp,k(K) et dont la j-ième colonne, pour toutj∈££

1,k¤¤

, est Mat_B(u_j).

IV – Familles et dimension

La connaissance de la dimension d’un sous-espace vectoriel renseigne sur ses familles libres et ses familles généra- trices.

1^o) Familles libres

Propriété 15 :

Toute famille libre dans un sous-espace vectoriel de dimension p contient au plus p vecteurs. Toute famille de plus de p vecteurs d’un sous-espace vectoriel de dimension p est liée.

Démonstration : Admis.

Remarque : dimF est donc le nombre maximum de vecteurs pour qu’une famille soit libre dansF : lorsque ce maximum est atteint, la famille devient une base grâce à la propriété suivante :

Propriété 16 :

Toute famille libre à p éléments dans un sous-espace vectoriel de dimension p est une base.

Démonstration : S’obtient à partir de la propriété 15 : siu∈F, on montre que (e1, . . . ,ep,u) est liée, ce qui entraîne queu∈Vect¡

e1, . . . ,ep¢ .

On peut ainsi utiliser la dimension pour comparer deux sous-espaces vectoriels :

Propriété 17 :

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels deK^n. 1^o) Si F⊂G, alorsdim(F)≤dim(G).

2^o) Si F⊂G, alors (F=G ⇐⇒dim(F)=dim(G)).

Démonstration : Une base deFest une famille libre deG...

Remarque :

– La réciproque de 1^o) est bien sûr fausse.

– On en déduit que le seul sous-espace vectoriel deKⁿde dimensionnestKⁿ(à ne pas oublier pour éviter des incohérences), et que tout sous espace vectoriel strict d’un espace vectorielFest de dimension strictement inférieure à celle deF.

– SiFetGsont des sous-espace vectoriel deKⁿ, la propriété précédente entraîne que dim(F∩G)≤min(dimF, dimG).

De plus, siF*GetG*F, alors l’inégalité précédente est stricte.

2^o) Familles génératrices

En ce qui concerne les familles génératrices, le résultat est inversé grâce au théorème suivant : Propriété 18 :

Toute famille génératrice dans un sous-espace vectoriel de dimension p possède au moins p vecteurs.

Démonstration : Admis.

Remarque : dimFest donc le nombre minimum de vecteurs pour qu’une famille soit génératrice deF: lorsque ce minimum est atteint, la famille devient une base.

Propriété 19 :

Toute famille génératrice à p éléments dans un sous-espace vectoriel de dimension p est une base.

Démonstration : S’obtient également à partir de la propriété précédente : si (e₁, . . . ,e_p) est liée, alors l’un des vecteurs est combinaison linéaire des autres, donc par exemple Vect¡

e₁, . . . ,ep¢

=Vect¡

e₁, . . . ,ep−1

¢, ce qui conduit à une contradiction.

Remarque : Très utile en pratique : lorsqu’on connaît la dimensionpd’un sous-espace vectoriel , pour prouver qu’une famille contenantpvecteurs est une base, il suffit de prouver qu’elle est libreougénératrice.

3^o) Rang d’une famille

Les propriétés précédentes concernant les familles de vecteurs peuvent se traduire à l’aide de la notion de rang : Définition 12 :

SoitF={u_i}1≤i≤pune famille finie de vecteurs deKⁿ.

On appelle rang de la famille F la dimension de Vect¡

u1, . . . ,up¢ : rg(u1, . . . ,up)=dim¡

Vect¡

u1, . . . ,up¢ ¢ .

Remarque : Le rang d’une famille de vecteurs est donc le nombre maximum de vecteurs linéairement indépen- dants dans cette famille.

Exemple 12 : Rang de la famille (−3, 1),(1, 2),(−2, 3) sans aucun calcul.

On en déduit alors :

Propriété 20 :

Soit F un sous-espace vectoriel deK^{n, et}F=(ui)_1≤i≤pune famille de vecteurs de F . 1^o) rg(u1, . . . ,up)≤dim(F) et rg(u1, . . . ,up)≤p .

2^o) (ui)_1≤i≤pest libre dans F ssi rg(u1, . . . ,up)=p .

3^o) (ui)_1≤i≤pest une famille génératrice de F ssi rg(u1, . . . ,up)=dim(F) .

Démonstration : Immédiat (utilise les propriétés précédentes liant familles libres et dimension, et familles généra- trices et dimension).

Le rang d’une famille de vecteurs ne peut donc pas dépasser le nombre de vecteurs de la famille, ni le nombre de composantes de chaque vecteur.

Remarque : SiBest la base canonique deKⁿetF est une famille de vecteurs deKⁿ, alors rg(F)=rg¡

Mat_B(F)¢ : on peut donc utiliser la méthode du pivot pour déterminer le rang d’une famille de vecteurs.

Exemple 13 : On considère les vecteursu1=(−2 , 3 , 0 , 1),u2=(1 , 0 , −1 , 2) etu3=(2 , 3 , 1 , −1) : déterminer rg(u1,u2), rg(u1,u2,u3).