Ellipsoïde de John-Loewner

Ellipsoïde de John-Loewner

Leçons : 152,158,171, 203,219, 229, 253 Définition 1

Unellipsoïdecentré en0est une surface deRⁿ d’équationq(x) =1oùq est une forme quadratique définie positive. On le noteEq.

Lemme 2

SiAet B sont deux matrices définies positives etα∈]0, 1[, alors det(αA+ (1−α)B)¾ (detA)^α(detB)^1−αavec inégalité stricte siA6=B.

Démonstration.On utilise le théorème de réduction simultanée : il existe P ∈GL_n(R) tel queA=^tP P etB=^tP DP où D=Diag(λ1, . . . ,λn),λi >0. Ainsi, siα∈]0, 1[:

det(αA+ (1−α)B) = (detP)² Yn

i=1

(α+ (1−α)λi). Or, ln étant strictement concave, pouri∈J1,nK,

ln(α+ (1−α)λi)¾αln(1) + (1−α)ln(λi) = (1−α)ln(λi),

d’où en sommant et en composant par exp,

n

Q

i=1(α+ (1−α)λi)¾ _n

Q

i=1λi

1−α

. Mais det(A)^αdet(B)^1−α=detP^{2α+2(1−α)}det(D)^1−α=detP²

_n Q

i=1λi

1−α

donc on a l’inéga- lité voulue.

Théorème 3

SoitK compact de Rⁿ d’intérieur non vide. Il existe un unique ellipsoïde centré en0de volume minimal contenantK

Démonstration.On munit Rⁿ de son produit scalaire canonique, de norme associéek · k. On note Q (resp. Q⁺, Q⁺⁺) l’ensemble des formes quadratiques (resp. positives, définies positives) surRⁿ.

Étape 1 : calcul du volume d’un ellipsoïde centré en0.

Soitq forme quadratique positive. Selon le théorème de réduction simultanée, il existe une base orthonorméeB deRⁿ (pour le produit scalaire canonique) eta₁, . . . ,a_n ¾0 tels que M_B(q) =Diag(a₁, . . . ,a_n).

Par un premier de changement de variable envoyant (x₁, . . . ,x_n) sur ses coordonnées dans la baseB, on voit que le volumeV_q deEq est

V_q= Z

{^a1u21+···+anu²_n} dx. Donc, en posant u⁰_i = p

a_iu_i, on obtient par un nouveau changement de variable V_q = pa₁1. . .a_nV₀ où V₀ est le volume de la boule unité de Rⁿ. Or le déterminant de M_B(q) est

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D(q) =a₁. . .a_n, et c’est une quantité invariante par changement de base orthonormée, ap- pelée discriminant. Doncq7→D(q)est une application continue surQ⁺, qu’on va chercher à maximiser.

Étape 2 : minimisation du discriminant.

SoitA ={q∈ Q⁺:∀x ∈K,q(x)¶1}. On munit l’espace vectoriel Q de la norme N :q7→ sup

kxk¶1

|q(x)|.

A est fermé: supposons que la suite(q_n)∈(Q⁺)^Nconverge versq∈ Q. Alors pour tout x ∈Rⁿ,|q_n(x)−q(x)|¶N(q_n−q)kxk² donc q_n(x)−−−−→

n→+∞ q(x). En particulier,q(x)¾0 et q(x)¶1 pourx ∈K.

A est borné : Comme K est d’intérieur non vide, on peut fixer une boule B(a,r)⊂ K.

Donc siq∈ A etkxk¶r,q(a+x)¶1, de sorte que par l’inégalité de Minkowski, Æq(x) =Æ

q(a+x−a)¶

Æq(a+x) +Æ

q(a)¶2.

Ainsi, pourkxk¶1,q(x) = 1

r²q(r x)¶ 2

r², soitN(q)¶ 2 r².

A est non vide: en effet, on peut trouver M >0 tel que K ⊂B(0,M)et q: x 7→ kxk² M² est un élément deA.

Finalement,q7→D(q)est une application continue sur le compact non videA donc elle est bornée et atteint ses bornes enq₀∈ Q⁺⁺∩A car le discriminant est nul pour un élément deQ⁺\ Q⁺⁺. En d’autres termes, selon l’étape 1,Eq0est un ellipsoïde centré en 0 de volume minimal contenantK.

Étape 3 : Unicité.

Supposons queq₁ soit un autre point deA où le minimum est atteint. Remarquons que A est convexe, et notonsq₂= q₀+q₁

2 ∈ A. Alors par log-concavité stricte du déterminant, D(q₂)>p

D(q₀)p

D(q₁) =D(q₀)qui est pourtant supposé maximal : c’est absurde.

Proposition 4

SiG est un sous-groupe compact deGL_n(R), il existeq∈ Q⁺⁺tel que G⊂O(q).

Démonstration.Soit G un sous-groupe compact de GL_n(R),Bla boule unité fermée de Rⁿ muni d’une norme euclidienne. Introduisons K = {g(x)/g ∈G,x∈B}. C’est un compact comme image de G×B par(g,x)7→ g(x)continue. De plus, B⊂K donc K est d’intérieur non vide. Soit donc Eq l’ellipsoïde de John-Loewner associée àK oùq∈ Q⁺⁺.

Si g ∈ G, q⁰ : x 7→ q(g(x)) est définie positive et puisque g(K) = K, Eq⁰ contient K.

Classiquement, comme det est bornée sur G compact, on a |detg| = 1, donc q⁰ et q ont même discriminant. Donc selon l’étape 3 de la preuve précédente, q = q⁰, i.e. g ∈ O(q). Ainsi, G⊂O(q).

Remarque.On peut même montrer que les sous-groupes compacts maximaux de GL_n(R) sont lesO(q)avecq∈ Q⁺⁺.

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Remarquons d’abord qu’il suffit de montrer queO_n(R)est un sous-groupe compact maxi- mal. En effet, si q∈ Q⁺⁺, il existe une base de E dans laquelle la matrice de qest I_n, donc O(q)et O_n(R)sont conjugués.

Soit doncG compact tel queO_n(R)⊂G. Soit g∈G. Par décomposition polaire, on peut écrireG=OS oùO∈O_n(R)etS∈ S_n⁺⁺(R). DoncS=O⁻¹g ∈G. MaisS est diagonalisable dans une base orthonormée donc on montre sans mal quekSk2=ρ(S), plus grande valeur propre de S (car les valeurs propres de S sont positives). Ainsi, les valeurs propres de S sont toutes égales à 1 puisque sinon(S^k)_k∈Nou(S^−k)_k∈N ne seraient pas bornés. En d’autres termes, S=I_n et g ∈O_n(R), ce qu’il fallait démontrer.

Références :

• Serge F^RANCINOU, Hervé G^IANELLA et Serge N^ICOLAS (2008).Exercices de mathéma- tiques – Oraux X-ENS : Algèbre 3. Cassini, pp. 229-232

• Philippe CALDERO et Jérome GERMONI (2013). Histoires hédonistes de groupes et de géométrie. T. 1. Calvage et Mounet, p. 205 pour la remarque

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