Correction

UTBM - MT11 - le 20 D´ecembre 2005

Final

Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main

Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente

Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.

Exercice 1 (Questions de cours) - 6 points

i) Soit f : D_f ⊂R −→ R, une fonction strictement positive (i.e. ∀x ∈ D_f, f(x) >0).

Soit x0 ∈ Df. Supposons que

x→xlim0

f(x) =l ∈R.

A-t-on n´ecessairement l >0?

Si oui, justifier, sinon, donner un contre-exemple.

[Si f a une limite en un point de D_f, cela signifie qu’elle est continue, donc la limite est f(x0). Or f(x0)> 0 donc la r´eponse est oui]

ii) Soitf, g:Df ⊂R−→R, deux fonctions. Supposonsf(x)∼x→0 x+1et g(x)∼x→0 1.

A-t-on f(x)×g(x)∼_x→0 x+ 1 ?

Si oui, justifier, sinon, donner un contre-exemple.

∼x→0 signifie ”´equivalente lorsque x tend vers 0 `a”.

[oui car le produit des ´equivalents est un equivalent du produit.]

iii) L’image par une fonction continue d’un intervalle ouvert (du type ]a, b[, a < b) est-elle un intervalle ouvert (du type ]c, d[, c < d) ?

Si oui, justifier, sinon, donner un contre-exemple.

[Non, par ex, sin(]−10,10[)] = [−1,1]]

iv) Quelle est la limite, lorsque x tend vers 2, de f(x) = ^ln(_x−2^x2) ? Justifier.

[D’apr´es la d´efinition de la d´eriv´ee, cette limite est la d´eriv´ee de la fonction ln en 2 donc ¹₂]

v) Montrer, grˆace au th´eor`eme des accroissements finis, que

∀x∈R^∗₊, 1

x²+ 2x+ 2 ≤arctan(x+ 1)−arctan(x)≤ 1 1 +x².

[On applique le th´eor`eme des accroissements finis sur [x, x+ 1] `a arctan et on obtient

∃c ∈]x, x+ 1[, arctan(x+ 1)−arctan(x) = 1 1 +c². Or _1+(x+1)¹ 2 ≤ _1+c¹ 2 ≤ _1+x¹ 2.]

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Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) - 6 points Soit la fraction rationnelle

F(x) = x²−7x+ 6 x³−3x²−9x+ 27 que l’on cherche `a int´egrer.

i) Donner un PGCD deP(x) =x³−3x²−9x+ 27 et sa d´eriv´ee ainsi qu’une expression de ce PGCD de la forme U(x).P(x) +V(x).P⁰(x) o`u U(x), V(x)∈R[x]

[Le PGCD est x − 3, on ”remonte” ensuite l’algorithme d’Euclide pour trouver l’expression demand´ee.]

ii) D´eduire de la question pr´ec´edente une factorisation de x³−3x²−9x+ 27 sachant que ce polynˆome admet une racine double.

[Les racines doubles de P(X) sont les racines du PGCD de P(X) et P⁰(X) (voir TD) donc 3 est la racine double. On factorise alors sans probl`eme.]

ii) D´ecomposer en ´el´ements simples F(x) dans R(x).

[F(X) = _x+3¹ − _(x¹₃₎2.]

iii) Donner toutes les primitives de F(x) sur son ensemble de d´efinition.

[Les primitives de F(X) sont ln(x+ 3) + _x¹₃ +k(k ∈ R).]

Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) - 8 points On se propose d’´etudier et de repr´esenter la fonction

f : R −→ R

x 7→ arctan(^2x−1_2x+1) +x 1. Quel est le domaine de d´efinition de f?

[D_f =R− {−¹₂}.]

2. Quel est le tableau de variation def en indiquant la limite de f aux points critiques ? [f⁰(x) = ³⁺⁴_4x2+1^x2 avec limite 2 en −¹₂ et limite 1 en ±∞.

Pour f les limites sont +∞ en +∞,−∞ en −∞, ₂ −¹₂ en −¹₂ et −₂ −¹₂ en −¹₂⁺ ]

3. Trouver le(s) point(s) susceptible(s) d’ˆetre d’inflexion.

[f⁰⁰(x) = _(4x2¹⁶+1)^{x 2}. Donc l’unique point est x= 0]

4. Grˆace `a la formule de Taylor-Young, donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 de arctan(x) en −1.

(i.e. localement en −1 une expression du type : arctan(x) =a0+a1.(x+ 1) +a2.(x+ 1)²+a₃.(x+1)³+o((x+1)³)o`u o(X³)d´esigneX³.²(X)avec²(X)tend vers 0 lorsque X tend vers 0).

[On obtient par d´erivation successive arctan(x) = −¹₄π+¹₂(x+ 1) +¹₄(x+ 1)² + ₁₂¹ (x+ 1)³+o((x+ 1)³). .]

5. Trouver le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 de ^2x−1_2x+1 en 0.

[On trouve ²₂^x_x+1¹ =−1 + 4x−8x² + 16x³ +o(x³).]

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6. D´eduire des deux questions pr´ec´edentes que le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 de arctan(^2x−1_2x+1) en 0 est

arctan(2x−1

2x+ 1) = −π

4 + 2.x− 8

3.x³+o(x³).

Que peut-on en d´eduire sur le(s) point(s) trouv´e(s) `a la question 3) ?

[On remplace l’expression de la question 5 dans celle de la question 4 et on ne garde que les monˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3, d’o`u le r´esultat.

On en d´eduit qu’on a effectivement un point d’inflexion en 0 car f(x) +

4 −3x= −⁸₃.x³+o(x³) qui change de signe. (y =−₄ + 3x est la tangente en ce point)]

7. Repr´esenter graphiquement et rapidement f, apr`es avoir d´etermin´e son comporte- ment lorsque x tend vers ±∞ (^π₂ '1.6, ^π₄ '0.8).

Fig. 1 – fig.1

8. QUESTION SUPPL´EMENTAIRE (2 points)

On se propose d’´etudier en d´etail les branches infinies de f.

On fera le changement de variable X = _x¹ et on ´etudiera f(_X¹) lorsque X est proche de 0. On aura alors besoin du d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de arctan(x) en 1 pour d´eterminer celui de f en ±∞.

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