Temps de croisement et dynamique

GHD - Temps, Equilibre, Orbites

Jérôme Perez

Temps de croisement et dynamique

Temps de croisement et dynamique

R taille caractéristique du système, V vitesse caractéristique d’une particule test dans le système (ou bien σ = p

hV ²i)

Temps de croisement : T_cr ∝ R σ

Temps de croisement et dynamique

R taille caractéristique du système, V vitesse caractéristique d’une particule test dans le système (ou bien σ = p

hV ²i)

Temps de croisement : T_cr ∝ R σ

Hypothèse : système autogravitant isolé à l’équilibre formé de N particules chacune de masse m : Viriel 2E_c + E_p = 0

E_c = 1

2N mσ² et E_p = −G(N m)²

R ⇒ σ =

GN m R

1/2

=

GM R

1/2

Temps de croisement et dynamique

R taille caractéristique du système, V vitesse caractéristique d’une particule test dans le système (ou bien σ = p

hV ²i)

Temps de croisement : T_cr ∝ R σ

Hypothèse : système autogravitant isolé à l’équilibre formé de N particules chacune de masse m : Viriel 2E_c + E_p = 0

E_c = 1

2N mσ² et E_p = −G(N m)²

R ⇒ σ =

GN m R

1/2

=

GM R

1/2

T_cr → T_dyn ∝

r R³ GM

le rapport R³/M ∝ densité de masse moyenne ρ du système T_dyn ∝ (Gρ)^−1/2 ∝ T_cr

Temps de croisement et dynamique

R taille caractéristique du système, V vitesse caractéristique d’une particule test dans le système (ou bien σ = p

hV ²i)

Temps de croisement : T_cr ∝ R σ

Hypothèse : système autogravitant isolé à l’équilibre formé de N particules chacune de masse m : Viriel 2E_c + E_p = 0

E_c = 1

2N mσ² et E_p = −G(N m)²

R ⇒ σ =

GN m R

1/2

=

GM R

1/2

T_cr → T_dyn ∝

r R³ GM

Temps de relaxation à deux corps

Temps de relaxation à deux corps

Particule test de masse m, de vitesse v évoluant dans le champ moyen crée par N particules de masse m.

T_rel temps mis par les interactions à 2 corps pour modifier significativement v² T_rel ∝

"

1 v²

dv² dt

#⁻¹

(1)

Temps de relaxation à deux corps

Particule test de masse m, de vitesse v évoluant dans le champ moyen crée par N particules de masse m.

T_rel temps mis par les interactions à 2 corps pour modifier significativement v² T_rel ∝

"

1 v²

dv² dt

#⁻¹

(1)

Calcul rigoureux : difficile [HH]

Ordre de grandeur : simple... Chandrasekhar, 1942

Temps de relaxation à deux corps

Particule test de masse m, de vitesse v évoluant dans le champ moyen crée par N particules de masse m.

T_rel temps mis par les interactions à 2 corps pour modifier significativement v² T_rel ∝

"

1 v²

dv² dt

#⁻¹

(1)

Calcul rigoureux : difficile [HH]

Ordre de grandeur : simple... Chandrasekhar, 1942 Passage à une distance λ d’un voisin à la vitesse v

F = Gm²

λ² pendant δτ = λ

v , λ : paramètre d’impact

Temps de relaxation à deux corps

Particule test de masse m, de vitesse v évoluant dans le champ moyen crée par N particules de masse m.

T_rel temps mis par les interactions à 2 corps pour modifier significativement v² T_rel ∝

"

1 v²

dv² dt

#⁻¹

(1)

Calcul rigoureux : difficile [HH]

Ordre de grandeur : simple... Chandrasekhar, 1942 Passage à une distance λ d’un voisin à la vitesse v

F = Gm²

λ² pendant δτ = λ

v , λ : paramètre d’impact Principe fondamental de la dynamique

mδv

δτ = F ⇒ δv = F δτ

m = Gm

λv ⁽²⁾

Collisions avec λ ∈ [λ, λ + dλ] : dn = (2πpdp) × (2πr) ×

ρ(r) m

Collisions avec λ ∈ [λ, λ + dλ] : dn = (2πpdp) × (2πr) ×

ρ(r) m

Collisions aléatoires : δv = 0, mais

∆v²

orb =

Z p^max

p^min

δv²dn = 4π²G²mrρ(r) v²

Z p^max

p^min

dp p Logarithme coulombien ln Λ = ln (p_max) − ln (p_min)

Collisions avec λ ∈ [λ, λ + dλ] : dn = (2πpdp) × (2πr) ×

ρ(r) m

Collisions aléatoires : δv = 0, mais

∆v²

orb =

Z p^max

p^min

δv²dn = 4π²G²mrρ(r) v²

Z p^max

p^min

dp p Logarithme coulombien ln Λ = ln (p_max) − ln (p_min) Hypothèse : p_max = r et p_min ≈ rayon d’une particule ≈ ⁴

3πr³ N

1/3

= _3N^4π 1/3

r.

Ainsi, ln Λ = −¹₃ ln _3N^4π

≈ ¹₃ lnN et

∆v²

orb = 4π² 3

G²mrρ(r)

v² lnN

Collisions avec λ ∈ [λ, λ + dλ] : dn = (2πpdp) × (2πr) ×

ρ(r) m

Collisions aléatoires : δv = 0, mais

∆v²

orb =

Z p^max

p^min

δv²dn = 4π²G²mrρ(r) v²

Z p^max

p^min

dp p Logarithme coulombien ln Λ = ln (p_max) − ln (p_min) Hypothèse : p_max = r et p_min ≈ rayon d’une particule ≈ ⁴

3πr³ N

1/3

= _3N^4π 1/3

r.

Ainsi, ln Λ = −¹₃ ln _3N^4π

≈ ¹₃ lnN et

∆v²

orb = 4π² 3

G²mrρ(r)

v² lnN Pour une période orbitale (∆t)_orb ≈ T_dyn ainsi

T_rel⁻¹ = 1 v²

dv² dt

orb

≈ 4π² 3

G²mrρ (r) v⁴

lnN T_dyn

Collisions avec λ ∈ [λ, λ + dλ] : dn = (2πpdp) × (2πr) ×

ρ(r) m

Collisions aléatoires : δv = 0, mais

∆v²

orb =

Z p^max

p^min

δv²dn = 4π²G²mrρ(r) v²

Z p^max

p^min

dp p Logarithme coulombien ln Λ = ln (p_max) − ln (p_min) Hypothèse : p_max = r et p_min ≈ rayon d’une particule ≈ ⁴

3πr³ N

1/3

= _3N^4π 1/3

r.

Ainsi, ln Λ = −¹₃ ln _3N^4π

≈ ¹₃ lnN et

∆v²

orb = 4π² 3

G²mrρ(r)

v² lnN Pour une période orbitale (∆t)_orb ≈ T_dyn ainsi

−1 1

dv²

4π² G²mrρ (r) lnN

Application numérique

N R[kpc] σ [km/s] T_dyn [Gan] T_rel [Gan]

Amas ouverts 250 1 × 10⁻³ 1 1 × 10⁻³ 4 × 10⁻² Amas globulaires 5 × 10⁵ 1 × 10⁻² 7 1 × 10⁻³ 5 × 10¹ Galaxies elliptiques 10¹¹ 5 200 2 × 10⁻² 1 × 10⁸

Groupes de galaxies 5 400 100 4 × 10⁰ 1 × 10¹

diffus

Groupes de galaxies 4 40 200 2 × 10⁻¹ 6 × 10⁻¹ compacts

Amas de galaxies 400 1200 700 1 × 10⁻⁰ 1 × 10² riches

Équilibre : f = f _o ( r, p )

Équilibre : f = f _o ( r, p )

Equation de Vlasov, E = p²

2m + mψ

∂f

∂t + p

m.∂f

∂r − m∂ψ

∂r .∂f

∂p = 0 ⇐⇒ ∂f

∂t + dE

dp .∂f

∂r − dE

dr .∂f

∂p = 0

Équilibre : f = f _o ( r, p )

Equation de Vlasov, E = p²

2m + mψ

∂f

∂t + p

m.∂f

∂r − m∂ψ

∂r .∂f

∂p = 0 ⇐⇒ ∂f

∂t + dE

dp .∂f

∂r − dE

dr .∂f

∂p = 0 + Equations de Hamilton ∂f

∂t + dr dt .∂f

∂r + dp dt .∂f

∂p = 0 ⇐⇒ df

dt = 0

Équilibre : f = f _o ( r, p )

Equation de Vlasov, E = p²

2m + mψ

∂f

∂t + p

m.∂f

∂r − m∂ψ

∂r .∂f

∂p = 0 ⇐⇒ ∂f

∂t + dE

dp .∂f

∂r − dE

dr .∂f

∂p = 0 + Equations de Hamilton ∂f

∂t + dr dt .∂f

∂r + dp dt .∂f

∂p = 0 ⇐⇒ df

dt = 0 Intégrale première : A_i = A_i (r(t),p(t)) ∈ R telle que dA_i

dt = 0

Équilibre : f = f _o ( r, p )

Equation de Vlasov, E = p²

2m + mψ

∂f

∂t + p

m.∂f

∂r − m∂ψ

∂r .∂f

∂p = 0 ⇐⇒ ∂f

∂t + dE

dp .∂f

∂r − dE

dr .∂f

∂p = 0 + Equations de Hamilton ∂f

∂t + dr dt .∂f

∂r + dp dt .∂f

∂p = 0 ⇐⇒ df

dt = 0 Intégrale première : A_i = A_i (r(t),p(t)) ∈ R telle que dA_i

dt = 0 Remarque : si f = f_o (A₁, ..., A_n) alors

df

dt = ∂f_o

∂t +

Xn

i=1

∂f_o

∂A_i

dA_i

dt = 0

Équilibre : f = f _o ( r, p )

Equation de Vlasov, E = p²

2m + mψ

∂f

∂t + p

m.∂f

∂r − m∂ψ

∂r .∂f

∂p = 0 ⇐⇒ ∂f

∂t + dE

dp .∂f

∂r − dE

dr .∂f

∂p = 0 + Equations de Hamilton ∂f

∂t + dr dt .∂f

∂r + dp dt .∂f

∂p = 0 ⇐⇒ df

dt = 0 Intégrale première : A_i = A_i (r(t),p(t)) ∈ R telle que dA_i

dt = 0 Remarque : si f = f_o (A₁, ..., A_n) alors

df

dt = ∂f_o

∂t +

Xn

i=1

∂f_o

∂A_i

dA_i

dt = 0

Théorème de Jeans : Toute fonction positive et normalisable ne dépendant que des intégrales premières du mouvement est une fonction de distribution d’équilibre d’un système autogravitant.

Équilibre : f = f _o ( r, p )

Equation de Vlasov, E = p²

2m + mψ

∂f

∂t + p

m.∂f

∂r − m∂ψ

∂r .∂f

∂p = 0 ⇐⇒ ∂f

∂t + dE

dp .∂f

∂r − dE

dr .∂f

∂p = 0 + Equations de Hamilton ∂f

∂t + dr dt .∂f

∂r + dp dt .∂f

∂p = 0 ⇐⇒ df

dt = 0 Intégrale première : A_i = A_i (r(t),p(t)) ∈ R telle que dA_i

dt = 0 Remarque : si f = f_o (A₁, ..., A_n) alors

df

dt = ∂f_o

∂t +

Xn

i=1

∂f_o

∂A_i

dA_i

dt = 0

Équilibre f _o = f _o ( E )

Équilibre f _o = f _o ( E )

Densité volumique de masse du système (particule test liée : E < 0) ρ(r) = m

Z

f (p,r) dp = 4πm

Z √

2m|ψ| 0

f (E)p²dp

Équilibre f _o = f _o ( E )

Densité volumique de masse du système (particule test liée : E < 0) ρ(r) = m

Z

f (p,r) dp = 4πm

Z √

2m|ψ| 0

f (E)p²dp dE = m⁻¹pdp ainsi

ρ (r) = 4πm² Z 0

mψ

f (E)pdE = 4πm² Z 0

mψ

f (E)p

2m(E − mψ)dE ⁽³⁾

= ρ (ψ (r)) ⁽⁴⁾

l’équation de Poisson s’écrit donc ∆ψ = 4πGρ (ψ)

Équilibre f _o = f _o ( E )

Densité volumique de masse du système (particule test liée : E < 0) ρ(r) = m

Z

f (p,r) dp = 4πm

Z √

2m|ψ| 0

f (E)p²dp dE = m⁻¹pdp ainsi

ρ (r) = 4πm² Z 0

mψ

f (E)pdE = 4πm² Z 0

mψ

f (E)p

2m(E − mψ)dE ⁽³⁾

= ρ (ψ (r)) ⁽⁴⁾

l’équation de Poisson s’écrit donc ∆ψ = 4πGρ (ψ) Théorème Gidas-Ni-Niremberg 1

u ∈ C²(Rⁿ,R ), ∃m > 0 / u( ) = O

| |^−m

→ +∞

Application en astrophysique

Application en astrophysique

Système isolé, ψ < 0, ρ ց :

f = f (E) ⇒ ρ = ρ(ψ) ⇒ ψ = ψ (r) ⇒ ρ = ρ(r) avec r = |r|

Un système dont la fonction de distribution ne dépend que de l’énergie possède la symétrie sphérique dans l’espace des positions.

Application en astrophysique

Système isolé, ψ < 0, ρ ց :

f = f (E) ⇒ ρ = ρ(ψ) ⇒ ψ = ψ (r) ⇒ ρ = ρ(r) avec r = |r|

Un système dont la fonction de distribution ne dépend que de l’énergie possède la symétrie sphérique dans l’espace des positions.

Dispersion de vitesse :

∀i = 1,2,3 σ_i² = 1 ρ

Z p.eb_i m

2

f (E)dp Comme f (E) = f (|p|,|r|) on a σ₁² = σ₂² = σ₃²

Un système dont la fonction de distribution ne dépend que de l’énergie est isotrope dans l’espace des vitesses.

Équilibre f _o = f _o ( E, L ² )

Équilibre f _o = f _o ( E, L ² )

La densité volumique de masse vaut toujours ρ (r) = m

Z

f (p,r)dp mais maintenant f = f E, L²

avec L = |r ∧ p| = rpp

1 − µ² avec µ = cos\(r,p) ⁽⁵⁾

Équilibre f _o = f _o ( E, L ² )

La densité volumique de masse vaut toujours ρ (r) = m

Z

f (p,r)dp mais maintenant f = f E, L²

avec L = |r ∧ p| = rpp

1 − µ² avec µ = cos\(r,p) ⁽⁵⁾ on a donc

ρ(r) = 2πm

Z Z

f (r, p, µ) p²dpdµ et après quelques lignes

πm² Z 0 Z 2r²(E−mψ) dL²

Équilibre f _o = f _o ( E, L ² )

La densité volumique de masse vaut toujours ρ (r) = m

Z

f (p,r)dp mais maintenant f = f E, L²

avec L = |r ∧ p| = rpp

1 − µ² avec µ = cos\(r,p) ⁽⁵⁾ on a donc

ρ(r) = 2πm

Z Z

f (r, p, µ) p²dpdµ et après quelques lignes

ρ(r) = πm² r

Z 0

mψ

dE

Z 2r²(E−mψ)

0

f E, L² dL²

p2mr² (E − mψ) − L² soit

L’équation de Poisson s’écrit donc maintenant

∆ψ = 4πGρ(ψ, r)

L’équation de Poisson s’écrit donc maintenant

∆ψ = 4πGρ(ψ, r) Théorème Gidas-Ni-Niremberg 2

La conclusion est inchangée si ∆u = h(u, |x|) et h strictement décroissante en |x|.

L’équation de Poisson s’écrit donc maintenant

∆ψ = 4πGρ(ψ, r) Théorème Gidas-Ni-Niremberg 2

La conclusion est inchangée si ∆u = h(u, |x|) et h strictement décroissante en |x|.

Application en astrophysique :

Un système autogravitant avec f_o = f_o(E, L²) tel que sa densité volumique de

masse est décroissante en ψ et strictement décroissante en r possède la symétrie sphérique dans l’espace des positions.

L’équation de Poisson s’écrit donc maintenant

∆ψ = 4πGρ(ψ, r) Théorème Gidas-Ni-Niremberg 2

La conclusion est inchangée si ∆u = h(u, |x|) et h strictement décroissante en |x|.

Application en astrophysique :

Un système autogravitant avec f_o = f_o(E, L²) tel que sa densité volumique de

masse est décroissante en ψ et strictement décroissante en r possède la symétrie sphérique dans l’espace des positions.

Un tel système peut présenter une anisotropie dans l’espace des vitesses : la dépendance en L² = mr² v_θ² + v_ϕ²

brise l’isotropie des vitesse que véhiculait E = ¹₂mr v_r² + v_θ² + v_ϕ²

+ ψ (r), ainsi d’une manière générale σ_r² 6= σ_θ² = σ_ϕ²

Orbite dans un potentiel radial

Orbite dans un potentiel radial

Potentiel radial ψ = ψ (r) ⇒ force F = ∇(mψ) radiale ⇒ conservation de L = r ∧ p

⇒ Mvt plan.

Orbite dans un potentiel radial

Potentiel radial ψ = ψ (r) ⇒ force F = ∇(mψ) radiale ⇒ conservation de L = r ∧ p

⇒ Mvt plan.

Coordonnées polaires (r, θ) dans ce plan, équations du mouvement ( mr^2dθ_dt = L = cste

E

m = ¹₂ ^dr_dt2

+ ¹_{2 m}^L22_r² + ψ (r) = cste ⁽⁶⁾

Orbite dans un potentiel radial

Potentiel radial ψ = ψ (r) ⇒ force F = ∇(mψ) radiale ⇒ conservation de L = r ∧ p

⇒ Mvt plan.

Coordonnées polaires (r, θ) dans ce plan, équations du mouvement ( mr^2dθ_dt = L = cste

E

m = ¹₂ ^dr_dt2

+ ¹_{2 m}^L22_r² + ψ (r) = cste ⁽⁶⁾ Propriétés du potentiel :

Système lié ψ (r) < 0, Système isolé ψ (r → +∞) = 0,

Orbite dans un potentiel radial

Potentiel radial ψ = ψ (r) ⇒ force F = ∇(mψ) radiale ⇒ conservation de L = r ∧ p

⇒ Mvt plan.

Coordonnées polaires (r, θ) dans ce plan, équations du mouvement ( mr^2dθ_dt = L = cste

E

m = ¹₂ ^dr_dt2

+ ¹_{2 m}^L22_r² + ψ (r) = cste ⁽⁶⁾ Propriétés du potentiel :

Système lié ψ (r) < 0, Système isolé ψ (r → +∞) = 0,

Comportement en 0 : Supposons ψ (r) ∝ _r^1α pour r → 0, Poisson ρ ∝ ∆ψ ∝ 1

r² d dr

r² d dr

1 r^α

∝ 1 r^α+2

Apo-Pericentre

Potentiel effectif : ψ_e (r) := 1 2

L²

m²r² + ψ (r). Si M < ∞,







ψ_e (r → +∞) → 0⁻ ψ_e (r → 0) → +∞

m dr²

Période radiale

Période radiale

EDO vérifiée par r(t) :

E

m = 1 2

dr dt

2

+ 1 2

L²

m²r² + ψ (r)

Période radiale

EDO vérifiée par r(t) :

E

m = 1 2

dr dt

2

+ 1 2

L²

m²r² + ψ (r) On calcule

τ 2 =

Z ra

rp

dt

drdr =

Z ra

rp

q dr

2 _m^E − ψ (r)

− _m^L22_r²

(7)

Période radiale

EDO vérifiée par r(t) :

E

m = 1 2

dr dt

2

+ 1 2

L²

m²r² + ψ (r) On calcule

τ 2 =

Z ra

rp

dt

drdr =

Z ra

rp

q dr

2 _m^E − ψ (r)

− _m^L22_r²

(7)

Si E ∈ [E_c < 0,0] et M < ∞, alors ^τ₂ < ∞ , ainsi r (t) = r_p ⇒ r

t + τ 2

= r_a ⇒ r (t + τ) = r_p = r (t)

Période radiale

EDO vérifiée par r(t) :

E

m = 1 2

dr dt

2

+ 1 2

L²

m²r² + ψ (r) On calcule

τ 2 =

Z ra

rp

dt

drdr =

Z ra

rp

q dr

2 _m^E − ψ (r)

− _m^L22_r²

(7)

Si E ∈ [E_c < 0,0] et M < ∞, alors ^τ₂ < ∞ , ainsi r (t) = r_p ⇒ r

t + τ 2

= r_a ⇒ r (t + τ) = r_p = r (t)

Les fonctions r (t) et r (t + τ) sont solutions de la même EDO.

Décalage de l’apocentre

Pendant une période radiale, l’angle Φ correspondant au mouvement de l’apocentre s’écrit

Φ = 2

Z ra

rp

dθ dt

dt

drdr = 2 m

Z ra

rp

L dr r²

q

2 _m^E − ψ (r)

− _m^L22_r²

r r

ra

p r

r

a

p

a

a

b

Inversions & Applications

Première formule d’Abel (Eddington) - 0 < α < 1

f (x) =

Z x

0

g (t)

(x − t)^αdt

m

g (t) = sin (πα) π

d dt

Z t

0

f (x)

(t − x)^1−α dx

"Z t #

Inversions & Applications

Seconde formule d’Abel (Eddington) - 0 < α < 1

f (x) =

Z +∞

x

g (t)

(t − x)^αdt

m

g (t) = −sin (πα) π

d dt

Z +∞

t

f (x)

(x − t)^1−α dx

= −sin (πα) π

"Z _+∞

t

df dx

dx

(x − t)^1−α − lim

x→+∞

f (x) (x − t)^1−α

#

Inventer la troisième dimension ...

Inventer la troisième dimension ...

Système sphérique, I (R) : profil de luminosité projetée, λ(r) et ρ (r) : densités de lumière et de masse dans l’espace.

ρ (r) = Υ (r)λ(r)

Inventer la troisième dimension ...

Système sphérique, I (R) : profil de luminosité projetée, λ(r) et ρ (r) : densités de lumière et de masse dans l’espace.

ρ (r) = Υ (r)λ(r)

Amas globulaire : Υ ≈ 3 Υ_⊙ [ 3,4 ± 1.0 pour NGC 1835 (voir [melheg])]

Inventer la troisième dimension ...

Système sphérique, I (R) : profil de luminosité projetée, λ(r) et ρ (r) : densités de lumière et de masse dans l’espace.

ρ (r) = Υ (r)λ(r)

Amas globulaire : Υ ≈ 3 Υ_⊙ [ 3,4 ± 1.0 pour NGC 1835 (voir [melheg])]

Galaxie elliptique Υ ≈ 10 Υ_⊙ (voir [lauer] pour une longue liste ...)

Inventer la troisième dimension ...

Système sphérique, I (R) : profil de luminosité projetée, λ(r) et ρ (r) : densités de lumière et de masse dans l’espace.

ρ (r) = Υ (r)λ(r)

Amas globulaire : Υ ≈ 3 Υ_⊙ [ 3,4 ± 1.0 pour NGC 1835 (voir [melheg])]

Galaxie elliptique Υ ≈ 10 Υ_⊙ (voir [lauer] pour une longue liste ...) Υ ≈ 100 Υ_⊙ pour les amas de galaxies.

Inventer la troisième dimension ...

Système sphérique, I (R) : profil de luminosité projetée, λ(r) et ρ (r) : densités de lumière et de masse dans l’espace.

ρ (r) = Υ (r)λ(r)

Amas globulaire : Υ ≈ 3 Υ_⊙ [ 3,4 ± 1.0 pour NGC 1835 (voir [melheg])]

Galaxie elliptique Υ ≈ 10 Υ_⊙ (voir [lauer] pour une longue liste ...) Υ ≈ 100 Υ_⊙ pour les amas de galaxies.

Pour un objet donné nous prendrons donc

ρ(r) = Υ λ(r) avec Υ = cste

Luminosité radiale projetée I (R) dans le plan orthogonal à une ligne de visée Or₁ : intégration ...

I = 2

Z _∞

λ (r) dr₁

Inventer la troisième dimension ...

Vers l observateur’

Plan de projection

R

r r1

Comme r² = R² + r²₁ I (R) = 2

Z _∞

R

λ(r) r

√r² − R² dr = 1 Υ

Z _∞

x

ρ(t)

(t − x)^1/2dt avec x = R² et t = r²

Inventer la troisième dimension ...

Vers l observateur’

Plan de projection

R

r r1

Comme r² = R² + r²₁ I (R) = 2

Z _∞

R

λ(r) r

√r² − R² dr = 1 Υ

Z _∞

x

ρ(t)

(t − x)^1/2dt avec x = R² et t = r² Deuxième formule d’Abel :

Υ Z _∞ dI dR

√

f à partir de ρ

f à partir de ρ

ψ < 0 et lim

|r|→+∞ψ (r) =? on pose donc

ϕ = ψ_∞ − ψ avec lim

|r|→+∞ψ (r) = ψ_∞

f à partir de ρ

ψ < 0 et lim

|r|→+∞ψ (r) =? on pose donc

ϕ = ψ_∞ − ψ avec lim

|r|→+∞ψ (r) = ψ_∞ Particule test liée : E < 0 on pose donc

ε = mψ_∞ − E = mϕ − p² 2m

f à partir de ρ

ψ < 0 et lim

|r|→+∞ψ (r) =? on pose donc

ϕ = ψ_∞ − ψ avec lim

|r|→+∞ψ (r) = ψ_∞ Particule test liée : E < 0 on pose donc

ε = mψ_∞ − E = mϕ − p² 2m

Fonction de distribution d’équilibre d’un système shérique isotrope f =

( f (ε) si ε > 0

0 si ε ≤ 0 on a ε = 0 pour p = mp 2ϕ

f à partir de ρ

ψ < 0 et lim

|r|→+∞ψ (r) =? on pose donc

ϕ = ψ_∞ − ψ avec lim

|r|→+∞ψ (r) = ψ_∞ Particule test liée : E < 0 on pose donc

ε = mψ_∞ − E = mϕ − p² 2m

Fonction de distribution d’équilibre d’un système shérique isotrope f =

( f (ε) si ε > 0

0 si ε ≤ 0 on a ε = 0 pour p = mp 2ϕ

f à partir de ρ

pour une valeur donnée du rayon, on peut écrire p = √

2m (mϕ − ε)^1/2 et pdp = −mdε ainsi

ρ(r) = 4√

2πm^5/2

Z mϕ

0

f (ε) (mϕ − ε)^1/2 dε = ρ(ϕ)

f à partir de ρ

pour une valeur donnée du rayon, on peut écrire p = √

2m (mϕ − ε)^1/2 et pdp = −mdε ainsi

ρ(r) = 4√

2πm^5/2

Z mϕ

0

f (ε) (mϕ − ε)^1/2 dε = ρ(ϕ) En dérivant par rapport à ϕ

1 2√

2πm^7/2 dρ dϕ =

Z mϕ

0

f (ε)

(mϕ − ε)^1/2dε

f à partir de ρ

pour une valeur donnée du rayon, on peut écrire p = √

2m (mϕ − ε)^1/2 et pdp = −mdε ainsi

ρ(r) = 4√

2πm^5/2

Z mϕ

0

f (ε) (mϕ − ε)^1/2 dε = ρ(ϕ) En dérivant par rapport à ϕ

1 2√

2πm^7/2 dρ dϕ =

Z mϕ

0

f (ε)

(mϕ − ε)^1/2dε Première formule d’Abel

f (ε) = 1 2√

2π²m^7/2

"Z ε 0

d²ρ dϕ²

dϕ

(ε − mϕ)^1/2 + 1 ε^1/2

dρ dϕ

ϕ=0

#

(9)

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