(x 1)y 2. x 2 + y 2 pour (x, y) = (0, 0), α si (x, y) = (0, 0).

UNIVERSITE MOHAMMED PREMIER ECOLE NATIONALE DES SCIENCES APPLIQUEES

OUJDA-MAROC

Filière : STPI-CP2 Année universitaire : 2019 - 2020

Module : Analyse IV Enseignant : M. Derouich

Fiche TDN^◦ : 3

Exercice 1. Etudier la différentiablilité des fonctions suivantes : 1) f(x,y) =x²+y²; 2)g(x,y,z) =sin x²+y

+cosyz; 3)h(x,y) =^px²+y²; 4)t(x;y) =y²sinx

y siy 6=0 ett(x; 0) =0 siy =0.

Exercice 2. :

1. Montrer que :

1.1 A={(x,y)∈R²/xy=1}est fermé deR^2.

1.2 B={(x,y,z)∈R³/x²+xy+y²< e^z+x}est un ouvert deR³. 2. Soient f etgdeux applications continues deRⁿdansR^p. Montrer que

2.1 A={x∈Rⁿ/ f(x) = g(x)}est fermé.

2.2 B={x∈Rⁿ/₁< f(x)<₂}est ouvert.

2.3 C={x∈Rⁿ/ f(x)≤g(x)}est fermé.

Exercice 3. Soit f: R² →Rla fonction définie par

f(x,y) =







(x−1)y²

(x−1)²+y² pour (x,y)6= (1, 0), 0 si (x,y) = (1, 0). 1. montrer que f est continue surR^2;

2. calculer les dérivées partielles de f pour(x,y)∈R^2; 3. montrer que f est de classeC¹surR²\(_{1, 0})_;

4. que peut-on conclure sur la différentiabilité de f surR²\ {(1, 0)}

5. montrer que f n’est pas différentiable en(1, 0); 6. f est-elle de classeC¹en(1, 0)?

Exercice 4. Soitα∈Rune constante et f :R² −→Rla fonction ainsi définie

f(x,y) =







ln(1+x²+y²)

x²+y² pour (x,y)6= (0, 0), α si (x,y) = (0, 0). 1. Montrer que f est continue surR²\ {(0, 0)}.

2. Calculer les dérivées partielles de f pour(x,y)∈R²\ {(0, 0)}. 3. Montrer que f est de classeC¹surR²\ {(0, 0)};

4. Que peut-on conclure sur la différentiabilité de f? 5. Calculer lim

(x,y)→(0,0)f(x,y)

6. Déduire la valeurα₀deαpour laquelle f est continue en (0, 0).

7. Soitα=α₀

i) Calculer les dérivées partielles de f en(0, 0).

ii) En utilisant la définition, prouver que f est différentiable en(0, 0). iii) Montrer que f est de classeC¹en(0, 0).

Exercice 5. Soit f :R² −→Rla fonction définie par : f(x;y) = (cosx+siny,−sinx+cosy, 2 sinxcosy).

1) Déterminer la matrice JacobienneJ_(x,y)(f)de f au point(x,y).

2) Soit g : R³ −→ R la fonction définie par : g(u,v,w) = u²+v²+w. Déterminer la matrice Jacobienne J_(u,v,w)(g)degau point(u,v,w).

3) Calculer la matrice JacobienneJ_(x,y)(go f)dego f au point(x,y) a) En explicitantgo f. b) Au moyen d’un produit de matrices.

Exercice 6. Soient les fonctions f :R² −→R^3etg:R² −→R²définies par : f(x,y) = (x²+y,x²−y², 1); g(x,y) = (e^x−y, 2xy). 1) Rappeler la définition d’une fonction de classeC^k sur un ouvertUdeR^n. 2) Soit(x,y)∈R^2.

a) Déterminer les matrices jacobiennesJ_f(x,y)_etJ_g(x,y)respectives de f etg.

b) Calculer de deux manières différentes la matrice jacobienne J_{(f og)}(x,y)de f og.

c) Donnerd(f og)_(x,y)(h,k),(h,k)∈R^2.

Exercice 7. Montrer que la fonction f définie surR^{2 par : f}(x,y) = xyx²−y²

x²+y² si(x;y) 6= (0; 0) et f(0; 0) =0 admet des dérivées partielles d’ordre 2 en tout point mais que ∂²f

∂x∂y(0, 0)6= ^∂2f

∂y∂x(0, 0). Exercice 8. Soit f la fonction définie par f(x,y) =3x²+2y³−6y

1. Montrer qu’on peut appliquer le théorème des fonctions implicites à la fonctionf au voisinage de(0, 0). Soitϕcette fonction implicite.

2. Etablir la relationx+ (ϕ²(x)−1)ϕ⁰(x) =0 , calculerϕ⁰(0)

3. Donner le développement limité deϕà l’ordre 2 au voisinage de 0 . 4. Déterminer l’équation de la droite tangente ày=ϕ(x)enx= 0.

Exercice 9. :

1. Montrer que l’equation z³+2z+e^z−x−y2 = cos(x− y+z) définit implicitement z comme fonctionC^∞dexetyau voisinage de 0 qui s’annule en 0.

2. Calculer les dérivées partielles dezen 0.

3. Écrire l’équation du plan tangent à f en (0, 0).

Exercice 10. : Déterminer les extrema de f etget préciser leur nature.

1. f(x,y) = x²+y² e^x2−y2. 2. g(x,y) =xe^y+yln(x).

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OUJDA-MAROC

Filière : STPI-CP2 Année universitaire : 2019 - 2020

Module : Analyse IV Enseignant : M. Derouich

Corrigé

Exercice 1. Etudier la différentiablilité des fonctions suivantes : 1) f(x,y) =x²+y²; 2)g(x,y,z) =sin x²+y

+cosyz; 3)h(x,y) =^px²+y²; 4)t(x;y) =y²sinx

y siy 6=0 ett(x; 0) =0 siy =0.

Corrigé

1) La fonction fest un polynôme. Donc, elle est différentiable en tout point deR²et pour tout(x,y)∈ R^{2, on a}

d f_(x,y)= 2xdx+2ydy, et pour tout(h,k)∈R², nous avons,

d f_(x,y)(h,k) =2hx+2ky.

2)gest différentiable surR³comme somme et composée de fonctions différentiables surR^{3. Pour} tout(x,y,z)∈R^{3, on a}

dg_(x,y,z) =2xcos(x²+y)dx+^hcos(x²+y)−zsin(yz) i

dy−ysin(yz)dz, et pour tout(h,k,l)∈ R³, nous avons,

dg(x,y,z)(h,k,l) =2hxcos(x²+y) +kh

cos(x²+y)−zsin(yz)ⁱ−lysin(yz).

3) La fonctionhest différentiable surR²/{(0, 0)}comme composée de fonctions différentiables surR². Pour tout(x,y)∈R²/{(0, 0)}, on a

dh_(x,y) = _p ^x

x²+y²dx+_p ^y

x²+y²dy.

Etudions la différentiabilité en (0,0). Nous avons h(t, 0)−h(0, 0)

t = ^h(0,t)−h(0, 0)

t =

√ t² t .

Ces quantités n’ont pas de limite lorsquettend vers 0. Donc, les dérivées partielles en (0,0) n’existe pas. Par conséquent,hn’est pas différentiable en (0,0).

4) La fonctiont est différentiable surR×R^∗comme produit et composée de fonctions différen- tiables. Pour tout(x,y)∈R×R^∗, on a

dt_(x,y) =ycos x

y

dx+

2ysin x

y

−xcos x

y

dy.

D’autre part, pour touta ∈Ret pour tout(h,k)proche de (0,0), on a

|t(a+h,k)−t(a, 0)|

k(h,k)k = k²

sin

a+h k

√

h²+k² ≤ |k|. Donc,

lim

(h,k)−→(0,0)

|t(a+h,k)−t(a,k)|

k(h,k)k =0.

=⇒test différentiable en(a, 0)et sa différentielle en ce point est l’application nulle.

Exercice 2. :

1. Montrer que :

1.1 A={(x,y)∈R²/xy=1}est fermé deR^2.

1.2 B={(x,y,z)∈R³/x²+xy+y²< e^z+x}est un ouvert deR^3. 2. Soient f etgdeux applications continues deR^ndansR^p. Montrer que

2.1 A={x∈Rⁿ/ f(x) = g(x)}est fermé.

2.2 B={x∈Rⁿ/1< f(x)<2}est ouvert.

2.3 C={x∈Rⁿ/ f(x)≤g(x)}est fermé.

Corrigé

1.1)

A=ⁿ(x,y)∈R²/xy= 1o

= f⁻¹({1}),

où f(x,y) =xy. Comme{1}est fermé dansR^{et f} est continue surR^{2, alorsA}est fermé dansR^2. 1.2)

C = {(x,y,z)∈R³/x²+xy+y²<e^z+x}

= C= {(x,y,z)∈R³/x²+xy+y²−e^z+x <0}

= h⁻¹(]−_{∞, 0}[),

oùh(x,y,z) =x²+xy+y²−e^z+x. Comme]−_{∞, 0}[est ouvert dansR^{et f} continue surR^{3, alorsC} est un ouvert deR^{3. 1)}

E= f⁻¹({a})

est fermé dansRⁿcomme image réciproque du fermé{a}par l’application continue f.

2)

F={^E.

CommeEest fermé dansR^n,Fest ouvert dansR^n. 3)

G = {x∈Rⁿ/f(x) =g(x)}={x∈Rⁿ/f(x)−g(x) =0}

= (f−g)⁻¹{0},

est fermé dansRⁿcomme image réciproque du fermé{0}par l’application continue f−g.

Exercice 3. Soit f: R² →Rla fonction définie par f(x,y) =







(x−1)y²

(x−1)²+y² pour (x,y)6= (1, 0), 0 si (x,y) = (1, 0)_. 1. montrer que f est continue surR^2;

2. calculer les dérivées partielles de f pour(x,y)∈R^2; 3. montrer que f est de classeC¹surR²\ {(1, 0)};

4. que peut-on conclure sur la différentiabilité de f surR²\ {(1, 0)}

5. montrer que f n’est pas différentiable en(_{1, 0})_; 6. f est-elle de classeC¹en(1, 0)?

Corrigé

1. La fonction f est définie et continue surR²\ {(1, 0)}comme quotient de fonctions continues.

D’autre part, on a

(x−1)y² (x−1)²+y²

≤

(x−1)y² y²

≤ |x−1| −→

(x,y)→(1,0)0

=⇒ lim

(x,y)→(1,0)f(x,y) = f(1, 0) Donc, f est continue en (0,0). Par suite, f est continue surR². 2. les dérivées partielles de f pourR²\ {(1, 0)}

∂f

∂x(x,y) =−y² (x−₁)²−y² ((x−1)²+y²))^{2 et}

∂f

∂y(x,y) = ²(x−₁)³y ((x−1)²+y²))² les dérivées partielles de f au point(1, 0)On a

∂f

∂x(1, 0) = lim

t−→0

f(t, 0)− f(1, 0) t

= 0

∂f

∂y(1, 0) = lim

t−→0

f(1,t)− f(1, 0) t

= 0

3. f est continue surR², ces dérivées partielles de f sont définies et continues surR²\ {(1, 0)}. Donc, f est de classeC¹surR²\ {(1, 0)}.

4. On a f est de classe C¹ sur R²\ {(1, 0)} donc f est différentiable sur R²\ {(1, 0)}. (Toute fonction de classeC¹étant différentiable).

5. Si f est différentiable en (0,0), sa différentielle en ce point serait l’application linéaired f_(0,0) définie surR^{2par :}

d f_(1,0)(h,k) =h∂f

∂x(1, 0) +k∂f

∂y(1, 0) =0, et nous aurons au voisinage de (1,0),

f(1+h,k)− f(1, 0)−d f_(1,0)(h,k) k(h,k)k =

hk² h²+k²

√

h²+k².

(h,k)−→(lim0,0)

f(1+h,k)− f(1, 0)−d f_(1,0)(h,k)

k(h,k)k = lim

(h,k)−→(0,0)

hk² (h²+k²)√

h²+k² pourk=λhon a

(h,k)−→(lim0,0)

f(1+h,k)− f(1, 0)−d f_(1,0)(h,k)

k(h,k)k = lim

(h,k)−→(0,0)

h³λ² h²(1+λ²)|h|√

1+λ²

= lim

(h,k)−→(0,0)

h

|h|

λ² (1+λ²)^3/2 et cette quantité n’admet pas de limite. Donc, f n’est pas différentiable au point(1, 0). 6. f n’est pas différentiable au point(1, 0)donc elle n’est pas de classeC¹en(1, 0).

Exercice 4. Soitα∈Rune constante et f :R² −→Rla fonction ainsi définie

f(x,y) =







ln(1+x²+y²)

x²+y² pour (x,y)6= (0, 0), α si (x,y) = (0, 0). 1. Montrer que f est continue surR²\ {(0, 0)}.

2. Calculer les dérivées partielles de f pour(x,y)∈R²\ {(0, 0)}. 3. Montrer que f est de classeC¹surR²\ {(0, 0)};

4. Que peut-on conclure sur la différentiabilité de f? 5. Calculer lim

(x,y)→(0,0)f(x,y)

6. Déduire la valeurα₀deαpour laquelle f est continue en(_{0, 0})_. 7. Soitα=α₀

i) Calculer les dérivées partielles de f en(0, 0).

ii) En utilisant la définition, prouver que f est différentiable en(0, 0). iii) Montrer que f est de classeC¹en(0, 0).

Corrigé

1. La fonction f est définie et continue surR²\ {(0, 0)}comme quotient et composée de fonctions continues.

2. On a

∂f

∂x(x,y) = ^2x x²+y²

1

1+x²+y² −^ln(1+x²+y²) x²+y²

et ∂f

∂y(x,y) = ^2y x²+y²

1

1+x²+y² − ^ln(1+x²+y²) x²+y²

3. f est continue surR²\ {(0, 0)}, ces dérivées partielles de f sont définies et continues sur R²\ {(0, 0)}. Donc, f est de classeC¹surR²\ {(0, 0)}.

4. On a f est de classe C¹ sur R²\ {(0, 0)} donc f est différentiable sur R²\ {(0, 0)}. (Toute fonction de classeC¹étant différentiable).

5. lim

(x,y)→(0,0)f(x,y), en passant en coordonnées polaires : f(x,y) = f(rcosθ,rsinθ) = ^ln(1+r²)

r²

= 1−^r

2

2 +o(r²)lorsquer' 0

(x,ylim)→(0,0)f(x,y) = _lim

r→

∀θ01−^r

2

2 +o(r²)

= 1 6. f est continue en(0, 0)⇐⇒ lim

(x,y)→(0,0)f(x,y) = f(0, 0)doncα₀ =1.

7. Siα₀ =1 i) On a

∂f

∂x(0, 0) = lim

t−→0

f(t, 0)− f(0, 0) t

= lim

t−→0

ln(1+t²) t² −1

t

= lim

t−→0

−^t

2

2 +o(t²) t

= lim

t−→0− ^t

2+o(t)

= 0 de même, par symétrie, ∂f

∂y(_{0, 0}) = _lim

t−→0

f(0,t)− f(0, 0)

t =_0.

ii) Si fest différentiable en (0,0), sa différentielle en ce point serait l’application linéaired f_(0,0) définie surR^{2par :}

d f_(0,0)(h,k) =h∂f

∂x(0, 0) +k∂f

∂y(0, 0) =0,

et nous aurons au voisinage de (0,0),

f(h,k)− f(0, 0)−d f_(0,0)(h,k) k(h,k)k =

ln(1+h²+k²) h²+k² −1

√h²+k² .

lim

(h,k)−→(0,0)

f(h,k)− f(0, 0)−d f_(0,0)(h,k)

k(h,k)k = lim

(h,k)−→(0,0)

ln(1+h²+k²) h²+k² −1

√h²+k²

= _lim

r→

∀θ0

1 r

ln(1+r²) r² −₁

= lim

r→

∀θ0

1 r

1− ^r

2

2 +r²ε(r)−1

= 0 donc f est bien différentiable en(0, 0).

iii) On a

(x,ylim)→(0,0)

∂f

∂x(x,y) = lim

(x,y)→(0,0)

2x x²+y²

1

1+x²+y² − ^ln(₁+x²+y²) x²+y²

= lim

r→

∀θ0

2 cosθ r

1

1+r² − ^ln(1+r²) r²

= _lim

r→

∀θ0

2 cosθ r

1

1+r² −1+ ^r

2) 2

= lim

r→

∀θ0

r(r²−1) 1+r² cosθ

Comme

r(r²−₁) 1+r² cosθ

≤

r(r²−₁) 1+r²

−→r→0 0 Donc lim

(x,y)→(0,0)

∂f

∂x(x,y) =0= ^∂f

∂x(0, 0) de même lim

(x,y)→(0,0)

∂f

∂y(x,y) =0 = ^∂f

∂y(0, 0) Donc ∂f

∂x et ∂f

∂y sont continues en (0, 0) et on a f est continue en (0, 0), on conclut que f est de classeC¹en (0,0)

Exercice 5. Soit f :R² −→R³la fonction définie par : f(x;y) = (cosx+siny,−sinx+cosy, 2 sinxcosy).

1) Déterminer la matrice JacobienneJ(x,y)(f)de f au point(x,y).

2) Soit g : R³ −→ R la fonction définie par : g(u,v,w) = u²+v²+w. Déterminer la matrice Jacobienne J_(u,v,w)(g)degau point(u,v,w).

3) Calculer la matrice JacobienneJ_(x,y)(go f)dego f au point(x,y) a) En explicitantgo f. b) Au moyen d’un produit de matrices.

Corrigé

1) La matrice jacobienne de f est donnée par :

J_f(x,y) =







−_sinx cosy

−cosx −siny 2 cosxcosy −2 sinxsiny





. 2) La matrice jacobienne degest donnée par :

J_g(u,v,w) = _{2u 2v 1} . 3) a) On a

go f(_x,y) = _g[f(_x,y)] = _g(_cosx+_siny,−sinx+_{cosy, 2 sinxcosy})

= (cosx+siny)²+ (−sinx+cosy)²+2 sinxcosy

= 2+2 cosxsiny.

D’où,

Jgo f(x,y) = −2 sinxsiny, 2 cosxcosy

. b) On a

Jgo f(x,y) = Jg(f(x,y)×J_f(x,y)

= Jg(cosx+siny,−sinx+cosy, 2 sinxcosy)×







−sinx cosy

−cosx −siny 2 cosxcosy −2 sinxsiny







= ₂(cosx+_siny), 2(−sinx+_cosy) , 1 ×







−sinx cosy

−cosx −siny 2 cosxcosy −2 sinxsiny







= −2 sinxsiny 2 cosxcosy

.

Exercice 6. Soient les fonctions f :R² −→R³etg:R² −→R²définies par : f(x,y) = (x²+y,x²−y², 1); g(x,y) = (e^x−y, 2xy). 1) Rappeler la définition d’une fonction de classeC^k sur un ouvertUdeR^n. 2) Soit(x,y)∈R^2.

a) Déterminer les matrices jacobiennesJ_f(x,y)etJg(x,y)respectives de f etg.

b) Calculer de deux manières différentes la matrice jacobienne J(f og)(x,y)de f og.

c) Donnerd(f og)_(x,y)(h,k),(h,k)∈R².

Corrigé

1) une fonction f est dite de classe C^k sur un ouvert U de R^{n si f} admet toutes les dérivées partielles d’ordreksurUet que celles-ci sont continues surU.

2)

a) Les matrices jacobiennesJ_f(x,y)etJ_g(x,y)de f estgsont données par :

J_f(x,y) =







2x 1

2x −2y

0 0





, J_g(x,y) = ^e

x−y −e^x−y

2y 2x

! .

b)

•Calcul de J_{(f og)}(x,y)par utilisation de l’expression de f og. Nous avons (f og) (x,y) = f[g(x,y)] =e^x−y2

+2xy, e^x−y2

−[2xy]², 1

= e^2x−2y+2xy,e^2x−2y−4x²y², 1 . D’où,

J(f og)(x,y) =







2e^2x−2y+2y −2e^2x−2y+2x 2e^2x−2y−8xy² −2e^2x−2y−8x²y

0 0





.

•Calcul de J_{(f og)}(x,y)par utilisation des matrices jacobiennes. Nous avons J_{(f og)}(x,y) = J_f [g(x,y)]×J_g(x,y)

=







2e^x−y 1 2e^x−y −4xy

0 0







e^x−y −e^x−y

2y 2x

!

=







2e^2x−2y+2y −2e^2x−2y+2x 2e^2x−2y−8xy² −2e^2x−2y−8x²y

0 0





. c) On a

h

d(f og)_(x,y)(h,k),(h,k) it

= J_{(f og)}(x,y)×(h,k)^t

=







2e^2x−2y+2y −2e^2x−2y+2x 2e^2x−2y−8xy² −2e^2x−2y−8x²y

0 0





 h k

!

=







h 2e^2x−2y+2y

+k −2e^2x−2y+2x h 2e^2x−2y−8xy²

+k −2e^2x−2y−8x²y 0





. Donc,

d(f og)_(x,y)(h,k),(h,k) = ^{h 2e}

2x−2y+2y

+k −2e^2x−2y+2x , h 2e^2x−2y−8xy²

+k −2e^2x−2y−8x²y , 0

! .

Exercice 7. Montrer que la fonction f définie surR^{2 par : f}(x,y) = xyx²−y²

x²+y² si(x;y) 6= (0; 0) et f(0; 0) =0 admet des dérivées partielles d’ordre 2 en tout point mais que ∂²f

∂x∂y(0, 0)6= ^∂

2f

∂y∂x(0, 0).

Corrigé

La fonction f est de classe C^∞ dansR²\ {(0, 0)}comme quotient de fonctions de classeC^∞. Nous avons

∂f

∂x(0, 0) = lim

t−→0

f(t, 0)− f(0, 0)

t =0 et

∂f

∂y(0, 0) = lim

t−→0

f(0,t)− f(_{0, 0})

t =0.

. et pour(x,y)6= (0, 0), on a

∂f

∂x(x,y) = ^{y x}

4+4x²y²−y⁴ (x²+y²)^{2 ,}

∂f

∂y(x,y) = −^{x y}

4+4x²y²−x⁴ (x²+y²)^{2 .} D’où,

∂f

∂x(0,k) = −k si k6=0,

∂f

∂y(h, 0) = h si h6=0.

Par suite,

∂²f

∂x∂y(0, 0) = lim

h−→0

∂f

∂y(h, 0)−^∂f

∂y(0, 0)

h =1,

∂²f

∂y∂x(0, 0) = lim

h−→0

∂f

∂y(0,k)− ^∂f

∂y(0, 0)

k =−1.

Les dérivées partielles d’ordre 2 existent en (0,0). Cependant, ∂²f

∂x∂y(0, 0)6= ^∂

2f

∂y∂x(0, 0). Donc, f n’est pas de classeC²surR^2.

Exercice 8. Soit f la fonction définie par f(x,y) =3x²+2y³−6y

1. Montrer qu’on peut appliquer le théorème des fonctions implicites à la fonctionf au voisinage de(0, 0). Soitϕcette fonction implicite.

2. Etablir la relationx+ (ϕ²(x)−1)ϕ⁰(x) =0 , calculerϕ⁰(0)

3. Donner le développement limité deϕà l’ordre 2 au voisinage de 0 . 4. Déterminer l’équation de la droite tangente ày=ϕ(x)enx= 0.

Corrigé 1. On a f est une fonction de classeC^∞surR².

Comme f(0, 0) =0 et ∂f

∂y(x,y) =6y²−6,=⇒ ^∂f

∂y(0, 0) =−66= 0.

Alors d’après le théorème des fonctions implicites au voisinage de(0, 0), il existe un intervalle ouvert I contenant 0 et une fonctionϕ de I dansR^{de classeC∞}sur I telle queϕ(0) = 0 et pour toutx∈ I; f(x,ϕ(x)) =_{0 .}

2. On dérive la relation 3x²+2ϕ(x)³−6ϕ(x) =0, pourx∈ I. Il vient : 6x+6ϕ⁰(x)ϕ²(x)−6ϕ⁰(x) =0.

=⇒ x+ϕ⁰(x)(ϕ²(x)−1) =0.

On évalue cette relation enx=0 (on aϕ(0) =0), donc on trouveϕ⁰(0) =0.

3. Une deuxième dérivation donne : 6x+6ϕ⁰(x)ϕ²(x)−6ϕ⁰(x) =0

=⇒6+6ϕ⁰⁰(x)ϕ²(x) +12(ϕ⁰)²(x)ϕ(x)−6ϕ⁰⁰(x) =0 On évalue cette relation enx =0 (on a ϕ(0) =0 etϕ⁰(0) =0),

donc on trouveϕ⁰⁰(0) =1.

=⇒ϕ(x) =ϕ(0) +xϕ⁰(0) + ^x

2

2ϕ⁰⁰(0) +o(x²)

=⇒ϕ(x) = ^x

2

2 +o(x²) 4. L’équation la droite tangente àϕen 0 est

y=ϕ(_{0, 0}) +xϕ⁰(x)⇐⇒ y=₀

Exercice 9. :

1. Montrer que l’equation z³+2z+e^z−x−y2 = cos(x− y+z) définit implicitement z comme fonctionC^∞dexetyau voisinage de 0 qui s’annule en 0.

2. Calculer les dérivées partielles dezen 0.

3. Écrire l’équation du plan tangent àϕen (0, 0).

Corrigé

1. Soit f la fonction définie surR^{3par :}

f(x,y,z) =z³+2z+e^z−x−y2 −cos(x−y+z)

La fonction f est de classe C^∞ sur R³, elle vérifie f(0, 0, 0) = 0 et sa dérivée partielle par rapport àzest

∂f

∂z(x,y,z) =3z²+2+e^z−x−y2+sin(x−y+z) En particulier, ∂f

∂z(0, 0, 0)) =36= 0,

Alors d’après le théorème des fonctions implicites au voisinage de(0, 0, 0), il existe donc un voisinageV de(0, 0)et une fonctionϕ : V −→ R^{de classe C∞ telle queϕ}(0, 0) =0 et pour tout(x,y)∈V

f(x,y,ϕ(x,y)) =0 2. On peut calculer les dérivées partielles par la formule :























∂ϕ

∂x(x,y) = −

∂f

∂x(x,y,ϕ(x,y))

∂f

∂z(x,y,ϕ(x,y))

∂ϕ

∂y(x,y) = −

∂f

∂y(x,y,ϕ(x,y))

∂f

∂z(x,y,ϕ(x,y)) Comme

∂f

∂x(x,y,z) =e^z−x−y2 +sin(x−y+z) =⇒ ^∂f

∂x(0, 0, 0)) =1,

∂f

∂y(x,y,z) =−2ye^z−x−y2−sin(x−y+z) =⇒ ^∂f

∂y(0, 0, 0)) =0,

∂f

∂z(_x,y,z) =_3z²+₂+_e^z−x−y2 +_sin(_x−y+_z) =⇒ ^∂f

∂z(_{0, 0, 0})) =₃6= 0, Donc























∂ϕ

∂x(_{0, 0}) = −

∂f

∂x(_{0, 0, 0})

∂f

∂z(0, 0, 0)

=₁

∂ϕ

∂y(0, 0) = −

∂f

∂y(0, 0, 0)

∂f

∂z(0, 0, 0)

=0

3. L’équation du plan tangent àϕen(0, 0)est z=ϕ(0, 0) +x∂ϕ

∂x(0, 0) +y∂ϕ

∂y(0, 0)⇐⇒z =x

Exercice 10. : Déterminer les extrema de f préciser leur nature.

1. f(x,y) = x²+y² e^x2−y2.

2. f(x,y) =xe^y+yln(x).

Corrigé 1) les extrema de f(x,y) = x²+y²

e^x2−y2.

Les points critiques vérifient le système d’équations







∂f

∂x(x,y) =0

∂f

∂y(x,y) =₀

⇐⇒

(

2x+2x x²+y²

e^x2−y2 =2x 1+x²+y²

e^x2−y2 =0 2y−2y x²+y²

e^x2−y2 =2y 1−x²−y²

e^x2−y2 =0

⇐⇒

( x=₀

y=0 ou 1−x²−y²=0 ⇐⇒

( x= ₀

y=0 ouy =1 ouy=−1.

Les points stationnaires sont :(0, 0), (0,1) et (0,-1).

la nature de chaque point critique : On a ∂²f

∂x²(x,y) =2−6x², ∂²f

∂y²(x,y) =−2, ∂²f

∂y∂x(x,y) =0 et ∂²f

∂x∂y(x,y) =0 Donc La matrice hessienne de f en un point(x,y)est

Hess f_(x,y):=









∂²f

∂x²(x,y) ^∂

2f

∂x∂y(x,y)

∂²f

∂y∂x(x,y) ^∂

2f

∂y²(x,y)









= ^{A C}

C B

!

Avec

A = ^∂

2f

∂x²(x,y) =^h2

1+x²+y²

+4x²+4x²

1+x²+y²i e^x2−y2

B = ^∂

2f

∂y²(x,y) =^h2

1−x²−y²

−4y²−4y²

1−x²−y²i e^x2−y2

C = ^∂

2f

∂x∂y(_x,y) =^h_4xy−4xy

1+_x²+_y²ⁱ_e^x2−y2_.

•au point(0, 0)on a

A=2,B= 2 etC= 0=⇒∆(0, 0) =4>0 et commeA= ^∂

2f

∂x²(0, 0) =2 >0

=⇒(0, 0)est un minimum local.

On remarque que

f(x,y)≥₀ = f(_{0, 0}) =⇒(0, 0) est un minimum global..

•Pour (0,1) et (0,-1), on a

A=4e⁻¹,B=−4^e−1 etC=0=⇒∆(0,±1) =−16e⁻¹ <0=⇒(0,1) et (0,-1) sont des points selles.

2) les extrema de f(x,y) =xe^y+yln(x).

Les points critiques vérifient le système d’équations







∂f

∂x(x,y) =0

∂f

∂y(x,y) =0

⇐⇒







e^y+ ^y x =0 xe^y+lnx=0

⇐⇒







e^y =−^y x y=lnx ( y=lnx

x²+lnx=0

La fonctiong : x 7−→ x²+lnxest continue surR^∗+. L’etude de cette fonction montre qu’il existe un et un seul pointα ∈ ]0, 1[ tel que g(α) = 0. Donc, il existe un et un seul pointα ∈ ]0, 1[ tel que α²+_lnα=_0.

la nature de chaque point critique On a ∂²f

∂x²(x,y) = −y x² , ∂²f

∂y²(x,y) =xe^yet ∂²f

∂y∂x(x,y) = ^∂

2f

∂x∂y(x,y) =e^y+¹ x

=⇒ ^∂

2f

∂x²(α, ln(α)) = −ln(α) α² , ∂²f

∂y²(x,y) =α² et ∂²f

∂y∂x(α, ln(α)) = ^∂

2f

∂x∂y(α, ln(α)) =α+ ¹ α

Donc la matrice hessienne de f en un point(x,y)est

Hess f_(x,y):=









∂²f

∂x²(x,y) ^∂

2f

∂x∂y(x,y)

∂²f

∂y∂x(x,y) ^∂

2f

∂y²(x,y)









=







−ln(α)

α² α+ ¹ α α+ ¹

α α²







=⇒∆(α, ln(α)) = _det(Hess f_(α,ln(α)))

= −

α+ ¹ α

2

−ln(α)

= −

α+ ¹ α

2

+α² (_carα²+_lnα=₀)

= −₂− ¹ α²

< 0

=⇒pas d’extremum