Sup PCSI2 — Devoir 1999/04 D´efinitions et notations
ISoitEunK-e.v. On noteL(E) l’ensemble des endomorphismes deE. On note0l’endomorphisme nul, eti l’endomorphisme identique deE. Soitf un endomorphisme deE; pourn∈N, on d´efinitfnpar les formules f0=iet fn+1=f◦fn. On sait quefn+1=fn◦f,fn+p=fn◦fp etfnp= (fn)p .
IUn endomorphismef deE estnilpotent s’il existe un naturelntel quefn =0. L’indice de nilpotence def est alors le plus petit naturel satisfaisant cette condition ; on le noteraν(f).
Noyaux et images des it´er´es d’un endomorphisme
ISoientE est unK-e.v. quelconque etf ∈ L(E). Pourk∈N, on noteNk(f) = ker(fk) etIk(f) = im(fk).
Q1 Prouvez que la suite de terme g´en´eralNk(f) est croissante.
Q2 Prouvez que la suite de terme g´en´eralIk(f) est d´ecroissante.
Q3 Prouvez que, siNk(f) =Nk+1(f), alorsNk(f) =Nk+p(f) pour tout naturelp.
Q4 ´Enoncez et d´emontrez la propri´et´e analogue pour la suite desIk(f).
Q5 Montrez que la suite de terme g´en´eralNk(f) est, soit stationnaire, soit strictement croissante.
Q6 De mˆeme, montrez que la suite de terme g´en´eralIk(f) est, soit stationnaire, soit strictement d´ecroissante.
IOn noteN(f) = S
k∈N
Nk(f), etI(f) = T
k∈N
Ik(f).
Q7 Prouvez queN(f) est un s.e.v. deE, et qu’il est stable parf.
Q8 De mˆeme, prouvez que I(f) est un s.e.v. deE, et qu’il est stable parf. Un exemple en dimension infinie
IDans cette partie,E=C∞(R,R) etD∈ L(E) est d´efini parD(f) =f0. Q9 D est-il surjectif ? Est-il injectif ?
Q10 ExplicitezIk(D) etNk(D).
Un exemple en dimension finie
IDans cette partie,E=Kn, etf ∈ L(E) est d´efini parf(ei) =ei+1 pouri∈[[1,n−1]] etf(en) =−→ 0 . Q11 Explicitezfk(ei), pour i∈[[1,n]] etk∈N.
Q12 Montrez quef est nilpotent, et d´eterminez son indice de nilpotence.
Q13 ExplicitezNk(f) etIk(f), pourk∈N.
Q14 Montrez quei−f est un automorphisme deE.
Q15 Explicitez l’image deek par (i−f)−1. G´en´eralisation
IDans cette partie,E d´esigne unK-e.v. de dimension finien. f est un endomorphisme deE.
Q16 Prouvez que la suite de terme g´en´eralNk(f) est stationnaire.
Q17 Prouvez que la suite de terme g´en´eralIk(f) est stationnaire.
Q18 Prouvez que ces deux suites stationnent `a partir du mˆeme rang.
Q19 Prouvez queE=N(f)⊕I(f).
Q20 Prouvez quef induit un endomorphisme nilpotent deN(f). Quel est son son indice de nilpotence ? Q21 Prouvez quef induit un automorphisme deI(f).
Question subsidiaire
Q22 SoientE unK-e.v. de dimension finien, etf un endomorphisme nilpotent de E. On supposeν(f) =n. Il existe donc un un vecteurudeEtel que fn−1(u)6=−→
0 . Pouri∈[[1,n]], on noteui=fi−1(u). Montrez que la famille (ui)16i6n est une base deE.
[Devoir 1999/04] Compos´e le 1er mai 2004
