Suites et problèmes

Suites ES 1

Suites et problèmes

Vérifier les acquis n°1 à 6 p 128

I. Modes de génération d’une suite A. Notion de suite

Définition

Une suite, notée 𝒖, est une fonction définie sur l’ensemble N des nombres entiers naturels. Le terme d’indice 𝒏 ou de rang 𝒏, noté 𝑢(𝑛) ou 𝑢_𝑛 est l’image du nombre entier naturel 𝑛 par 𝑢.

Notation

Une suite 𝑢 se note aussi (𝑢_𝑛) ou (𝑢_𝑛)_𝑛∈𝑁

Exemple

𝑢 est la suite des entiers naturels impairs : 𝑢0= 1 ; 𝑢1= 3 ; 𝑢2= 5 ; 𝑢3= 7 ; … B. Modes de génération d’une suite

1. Suite définie par une expression 𝒖_𝒏 = 𝒇(𝒏) Définition

𝑓 est une fonction définie sur [0 ; +∞[

On peut définir une suite 𝑢 en posant, pour tout 𝑛 de N, 𝒖_𝒏 = 𝒇(𝒏).

On dit que la suite est définie par une relation explicite.

Exemple

𝑢 est la suite définie sur N par 𝑢_𝑛= 𝑛²+ 3.

𝑓 est la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 3.

Ainsi pour tout 𝑛 de N, 𝑢_𝑛 = 𝑓(𝑛).

𝑢₀= 𝑓(0) = 3 𝑢₁= 𝑓(1) = 4 𝑢₂= 𝑓(2) = 7

Dans un repère, la représentation graphique de la suite 𝑢 est l’ensemble des points de coordonnées (𝑛, 𝑢_𝑛)

2. Suite définie par une relation de récurrence Définition

On peut définir une suite par les deux données suivantes :

 un premier terme de la suite

 une expression d’un terme de la suite en fonction de terme(s) précédent(s) On dit que la suite est définie par une relation de récurrence.

Exemple

𝑣 est la suite définie par 𝑣₀ = −1 et, pour tout 𝑛 de N, 𝑣_𝑛+1= 2𝑣_𝑛− 1

Cette égalité signifie que n’importe quel terme de la suite est égal au double du terme qui le précède, diminué de 1.

Avec la valeur de 𝑣₀, on calcule 𝑣₁= 2𝑣₀− 1 = 2 × (−1) − 1 = −3 Avec la valeur de 𝑣₁, on calcule 𝑣₂= 2𝑣₁− 1 = 2 × (−3) − 1 = −7

Voir exercice résolu 1 p 131 Exercices n°12 – 13 – 14 - 15 p 138

C. Sens de variation Définitions

Dire qu’une suite 𝑢 est croissante signifie que pour tout 𝑛 ∈ N, 𝑢_𝑛+1> 𝑢_𝑛. Dire qu’une suite 𝑢 est décroissante signifie que pour tout 𝑛 ∈ N, 𝑢_𝑛+1< 𝑢_𝑛. Dire qu’une suite 𝑢 est constante signifie que pour tout 𝑛 ∈ N, 𝑢_𝑛+1 = 𝑢_𝑛.

Exemple

𝑤 est la suite définie par 𝑤₀ = 2 et pour tout 𝑛 ∈ N, 𝑤_𝑛+1 = 𝑤_𝑛+ 𝑛 + 1 Pour tout 𝑛 ∈ N, 𝑤_𝑛+1− 𝑤_𝑛= 𝑛 + 1 et 𝑛 + 1 > 0 donc 𝑤 est croissante sur N.

Voir exercice résolu 2 p 131 Exercices n°17 à 23 p 138 – 139

Suites ES 2 II. Suites arithmétiques

A. Définition Définition

Dire qu’une suite est arithmétique de raison 𝒓 signifie que pour tout 𝑛 de N, 𝒖_𝒏+𝟏 = 𝒖_𝒏+ 𝒓

Exemple

𝑢 est la suite arithmétique de premier terme 𝑢0= 5 et de raison −3.

𝑢₁ =𝑢₀− 3 = 5 − 3 = 2 𝑢₂ = 𝑢₁− 3 = 2 − 3 = −1

Remarque

Pour tout 𝑛 de N, 𝒖_𝒏+𝟏− 𝒖_𝒏 = 𝒓. Ainsi les suites arithmétiques modélisent des phénomènes à variations absolues constantes.

B. Expression du terme général 𝒖_𝒏 en fonction de 𝒏 Propriété

𝑢 est une suite arithmétique de raison 𝑟. Pour tout 𝑛 de N, 𝒖_𝒏= 𝒖_𝟎+ 𝒏𝒓

Démonstration

𝑢₁ =𝑢₀+ 𝑟 𝑢₂ =𝑢₁+ 𝑟 = 𝑢₀+ 2𝑟 𝑢₃ = 𝑢₂+ 𝑟 = 𝑢₀+ 3𝑟….

Propriété

𝑢 est une suite arithmétique de raison 𝑟. Pour tout 𝑛 et 𝑝 de N, 𝒖_𝒏 = 𝒖_𝒑+ (𝒏 − 𝒑)𝒓

Démonstration

𝑢_𝑛 = 𝑢₀+ 𝑛𝑟 et 𝑢_𝑝 = 𝑢₀+ 𝑝𝑟 donc 𝑢_𝑛 − 𝑢_𝑝 = 𝑢₀+ 𝑛𝑟 − (𝑢₀+ 𝑝𝑟) = (𝑛 − 𝑝)𝑟

Exemple

𝑢 est une suite arithmétique telle que 𝑢₈= 7 et 𝑟 = −4

𝑢₁₄= 𝑢₈+ (14 − 8)𝑟 = 7 + 6 ×(−4)= −17

Voir exercice résolu 2 p 133 Exercices n°24 à 29 p 139 – 140

C. Représentation graphique et sens de variation Propriétés

𝑢 est une suite arithmétique de raison 𝑟.

 Dans un repère, les points de coordonnées (𝑛, 𝑢_𝑛) sont alignés.

 La suite arithmétique 𝒖 est croissante si 𝒓 > 𝟎, décroissante si 𝒓 < 𝟎 et constante si 𝒓 = 𝟎

Remarque

Les suites arithmétiques correspondent à des évolutions linéaires.

Voir exercice résolu 1 p 133 Exercices n°30 à 34 p 140

Suites ES 3 III. Suites géométriques

A. Définition Définition

Dire qu’une suite est géométrique de raison 𝒒 signifie que pour tout 𝑛 de N, 𝒖_𝒏+𝟏 = 𝒒 × 𝒖_𝒏

Exemple

𝑢 est la suite géométrique de premier terme 𝑢0= −2 et de raison 3.

𝑢₁ =𝑢₀× 𝑞 = −2 × 3 = −6 𝑢₂ = 𝑢₁× 𝑞 = −6 × 3 = −18 𝑢₃ =𝑢₂× 𝑞 = −18 × 3 = −54

Remarque

Pour tout 𝑛 de N et si 𝒖_𝒏 ≠ 𝟎, ^{𝒖𝒏+𝟏−𝒖𝒏}

𝒖_𝒏 =^{𝒖𝒏+𝟏}

𝒖_𝒏 −^𝒖𝒏

𝒖_𝒏 = 𝒒 − 𝟏. Ainsi les suites géométrique modélisent des phénomènes à variations relatives constantes.

B. Expression du terme général 𝒖_𝒏 en fonction de 𝒏 Propriété

𝑢 est une suite géométrique de raison 𝑞 ≠ 0. Pour tout 𝑛 de N, 𝒖_𝒏 = 𝒖_𝟎× 𝒒^𝒏

Démonstration

𝑢₁ =𝑢₀× 𝑞 𝑢₂ =𝑢₁× 𝑞 = 𝑢₀× 𝑞² 𝑢₃ = 𝑢₂× 𝑞 = 𝑢₀× 𝑞³….

Propriété

𝑢 est une suite géométrique de raison 𝑞 ≠ 0. Pour tout 𝑛 et 𝑝 de N, 𝒖_𝒏 = 𝒖_𝒑× 𝒒^𝒏−𝒑

Démonstration

𝑢_𝑛 = 𝑢₀× 𝑞^𝑛 et 𝑢_𝑝 = 𝑢₀ × 𝑞^𝑝 donc 𝑢_𝑛 =^𝑢𝑝

𝑞^𝑝× 𝑞^𝑛 = 𝑢_𝑝× 𝑞^𝑛−𝑝 Exemple

𝑢 est une suite géométrique telle que 𝑢3= 48 et 𝑞 = 2

𝑢₇ =𝑢₃× 𝑞⁷⁻³ = 48 × 2⁴ = 768

Voir exercice résolu 2 p 135 Exercices n°35 à 40 p 140 – 141

C. Représentation graphique et sens de variation Propriété

𝑢 est la suite définie sur R par 𝑢_𝑛 = 𝑞^𝑛 avec 𝑞 > 0

La suite géométrique 𝑢 est croissante si 𝒒 > 𝟏, décroissante si 𝟎 < 𝒒 < 𝟏 et constante si 𝒒 = 𝟏

Remarque

Les suites géométriques correspondent à des évolutions exponentielles.

Remarque

Pour 𝒒 > 𝟎 et 𝒖_𝟎< 𝟎 𝑢 est décroissante si 𝑞 > 1 𝑢 est croissante si 0 < 𝑞 < 1

Voir exercice résolu 1 p 135 Exercices n°41 à 47 p 141 Problèmes n°57 – 58 – 59 p 145

Approfondissement n°70 – 71 48 AP n°1 à 11 p 136 – 137 Autonomie n°61 à 69 p 146 – 147