de Contrôle N°1Section : Maths M. Zribi

(1)

Lycée Marsa Erriadh

4ème année 2014/2015

2h.

Devoir de Contrôle N°1

Section : Maths

M. Zribi

Exercice 1 ( 5 points):

Dans le graphique ci-contre (Cf) est la courbe représentative d’une fonction définie continue sur

,2

; les droites d’équation y=-2x+1 et x=2 sont les asymptotes de (Cf).

1) Déterminer :

lim ( ) ; lim ( )²_

 

x f x x f x

( ) 2

lim ; ; lim ( ) ; lim

( ) 1

   

 

x x x

f x f x x

x f x x

2) On donne ci-contre le tableau de variations d’une fonction g définie, continue sur IR/{3} et on désigne par (Cg) sa représentation graphique.

a) Préciser les asymptotes de Cg.

b) Montrer que l’équation g(x)=0 admet dans IR/{3} une unique solution a .

c) En déduire le signe de g.

3) Soit h la fonction définie par h(x)=fog(x).

a) Prouver que l’ensemble de définition de h est ^^,3_. b) Justifier que h est croissante sur [0,3[.

4) Soit k la fonction définie sur IR par

( ) ( ) 1

1 cos( ² 1)

( ) 1

1

k x f x si x

k x x si x

x

 



 

  

  .

a) Etudier la continuité de k en 1..

b) Déterminer^x^^lim ^{k x}^{( )}. Exercice 2 ( 7 points):

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé



^{O u v}^{, ,}^{ }



; dans la figure en annexe A le point d’affixe 1+ i et M le point d’affixe m=

; 0,

2 ei^   

  et ^ le cercle trigonométrique.

1) On considère l’équation (E) : ^z^{² 2}^ ^{e z}ⁱ^ ^²^e²ⁱ^ ^⁰. a) Résoudre (E).

b) Ecrire sous forme exponentielle les solutions de (E).

2) Soit N le point d’affixe n= ^ieⁱ^ . a) Vérifier que N ^ .

(2)

b) Justifier que



^^{u ON}^{ }^,



^{ }^₂ ^{ }^{ }²

et placer le point N .

3) Soient P et Q les points d’affixes respectives ^p^{ }⁽¹ ^{i e}⁾ ⁱ^ ^{et q}^{ }⁽¹ ^{i e}⁾ ⁱ^. a) Placer les points P et Q.

b) Montrer que OQP est un triangle rectangle, isocèle en O.

4) Soit K le milieu de [AQ] et k son affixe.

a) Vérifier que

1 2cos 2 4

2 4

i i

ie e

 

    ^^_ ^ ^^_

    

  .

b) En déduire la forme exponentielle de k.

Exercice 3 ( 8points):

f la fonction définie sur ^0,  ^{par f x}^{( ) 1} ²

  x

; Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ,i ,⃗ ⃗j) , D la droite d’équation y=x. ( annexe 2)

soit U la suite définie par U0=1 et Un+1=f(Un) pour tout ^{n IN}^ . 1) En s’appuient sur la figure :

a) Dresser le tableau de variations de f.

b) Déterminer le signe de f(x)-x.

Soit h la fonction définie par h(x)=fof(x).

2) Déterminer h([1,2]) et h([2,^[)

3) Placer sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite U.

Soit V et W les suites définies par Vn=U2n et Wn=U2n+1. 4) a) Vérifier que h(Vn)=Vn+1 .

b) Montrer que 1^Vn2 et que 2^Wn. c) Montrer que la suite V est croissante On admet que la suite W est décroissante.

5) a) Montrer que pour tout entier naturel n, 3^VnWn.

b) Montrer que pour tout entier naturel n ; ¹ ¹

2( _n _n)

n n

n n

W V

    W V

.

c) En déduire que, pour tous entier naturel n ; ¹ ¹

2( )

n n 3 n n

W _ V_  W V

.

d) Démontrer que lim  _n _n 0

n W V

  

6) a) Montrer que les suites W et V ont la même limite.

b) En déduire que la suite U est convergente et calculer sa limite.

(3)

Nom ……….. Prénom :……….