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A.S 2009/20010 Exercice 1 :
Chaque question comporte trois affirmations, une seule des trois est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier l'affirmation exacte sans justifier votre choix .
1) A et B deux évènements indépendants tels que p(A)=0,3 et p(B)=0,5 ; alors p(AB)=
a) 0,15 b) 0,8 c) 0,65 2) A et B deux évènements incompatibles alors p(AB)=
a) p(A) . p(B) b) p(A) c) 0
3) si X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0,60] alors p(X≥50)= : a) 56 b) 12 c) 16
4) Une primitive de 𝑙𝑛𝑥𝑥 sur ]1,+∞[ est
a) ln(lnx) b) 12(lnx)²+3 c) 1−𝑙𝑛𝑥𝑥²
5) L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y’’+9y=0 est l’ensemble des fonctions définies sur IR par :
a) f(x)=Acos3x-Bsin3x ; AIR ; BIR.
b) f(x)=Acos9x+Bsin9x ; AIR ; BIR.
c) f(x)=Acosx+Bsinx ; AIR ; BIR.
6) On donne la courbe d’une fonction f définie, continue sur [0,2]
a) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 102 b) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 < 402 c) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 < 102
2 2
0 1
1
L.S Marsa Elriadh L.SCarthage Hannibal
4ème année
Devoir de synthèse N° 3
Section : Sciences Ex. Durée : 3 h.
Epreuve : Mathématiques. Coefficient : 3
Profs : M Chefai M Zribi
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A.S 2009/20010 Exercice 2 :
D’après l’INSEE, l’indice du chiffre d’affaires du secteur du Bâtiment gros œuvre a évolué entre 2000 et 2007 de la manière suivante :
année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Rang de l’année xi,
0 i 7
0 1 2 3 4 5 6 7
Indice yi,0 i 7 100 105,6 106,9 110,8 121,3 132,5 145,5 161,8
PARTIE 1 :
1. Dans un repère orthogonal, représenter le nuage de points
x yi; i
0 i 7 (unités graphiques : 2 cm pour 1 année sur l’axe des abscisses ; 2 cm pour 10 unités d’indice sur l’axe des ordonnées, en graduant ce dernier à partir de y = 90).2. Expliquer pourquoi un ajustement affine de ce nuage de points ne parait pas approprié.
PARTIE 2 :
1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous ; on donnera les résultats à 10−2
xi, 0 i 7 0 1 2 3 4 5 6 7
ln i
z y , 0 i 7
2. a. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés : les coefficients seront arrondis au centième.
b. En déduire une expression de y en fonction de x sous la forme y A eBx où A et B sont des réels.
c. Dans le repère précédent, représenter la fonction f définie par f x( )95,6 e 0,07x. d. À l’aide de ce modèle, donner une estimation de l’indice du chiffre d’affaires du
secteur du Bâtiment gros œuvre pour l’année 2009.
Exercice 3:
Un quincaillier achète des ampoules à trois fournisseurs dans les proportions suivantes : 20 % au premier fournisseur, 50 % au deuxième fournisseur et 30 % au troisième fournisseur.
Le premier fournisseur fabrique 97 % d’ampoules sans défaut, le deuxième fournisseur fabrique 98 % d’ampoules sans défaut, le troisième fournisseur fabrique 95 % d’ampoules sans défaut.
1) On choisit une ampoule au hasard dans le stock. On note F1 l’événement « l’ampoule provient du premier fournisseur », F2 l’événement « l’ampoule provient du deuxième fournisseur » et F3 l’événement « l’ampoule provient du troisième fournisseur ».
D l’événement « l’ampoule est défectueuse »,
a) Modéliser la situation par un arbre probabiliste.
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A.S 2009/20010 b) Calculer la probabilité de l’événement D, notée P(D).
c) Sachant que l’ampoule choisie est défectueuse, quelle est la probabilité , qu’elle provienne du premier fournisseur ?
2) On suppose que la probabilité qu’une ampoule soit sans défaut est de 0,969.
On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilité R qu’une ampoule au plus soit défectueuse. On donnera une valeur approchée à 10−3 près de R.
3) La durée de vie en heures d’une ampoule, notée T, suit une loi de durée de vie sans vieillissement (ou loi exponentielle) de paramètre = 2.10−5.
a. Quelle est la probabilité P1 qu’une ampoule dure plus de 25 000 heures ? Donner la valeur exacte de P1.
b. Quelle est la probabilité P2 qu’une ampoule dure plus de 50 000 heures ? Donner la valeur exacte de P2.
c. Quelle est la probabilité P3 qu’une ampoule dure plus de 50 000 heures, sachant qu’elle a déjà durée 25 000 heures ? Donner la valeur exacte de P3.
Exercice 4:
PARTIE A :
Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Le graphique ci –dessous représente la courbe représentative d’une fonction F définie et dérivable sur IR. f est la dérivée de F sur IR.
la courbe passe par les points A(0,1) ; B(-1,0) ; C(1,4e -1) et D(3, 16e -3).
la courbe admet en B et en C une tangente horizontale.
(AB) est la tangente à au point A.
2 3 4 5
-1 -2
2 3
-1
-2
-3
0 1
A1
B
C
D
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A.S 2009/20010 Par une lecture graphique :
1) Déterminer 1
x x x
lim F(x) ; lim F(x) ; lim F(x) et F'( )
x .
2) Dresser le tableau de variations de F.
3) Justifier que f(0)=1.
4) Déterminer le signe de f(x) pour xIR.
PARTIE B :
Soit l’équation différentielle (E) : y’+y= -2xe-x.
1) Montrer que la fonction v définie sur IR par v(x)= -x²e-x est une solution de l’équation (E).
2) Résoudre l’équation différentielle (E’) : y’+y=0 3) Soit u une fonction définie, dérivable sur IR.
Montrer que u est solution de l’équation (E) si et seulement si u-v est solution de l’équation (E’).
Résoudre l’équation (E).
4) sachant que la fonction f de la partie A) est solution de (E) ; déterminer f(x) pour tout xIR.
5) calculer l’aire de la partie du plan limitée par la courbe ; l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=3.
