Devoir de Contrôle 3

(1)

1/4 Exercice 1 ( 3points) :

Chaque question compo rte trois affirmations, une seule des tro is est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier l'affirmation exacte sans justifier votre cho ix.

1) f la fonction définie par f(x)=lnx. La valeur moyenne de f sur [1,e]est : a) 1 b)

1 e

e− c) ¹ 1 e− 2) on donne l’arbre suivante :

p(B)est égale à : a) 0.26.

b) 074.

c) 0.026.

3) Une loi de probabilité d’espérance E, de variance V et d’écart type σ est définie par le tableau ci-dessous.

xi 0 1 2 3 pi 0,1 0,4 0,2 0,3 On a alors :

a) E=¹⁰

17 b) V=¹⁰¹

100 c) σ=^{2 5}

10 Exercice 2 ( 4points):

1) Une pièce de monnaie est pipée de tel sorte que la probabilité d’avoir face lors d’un jet est le triple de celle d’avoir pile. On désigne par p la probabilité d’avoir une face.

Justifier que p=¹ 4.

2) On jette la pièce de monnaie n fois de suite ; on désigne par X le nombre de faces obtenue.

a) Déterminer la loi de probabilité de X.

b) Déterminer la valeur moyenne de X.

Lycée Marsa Erriadh

4^ème Sc2 20/4/2013

Prof : M.Zribi.

Devoir de Contrôle 3

Section : Sciences Ex

Epreuve : Mathématiques

Durée : 2h

A

0, 2

B 0,1

B

A

B 0,3

B

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(2)

2/4

On considère l’événement A « obtenir au moins une face » c) Calculer p_n=P(A).

d) Déterminer la valeur minimale de n pour laquelle p_n≥0,99.

Exercice 2 ( 6points):

Soit f la fonction définie sur ]0,+∞[ par ( ) ^lnx f x x

= − x et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Dans la figure ci contre on a représenter Cf ainsi que la droite D :y=x.

1) En utilisant le graphique :

a) Dresser le tableau de variations de f.

b) Etudier le signe de f(x)-x.

2) Calculer l’aire de la partie du plan limité par Cf, la droite D et les droites d’équations x=1 et x=e.

3) Soit U la suite définie par ⁰

1

2

( ) , 0

n n

U

U ₊ f U n

 =

 = ≥

 .

a) Montrer que , pour tout n∈IN ; 1≤ Un . b) Prouver que la suite U est décroissante.

c) En déduire que la suite U est convergente et calculer sa limite .

Exercice 4 (7points):

1) En annexe en a représenté la courbe (Γ) de la fonction ln ; placer sur la figure les points A(

(

^e^{, ln} ^e

)

^{et B}

(

^e^, ^e

)

Soit f la fonction définie sur [0,+∞[ par :

( ) 1 ²(1 ln ) 1 2

(0) 1

f x x x

f

 = − +



 =



. Cf sa courbe représentative .

2) a) montrer que f est continue à droite en 0.

b) calculer lim ( ) lim ^{( )}

x x

f x et f x

→+∞ →+∞ x ; interpréter graphiquement le résultat obtenue.

3) a) étudier la dérivabilité de f à droite en 0 .

(3)

3/4

b) justifier que, pour tout x∈[0,+∞[ ; _{'( )} ¹ _ln f x =x2− x

 . c) dresser le tableau de variations de f.

4) montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l’intervalle [0,+∞[.

5) donner une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse 1.

6) on considère la fonction g définie par g(x)=f(x)-(¹ 1)

2x+ , Cg sa courbe représentative (voir annexe).

a) Par une lecture graphique, étudier la position de Cf et de la tangente T.

b) Vérifier que ( ) ¹ 1

g α = −2α− ; placer le point C(∝,f(∝)) 7) Tracer la courbe Cf ainsi que T.

8) A est l’aire de la partie du plan délimitée par Cf, l’axe des ordonnées et les droites d’équations x=1 et x=α.

a) En utilisant une intégration par parties calculer

1 ² ln I =

∫

^αx x dx^. b) Calculer A.

(4)

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Nom : ……….. Prénom :………..