Epreuve 4 M : Zribi

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 4 ^{M : Zribi}

4

^ème

Sc

Révision

1

09/10

Exercice N°1 ( 5 points ) :

Pour chacune des questions suivantes ; une ou plusieurs réponses sont exactes. Cocher la ou les réponses correctes.

Questions Propositions

A et B deux événements indépendants tels que : P( A ) = 0,3 et

P( B ) = 0,5 ^{P A}



^B



^^0,15

 

^0,8

P A B 



^/



^{0, 2}

P B A 



^/



^{0, 3}

P A B  On considère l’arbre de probabilité ci-dessous :

0, 6 C 0, 2 A D

0, 3 C B

D



^/



^{0, 08}

P D A 

 

^{0, 56}

P B D 



^/



^0,875

P B D 

La durée de vie T d’une machine « en années » suit une loi exponentielle de paramètre 0, 3.

La probabilité qu’une machine soit encore en état de marche après cinq années est :

5 0,3 0

0, 3e ^tdt



5 0,3 0

1



e^ ^tdt

0,15t

e^ Exercice N°2 ( 5 points ):

Soit le réel ; 2 2

 ^  ^et ( E ) l’équation

 

^E ^:^z²^{ }



ⁱ ^eⁱ^



^{z ie}^ ⁱ^ ^⁰

1. Résoudre dans l’équation ( E )

2. Soit dans le plan muni d’un repère orthonormé directe



^{O i j}^{, ,}



les points A et M d’affixes respectives i et ^eⁱ^

a. Déterminer l’affixe zN du point N pour que le quadrilatère OANM soit un parallélogramme

b. Construire l’ensemble E des points N lorsque varie dans l’intervalle ; 2 2

 

 

 . 3. Soit P le point de E d’ordonnée ¹

2 a. Déterminer les coordonnées de P

b. Vérifier que P appartient à la médiatrice de [O A] puis le construire c. Placer ; en expliquant ; le point B d’affixe 3.

d. Démontrer que les points A , P et B sont alignées .

Exercice N°3 ( 5 points ) :

(2)

L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 4 ^{M : Zribi}

4

^ème

Sc

Révision

2

09/10

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé



^{O i j k}^{, , ,}



. On considère les points A( 4,0,0), B(0,-2,0) et C(0,0,2).

1. Déterminer les composantes du vecteur ABACqu’on notera u. 2.

a. Montrer qu’une équation du plan ( ABC) est ^x²^y²^z ⁴ ⁰ b. Calculer le volume v du tétraèdre OABC

3. Soit S l’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace tels que x²y² z² 4x2y2z0. Montrer que S est un sphère dont on précisera le centre I et le rayon R.

4. Montrer que le tétraèdre OABC est inscrit dans la sphère S .

5. Déterminer le rayon r et le centre ^du cercle ( C ) circonscrit au triangle ABC . Exercice N°4 ( 5 points ) :

I. La courbe Cf ci-dessous est celle d’une fonction f définie sur dans un repère orthonormé



^{O i j}^{, ,}



. On donne

le point de la courbe A 1,² e

 

 

 . En utilisant le graphique :

1. Déterminer les limites de f en

 et en .

2. Préciser le sens de variations de f 3. Déterminer f( 1 ) et f ‘ ( 1 ) 4. Que représente le point A pour

la courbe Cf

5. Décrire le comportement de la courbe Cf aux voisinages de l’infinie

6.

a. Justifier que f réalise une bijection de sur un

intervalle J que l’on précisera

b. Etudier la dérivabilité de la fonction réciproque f^-1 de f

c. Construire sur le même repère la courbe de f ^-1 en précisant ces caractéristiques . II. La courbe C est en fait celle de la fonction f définie sur par ^{f x}^{( )}^



^x²^¹



^e^^x^{. Pour}

tout entier naturel n , on désigne par An l’aire de la partie du plan limitée par la courbe Cf , l’axe des ordonnées et la droite x = n .

a. Soit

0 n

x

In 



xe dx^ . Montrer que In   ^{1 (}n ¹⁾e^ⁿ b. Vérifier que pour tout réel x ,on a : f x'( ) f x( )2xe^^x c. En déduire An en fonction de n .

d. Calculer lim _n

n A

 .