1: Dérivation numérique

Université Pierre-et-Marie-Curie Licence de Mathématiques LM383

Equations différentielles. Méthodes de résolution numérique.

Travaux dirigés Année universitaire 2006-2007

TD n

1: Dérivation numérique

Exercice 1. Formules de Taylor - Rappels

(Re)démontrez les résultats suivants :

a) (Théorème de Cauchy)Soient les fonctions f,g∈ C([a,b]) dérivables en tout point de l’intervalle ]a,b[. Si g⁰(x) 6= 0, ∀x ∈]a,b[, alors il existe (au moins) un point ξ ∈]a,b[ où on a l’égalité:

f(b)−f(a)

g(b)−g(a) = f⁰(ξ)

g⁰(ξ) (1)

(Indication : on pourra chercher à appliquer le théorème de Rolle à une fonction astucieusement choisie).

b) (Formule de Taylor-Lagrange)Soitf une fonction de classeCⁿsur[a,b]. Alors, pour toutt∈[a,b], il existe (au moins) un pointξ ∈]a,t[où on a l’égalité:

f(t) =f(a) +

n−1

X

k=1

(t−a)^k

k! f^(k)(a) +(t−a)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(ξ) (2)

(Indication : considérer les fonctionsF(x) =f(t)−f(x)−Pn−1 k=1

(t−x)^k

k! f^(k)(x)etG(x) = (t−x)ⁿ puis utiliser le théorème de Cauchy).

c) (Formule de Taylor avec reste intégral) Soitf une fonction de classe Cⁿ sur[a,b].

Pour toutt∈[a,b]on a alors:

f(t) =f(a) +

n−1

X

k=1

(t−a)^k

k! f^(k)(a) + Z _t

a

(t−x)ⁿ⁻¹

(n−1)! f⁽ⁿ⁾(x)dx (3)

(Indication : on pourra intégrer par partiesRt a

(t−x)ⁿ⁻¹

(n−1)! f⁽ⁿ⁾(x)dx).

Exercice 2. Dérivées successives de f et différences finies

Montrer par récurrence que sif ∈ C^k([a,b]), il existe (au moins) trois nombres réelsθ∈]0,1[, θ⁰ ∈]−1,0[etθ⁰⁰ ∈]−1/2,1/2[, tels que:

∆^kf(x) =h^kf^(k)(x+θkh)

∇^kf(x) =h^kf^(k)(x+θ⁰kh) δ^kf(x) =h^kf^(k)(x+θ⁰⁰kh)

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Exercice 3. Construction des schémas de différences finies - Méthode des coef- ficients indéterminés

Soitf une fonction de classeC^∞ sur l’intervalle [a,b]⊂R et(n+ 1)points équidistants de [a,b], d’abscisses x_i =a+ih,i = 0,1, . . . ,n, avec le paramètre de discrétisation h= (b−a)/n.

Les valeurs de f aux pointsx_i, notéesf_i =f(x_i), sont supposées connues. Il a été vu en cours que lorsqu’on approche la dérivée première f_i⁰ = f⁰(xi) par l’expression δf(xi)/het la dérivée secondef_i⁰⁰=f⁰⁰(x_i)par l’expressionδ²f(x_i)/h², on commet une erreur enO(h²). Le but de cet exercice est d’identifier des schémas, éventuellement plus compliqués, pour lesquelles l’erreur commise est plus petite.

a) Ecrire les développements de Taylor de f_i+1, fi−1, f_i+1⁰ ,f_i−1⁰ ,f_i+1⁰⁰ et f_i−1⁰⁰ relativement aux valeurs def et de ses dérivées successives au point xi.

b) En déduire les équations que doivent satisfaire a−, a₀, a₊, b−, b₀, b₊, c−, c₀, c₊ et R pour que la formule suivante soit vraie :

a₊f_i+1+a₀f_i+a−fi−1+b₊f_i+1⁰ +b₀f_i⁰+b−f_i−1⁰ +c₊f_i+1⁰⁰ +c₀f_i⁰⁰+c−f_i−1⁰⁰ +R= 0, (4) et queR, c’est-à-dire l’erreur de troncature, ne contienne que des termes enO(h^p) avec p≥3.

c)Réécrire le système obtenu à la question précédente en choisissant comme variables auxi- liairesb−,b+,c− etc+.

d)Déterminer le schéma de différences finies d’ordre maximum que l’on peut obtenir pour calculer seulement les dérivées premières (c+ = c− = c0 = 0). Que peut-on dire du schéma explicite (b₊ =b−= 0)?

e)Déterminer le schéma de différences finies d’ordre maximum que l’on peut obtenir pour calculer les dérivées secondes sans faire intervenir les dérivées premières (b₊ =b− = b₀ = 0).

Que peut-on dire du schéma explicite (c₊=c−= 0)?

f )Quel est l’ordre de précision maximum qui peut être obtenu avec un schéma du type (4) pour calculer les dérivées secondes ? Ecrire le schéma correspondant.

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