D.S. DE MATHEMATIQUES (SPE) (2)

(1)

I - 1. Démontrer que3⁵≡1 mod 11.

2. En déduire que pour tout couple d'entiers naturels ( k , r ): 3^5k^r≡3^r mod 11. 3. n est un entier naturel.

a . Démontrer qu'il existe un couple d'entiers naturels ( k , r ) tels que n=5kr ( On donnera un encadrement de r ).

b . Quels sont les restes possibles dans la division de 3ⁿ, par 11?

4. Déterminer pour quelles valeurs de l'entier naturel n,3ⁿ7est divisible par 11.

II – Calculer le reste de la division euclidienne du naturel n=19⁵²×23⁴¹ par 7.

III –

1. a . Déterminer selon les valeurs de l'entier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne par 9 de 7ⁿ.

b . Démontrer alors que 2005²⁰⁰⁵≡7 [9]

2. a . Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : 10ⁿ≡1 [9].

b . On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on appelle S la somme de ses chiffres Démontrer la relation suivante : N≡S [9].

c . En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.

3. On suppose que A=2005²⁰⁰⁵; on désigne par : - B la somme des chiffres de A.

- C la somme des chiffres de B;

- D la somme des chiffres de C.

a . Démontrer la relation suivante : A≡D [9]

b . Sachant que 200510000 , démontrer que A s'écrit en numération décimale avec au plus 8020 chiffres. En déduire que B72180 .

c . Démontrer que C45 .

d . En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15.

e . Démontrer que D=7 Exercice I : 6 points.

Exercice II : 4 points Exercice III : 10 points

Bon courage

Lycée Dessaignes