D.S. DE MATHEMATIQUES (SPE) (1)

D.S. DE MATHEMATIQUES (SPE) (1)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 1-2-3

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 2 H 00

I-Divisibilité par 73 ?

1. Vérifier que les nombres suivants sont divisibles par 73 : 20062006, 12341234 et 10001000.

2. Prouver alors que tout nombre obtenu en juxtaposant, deux fois, quatre chiffres donnés est divisible par 73.

II-Soit n un entier naturel. Vérifier que, pour tout n : n²2n2=n3n−15.

Déterminer alors le(s) entier(s) naturel(s) n pour lesquels n3 divise n²2n2. Justifier.

III-Soit q un entier vérifiant : ₁₀¹⁰_=17q−49.

Déterminer le reste de la division euclidienne de 10¹⁰ par 17.

IV-Le reste de la division euclidienne de a par 11 est 8, celui de b par 11 est 2.

Quel est le reste de la division euclidienne des nombres : a + b, ab eta²par 11 ? V-Soit n un entier naturel non nul. Déterminer le quotient et le reste de la division de :

1. _2n²_n par n1. 2. _n²_2n3 par n2.

VI - Déterminer en utilisant l'algorithme d'Euclide le p.g.c.d. des nombres 528 et 816.

VII- Soit n un entier naturel non nul .

On considère les nombres a et b tels que : a=2n³5n²4n1 et b=2n²n. 1. Démontrer que 2n1 divise a et b .

2. Un élève affirme que le p.g.c.d. de a et de b est 2n1.

Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifié)

On pourra effectuer tout d'abord effectuer la division euclidienne de n²2n1 par n, puis l'algorithme d'Euclide.

Bon courage