Exercice 1:
Soit f la fonction définie sur IR par f(x)= 1 e x ; on désigne par la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( , , )O i j .
1) a) dresser le tableau de variations de f.
b) montrer que la droite :y=x coupe en un seul point d'abscisse et que 1,1 < < 1,2.
Tracer .
2) a) montrer que f réalise une bijection de IR sur ]1,+ [; on note g= f-1. b) tracer ' courbe de g dans ( , , )O i j puis expliciter g(x) pour tout
x]1,+ [.
3) on note F(x)=
g( x )
t 0
1 e dt
; pour tout x]1,+ [.
a) montrer que F est dérivable sur ]1,+ [ et que F'(x)= 2x² 1 x² . b) vérifier que pour tout x]1,+ [ F'(x)=-2+ 1 1
1 x1 x
.
c) calculer F( 2 ); en déduire que;
pour tout x]1,+ [ x 1
F( x ) 2 2 2x Log( ) 2Log( 2 1 ) x 1
.
d) calculer alors l'aire de la partie limitée par ; ' et les deux axes du repère en fonction de .
Exercice 2:
soit f la fonction définie sur [0,+ [ par f ( x ) x( Logx )² si x 0 f ( 0 ) 0
désigne sa courbe dans un repère orthonormé ( , , )O i j .
1) montrer que f est continue en 0; f est – elle dérivable en 0? Interpréter géométriquement ce résultat.
2) a) dresser le tableau de variations de f.
b) étudier la position de relatives de avec la droite :y=x.
3) soit la fonction F définie sur [0,+ [ par
x 1
F( x ) f ( t )dt. a) justifier que F est dérivable sur [0,+ [ et calculer F'(x).
b) en intégrant deux fois par parties, exprimer F(x) , x>0; en déduire F(0) . c) calculer l'aire de la partie limité par , les axes des coordonnées et la droite x=1.
4) a) montrer que la restriction de f à [1,+ [ admet une fonction réciproque h définie sur un intervalle J que l'on précisera. Tracer dans
( , , )O i j sa courbe '.
b) calculer l'aire de la partie limitée par , ' et les axes des coordonnées.
Exercice 3 :
Soit f la fonction définie sur ]- ,0[ par
x 2 x
f ( x ) e
1 e
.
1) a) montrer que pour tout x]- ,0[,
x 2 x 3
f '( x ) e
( 1 e )
.
b) étudier les variations de f.
2) construire la courbe de f dans un repère orthonormé ( , , )O i j .
3) a) montrer que f réalise une bijection de ]- ,0[ sur un intervalle I que l'on précisera.
b) expliciter f-1(x) pour tout xI.
II/ soit h(x)=sinx , pour x[ ,0 ] 2
. 1) étudier les variations de h.
2) montrer que h admet une fonction réciproque g; calculer
1 1
g( ) ; g( )
2 2
.
3)n montrer que g est dérivable sur ]-1,0] et que g'(x)= 1 1 x² . 4) soit G(x)=
Log( x ) Log 2
f ( t )dt
; x]-1,0[.
a) montrer que G est bien définie sur ]-1,0]
b) montrer que G est dérivable sur ]-1,0[. Et calculer G'(x).
c) en déduire que G(x)= -g(x)- 6
; pour tout x]-1,0[.
5) en déduire l'aire du domaine limité par , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=-Log2 et x=-Log 2 .
Exercice 4:
Soit la fonction f définie sur [0,1] par f ( x ) x( Logx 1 ) si x ]0,1]
f ( 0 ) 0
On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , , )O i j .
1) a) étudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en 0.
b) dresser le tableau de variations de f.
c) montrer que pour tout x[0,1] on a ; -1 f(x) -x.
2) a) montrer que f est une bijection de [0,1] sur un intervalle J que l'on précisera.
b) tracer et ' courbe de f-1 dans ( , , )O i j .
3) pour tout a]0,1], on note I(a)=
1 a
( x f ( x ))dx
a) calculer I(a) et
a 0
lim I( a )
; interpréter graphiquement cette limite.
b) en déduire l'ire A de la partie du plan limitée par , ' et la droite :y= -x.
4) soit la fonction F définie sur [0,+ [ par F(x)=
1 e x
f ( t ) 1 tdt
.
a) montrer que F est dérivable sur [0,+ [ et que pour tout réel x [0,+ [; F'(x)=
2 x x
( 1 x )
e e
.
b) en utilisant 1)c), montrer que pour tout x[0,+ [
x x
1 e x 1 e
Log( ) F( x ) 1 e Log( )
2 2
c) on admet que F admet une limite finie l en + , donner un encadrement de l.
Exercice 5:
I/ a) étudier les variation de la fonction définie sur ]0,1[ par
(x)=1
1 Logx
x .
2) soit f la fonction définie sur [0,1] par
f ( x ) x 1 si x ]0,1[
Logx
f ( 0 ) 0 et f ( 1 ) 1
a) montrer que f est continue sur [0,1].
b) étudier la dérivabilité de f à droite en 0.
c) en admet que f est dérivable à gauche de 1 et que g' 1 f ( 1 )
2; dresser le tableau de variations d f; puis tracer sa courbe .
II/ pour x]0,1], on pose
1 x
x x²
f ( t ) F( x ) f ( t )dt ; G( x ) dt
t .
1) montrer que F et G sont dérivables sur ]0,1] et que F'(x)=G'(x)= -f(x).
2) calculer G(1) , en déduire que F(x)=G(x).
3) a) montrer que pour tout x]0,1[ on a
x x²
1 dt Log2 tLogt
b) soit x]0,1[, montrer que pour tout t]0,x[ on a 1 1
0 Logt Logx
c) en déduire que pour tout x]0,1[ on a ; x F( x ) Log2
Logx
en déduire que
x 0
lim F( x ) Log2
Exercice 6: soit f la fonction définie sur [1,+ [ par f(x)= Log( x x² 1 ) ; on désigne par sa courbe dans un repère orthonormé ( , , )O i j .
1) a) montrer que f est dérivable sur ]1,+ [ et que f'(x)= 1 x²1.
b) étudier la dérivabilité de f à droite en 1; interpréter géométriquement le résultat obtenu.
c) étudier la fonction f et tracer . 2) soit un réel de ]1,2].
a) a l'aide d'une intégration par parties calculer F()=
2
f ( x )dx
. b) calculer
1
lim F( )
. En déduire l'aire A du parie du plan limité par , l'axe des abscisses et la droite d'équation : x=2.
3) a) montrer que f réalise une bijection de [1,+ [ sur IR+.
b) on note f -1 la fonction réciproque de f; tracer sa ' dans ( , , )O i j montrer que f -1 (x)=
x x
e e
2
c) calculer f(2); déterminer l'aire de la partie du plan limitée par ', l'axe des ordonnées et la droite d'équation y=2 et retrouver la valeur A.
Exercice 7:
soit f la fonction définie sur [0,+ [ par
e2 x 1
f ( x ) si x 0
x f ( 0 ) 2
1) montrer que f est continue à droite en 0.
2) pour x]0,+ [, on pose I(x)=
x t 0
e ( x t )² 2 dt
a) sans calculer I(x); montrer que pour tout x]0,+ [; 0 I(x)x3ex 6 b) a l'aide d'une intégration par parties montrer que x x²
e 1 x I( x )
2 . En déduire que
x x 0
e 1 x
lim x²
c) montrer que f est dérivable à droite en 0 et que f'd(0)=2.
3) soit g la fonction définie sur [0,+ [ par g(x)=ex(x-1)+1.
a) étudier les variations de g.
b) en déduire le signe de g.
4) a) exprimer f'(x) en fonction de g(x) pour x[0,+ [ puis dresser le tableau de variations de f.
b) construire la courbe de f dans un repère orthonormé ( , , )O i j .
5) soit F la fonction définie sur [1,+ [ par F(x)=
Logx 0
f ( t )dt
.
a) justifier que F(x) existe pour x[1,+ [.
b) montrer que F est dérivable sur ]1,+ [ et calculer F'(x).
