D.S. DE MATHEMATIQUES (SPE) (2)

D.S. DE MATHEMATIQUES (SPE) (2)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 1-2-3

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 2 H 00

I- Pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 5, on considère les nombres : a=n²−n−12 et _b=2n²_−7n−4.

1. Démontrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n−4. 2. On pose a '=n3 et b '=2n1. On note d le p.g.c.d de a' et b'.

a. Trouver une relation entre a' et b' indépendante de n.

b. Démontrer que d est un diviseur de 5.

c. Démontrer que les nombres a' et b' sont multiples de 5 si, et seulement si, n-2 est un multiple de 5.

3. a. Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n, le p.g.c.d de a et b.

b. Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers n=11 et n=12.

II- Définition de la congruence modulo 11.

On rappelle que si a et b désignent deux entiers relatifs, on dit que a est congru à b modulo 11, et on écrit a≡b [11], si et seulement s'il existe un entier relatif k tel que a=b11k.

1. Démonstration de cours

Prérequis : Définition de la congruence modulo 11.

a. Démontrer que si a≡b [11] et c≡d [11] alors ac≡bd [11] et a c≡b d [11] b. En déduire que si a≡b [11] , alors, pour tout n entier naturel, on a : aⁿ≡bⁿ [11]. 2. Soit N un entier naturel dont l'écriture en base 10 est a_na_n−1⋯a₁a₀.

a. Démontrer que 10≡−1[11].

b. Établir que N est divisible par 11 si, et seulement si,

le nombre a₀−a₁a₂−a₃⋯−1ⁿa_n est un multiple de 11.

c. En déduire que 60623456790123457989 est divisible par 11.

III- 1. Étudier suivant les valeurs de n, le reste de la division de₇ⁿ, par 10.

2. On pose, pour tout entier naturel n : A=177²⋯7ⁿ. Quel est le chiffre des unités de A?

IV-Démontrer que pour tout entier naturel n :

4ⁿ6n−1≡0 [9].

Bon courage