TS7 Interrogation 6A 3 d´ecembre 2019 Exercice 1 :
On consid`ere deux ´ev´enements ind´ependantsEetF tels que p( ¯F) = 13 etp(E∩F) = 15. Calculer p(E).
Solution: p(F) = 23 donc p(E) = p(E∩F) p(F) = 3
10.
Exercice 2 :
Dans cet exercice, on arrondira au centi`eme.
Un joueur lance successivement 7 fois une pi`ece de monnaie ´equilibr´ee. X est la variable al´eatoire qui prend pour valeur le nombre de Face obtenue.
(1) D´eterminer la loi de probabilit´e deX.
(2) D´eterminer l’esp´erance puis l’´ecart-type de X.
(3) CalculerP(X = 3), puisP(X 63).
Solution:
(1) Lancer une pi`ece de monnaie est une
´epreuve de Bernoulli de succ´es obtenir facede probabilit´e 12.
On observe une r´ep´etition de 7 ´epreuves de Bernoulli identique et ind´ependante.
Xest la v.a qui compte le nombre de succ´es.
Donc X suit la loi binomiale de param`etre 7 et 12.
(2) Par les formules de cours : E(X) = 72 et σ(X) =
q
7×12 ×12 = q7
4;
(3) `A l’aide de la calculatrice : P(X = 3) =
7 3
1
2
4
× 123
≈0,27.
P(X64) = 0,77.
Exercice 3 :
Dans cet exercice, les valeurs seront arrondies `a 10−3 pr`es.
Un fabricant d’ampoules poss`ede deux machines, not´ees A et B. La machine A fournit 65 % de la pro- duction, et la machine B fournit le reste. Certaines
ampoules pr´esentent un d´efaut de fabrication :
• `a la sortie de la machine A, 8 % des ampoules pr´esentent un d´efaut ;
• `a la sortie de la machine B, 5 % des ampoules pr´esentent un d´efaut.
On d´efinit les ´ev`enements suivants :
A : l’ampoule provient de la machine A; B : l’ampoule provient de la machine B; D : l’ampoule pr´esente un d´efaut.
On pr´el`eve un ampoule au hasard parmi la produc- tion totale d’une journ´ee.
(1) Construire un arbre pond´er´e repr´esentant la si- tuation.
(2) Montrer que la probabilit´e de tirer une ampoule sans d´efaut est ´egale `a 0,9305.
(3) L’ampoule tir´ee est sans d´efaut.
Calculer la probabilit´e qu’elle provienne de la machine A.
Solution:
(1)
B
D¯ 0,95 0,05 D 0,35
A
D¯ 0,92
T2 0,08
0,65
(2) A et B forment un syst`eme complet d’´ev´enements donc d’apr`es la formule des probabilit´es totales :
P( ¯D) =P(A)×PA( ¯D) +P(B)×pB( ¯D) = 0,9305 ;
La probabilit´e de tirer une ampoule sans d´efaut est ´egale `a 0,9305
(3) PD¯(A) = P(A∩D)¯
P( ¯D) ≈0,64
La probabilit´e qu’elle provienne de la ma- chineA est 0,6427
