DM 5, à rendre mercredi 14 novembre 2018
Suites et séries numériques
Préambule
Dans toutes les parties, étant donné une fonctionf dénie surRet à valeurs dans R, et un réela, on dénit la suite (un)n∈N par : u0=aet∀n∈N, un+1=f(un)
On appelle alors E l'ensemble des réelsa tels que la suite(un)n∈N soit convergente, etF l'ensemble des réelsatels que la sérieX
un soit convergente.
Comparer les ensemblesE et F.
Partie I
1. Soit(xn)n∈N une suite réelle. On dénit la suite(yn)n∈N par : ∀n∈N, yn= 1 n+ 1
n
X
k=0
xk.
(a) Montrez que si la suite(xn)n∈N est bornée, la suite(yn)n∈N est bornée. Examinez la réciproque.
(b) Montrez que si la suite(xn)n∈N converge vers`alors la suite(yn)n∈N converge aussi vers`(Résultat déjà prouvé, dont on demande la démonstration)
Réciproquement, si la suite(yn)∈N est convergente, la suite (xn)n∈N est-elle convergente ?
2. Soit(un)n∈N une suite de réels strictement positifs qui converge vers zéro. On suppose qu'il existe deux réelsm etαtels que : m6= 0, α >1, et un+1−un
(un)α →m (a) Quel est le signe dem?
(b) Soitβ un réel, etvn la suite dénie par : ∀n∈N, vn = 1
(un+1)β − 1 (un)β
i. Un exemple : α= 2. Donner un développement asymptotique deun+1 à l'ordre 2 dans l'échelle des (ukn)k∈N. Dans ces conditions, donner un développement asymptotique deu−βn+1à l'ordre 2 dans l'échelle des(ukn)k∈Z.
Déterminerβ pour que la suite(vn)converge vers une limite nie non nulle.
Fin de l'exemple.
ii. Montrer quevn peut s'écrirevn =−mβuγn+o(uγn)oùγest un réel à exprimer en fonction deαetβ. iii. Montrer que la suite(vn)a une limite nie non nulle si et seulement siβ =α−1 .
(c) On suppose queβ=α−1et que la suite(wn)n∈N est dénie par :
∀n∈N, wn= 1 n+ 1
n
X
k=0
vk
Quelle est la limite de la suite(wn)n∈N ? Montrer queun∼(−m.n.(α−1))−1/(α−1) En déduire la nature de la sérieX
un en fonction du réelα. 3. Applications :
(a) On suppose que la fonctionf est dénie par : ∀x∈R, f(x) =x−x2.
Montrer que la suite(un)converge si et seulement siu0∈[0,1]. En déduireE.
Montrer queF ={0,1} (on pourra utiliser les suites(vn)n∈N et(wn)n∈N dénies au I.2. avecα= 2. (b) On suppose que la fonctionf est dénie par : ∀x∈R, f(x) = x
1 +p
|x|. Montrer queE=R.
Déterminer l'ensembleF (on pourra utiliser les suites(vn)n∈N et(wn)n∈N dénies au I.2. avecα= 3/2).
Partie II
Dans cette partie on suppose que la fonctionf est dérivable sur un voisinage de 0.
1. Montrer que si l'ensembleF est non vide alors f vérie la condition f(0) = 0. On suppose cette condition réalisée dans toute la suite de cette partie
2. (a) On suppose que|f0(0)|<1
i. En revenant à la dénition def0(0), montrer qu'il existe un réelη et un réel M tel que0< M <1tel que∀x∈]−η, η[, |f(x)|6M|x|
ii. Montrer que]−η, η[⊂F.
(b) Application : on suppose quef est dénie par : ∀x∈R, f(x) =x+x3 3 . i. Montrer queE= [−√
2,√ 2]. ii. DéterminerF.
3. On suppose que|f0(0)|>1.
(a) En revenant à la dénition de f0(0), montrer qu'il existe un réelη et un réel m tel que m > 1 et ∀x ∈ ]−η, η[, |f(x)|>m|x|
(b) Montrer que la sérieX
un converge si et seulement si il existe un entier naturelptel queup= 0. (c) On suppose de plus quef est injective. Déterminer l'ensembleF.
(d) Application : on suppose quef est dénie par : ∀x∈R, f(x) = 2Arctan(x). i. Montrer queE=R.
ii. DéterminerF.
4. À partir d'ici et jusqu'à la n, ne sont concernés que ceux qui traitent les DS plus durs.
Dans cette question on suppose quef0(0) =−1.
(a) On suppose de plus quef est dérivable surRet que∀x∈R− {0}, f0(x)∈]−1,0[. i. Déterminer les points xes def (On pourra utiliser IAF)
ii. Montrer que la suite(|un|)converge, et donner sa limite. En déduireE. iii. En utilisant TAF, verier que la suite(un)est de signe alterné.
iv. DéterminerF (b) Applications :
b1.) On suppose que∀x∈R, , f(x) =−th(x). Déterminer les ensemblesE etF. b2.) On suppose que : ∀x∈R, f(x) =−sh(x). Déterminer l'ensemble F.
Partie III
Dans cette partie, on suppose que la fonctionf vérie les conditions suivantes : f est de classeCk surRaveck>2.
f(0) = 0 etf0(0) = 1.
∀x∈R∗, f0(x)∈]0,1[. 1. Montrer queE=R.
2. On suppose queaest strictement positif, et que∀`∈ {2, ..., k−1}, f(`)(0) = 0 etf(k)(0)6= 0. (a) En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonctionf0, montrer quef(k)(0)<0 (b) Montrer que l'entierkest impair.
(c) Montrer que la suite(vn)n∈Ndénie par : ∀n∈N, vn= 1
(un+1)β− 1
(un)β a une limite nie non nulle pour une et une seule valeurβ0 deβ que l'on précisera en fonction de l'entierk
(d) En utilisant les résultats de la partie I, en déduire un équivalent simple de (un)n∈N quand l'entiern tend vers+∞
(e) Application : on suppose que a est strictement positif, et que f est dénie par : ∀x ∈ R, f(x) = th x. Déterminer un équivalent simple deun.
