I5 - Inéquations
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INEQUATIONS et SYSTEME 1
du SECOND DEGRE
Résoudre les inéquations suivantes 1) 3+ 2)− 4 + 3) < 0 2) −² ≤ 0
Résoudre le système suivant = 12
² + ² = 40
Correction 1)1)1)
1) é !"+ ")!"− #! + ) < $ On résout :
3+ 2 = 0
⇔ 3 = −2 ⇔ = −2 3
Un carré est toujours positif donc pas de solution. 3² + 2 est du signe de « ' », donc positif.
On résout :
² − 4 + 3 = 0
Calcul du discriminant de l’équation :
∆ = +² − 4',
∆ = −4)− 4 × 1 × 3 = 4
∆ > 0 donc l4équation admet deux racines? et ? = @−+ − √∆B
2' ⇔ ? =4 − 2
2 = 1 =@−+ + √∆B
2' ⇔ = 4 + 2
2 = 3
-∞ 1 3 +∞
3² + 2 + + +
² − 4 + 3 + − +
(3² + 2) − 4 + 3) + − +
C = D1; 3F
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2) 2 2) 2)
2)
"!#G−
"!!²≤ $
On met tout au même dénominateur :
−9
2 + 4 −2
= −9 − 2(2 + 4)
(2 + 4) =−9− 4− 8
(2 + 4) =−13− 8
(2 + 4) =(−13 − 8) (2 + 4)
= −13 − 8 (2 + 4) On résout :
−13 − 8 (2 + 4) ≤ 0
On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur :
−13 − 8 = 0 ⇔ = − 8 13 ≠ 0
2 + 4 = 0 ⇔ = −2
-∞ −2 −?LK 0 +∞
−13 − 8 + + − −
− − − +
2 + 4 − + + +
−13 − 8
(2 + 4) + − + −
C = M−2; − 8
13M ND0; +∞F
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3
Résoudre le système suivant
!P = Q"
!² + P² = #$
R =12
² + ² = 40
ST
U =12 (12
)² + ² = 40
ST
U =12 144
² + ² = 40
ST
U =12 144
² + ² = 40
SV T
VU =12 144
² +
² =40 ²
²
R =12 144 + = 40 ²
R =12
− 40 + 144 = 0
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4
A partir de là, on pose W = ², soit : − 40 + 144 = 0
⇔ W² − 40W + 144 = 0
Calcul du discriminant de l’équation :
∆ = +² − 4',
∆ = −40)− 4 × 1 × 144 = 1024
∆ > 0 donc l4équation admet deux racines? et W? =@−+ − √∆B
2' ⇔ W? = 40 − √1024
2 =40 − 32 2 = 4 W = @−+ + √∆B
2' ⇔ W =40 + √1024
2 = 40 + 32 2 = 36
Or W = ² donc = √W YZ = −√W
D’où ? = √4 = 2 YZ ? = −√4 = −2 [\ = √36 = 6 YZ = −√36 = −6
On remplace alors ces résultats dans =?] On a alors ? = 12
2 = 6 YZ ? = 12
−2 = −6 [\ = 12
6 = 2 YZ = 12
−6 = −2 Les couples solutions de ce système sont : C = _(6; 2) ; −6; −2); 2; 6); −2; −6)`
