1) On munit R

MAT303 (2016-2017) Examen de juin 2017

Dur´ ee : 2h

(Sans calculatrice, sans document) Le bar` eme est donn´ e ` a titre indicatif Questions de cours (3 points)

1) On munit R

d’une norme not´ ee ||.||.

1a) Donner la d´ efinition de la boule ouverte de centre x ∈ R

et de rayon R > 0.

1b) Donner la d´ efinition d’un ouvert de R

.

1c) D´ emontrer qu’une intersection FINIE d’ouverts de R

est un ouvert de R

. 1d) Donner un exemple d’intersection non finie d’ouverts qui n’est pas ouverte.

2) On se place dans R

.

2a) Donner la d´ efinition des normes ||.||

et ||.||

.

2b) Tracer les boules de centre (0, 0) et de rayon 1 pour les deux normes pr´ ec´ edentes.

2c) Montrer que les deux normes sont ´ equivalentes.

Exercice 1 (4 points). Les 3 questions sont ind´ ependantes.

1) On consid` ere la fonction d´ efinie par f(x, y) = x

x + y . Montrer que f n’a pas de limite quand (x, y) tend vers (0, 0) (On pourra consid´ erer les points de la forme (x, 0) puis de la forme (x, −x + x

)).

2) Soit f la fonction d´ efinie sur R

par f (x, y) = 3x

y

2(x

+ y

) si (x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0.

2a) Montrer que f est continue en (0, 0).

2b) D´ eterminer les d´ eriv´ ees partielles de f en (x, y) 6= (0, 0).

2c) Montrer que f a des d´ eriv´ ees partielles en (0, 0).

2d) Montrer que ∂f

∂x n’est pas continue en (0, 0) (On pourra consid´ erer les points de la forme (x, 0) puis de la forme (x, x)).

3) Soit f : R

→ R

d´ efinie par f (x, y) = (y

+ 3xy, −x

y). Calculer la matrice jaco- bienne de f en tout point (x, y) de R

et exprimer la diff´ erentielle df

de f en (1, 1).

4) Calculer les d´ eriv´ ees partielles secondes de f(x, y) = sin(x

y).

Exercice 2 (3 points). Soit f (x, y) = 6x

+ 2y

+ 4x

. 1) D´ eterminer les points critiques de f .

2) La fonction f a-t-elle des extremas locaux sur R

? 3)) La fonction f a-t-elle des extremas globaux sur R

?

1

2

Exercice 3 (4 points). Toute r´ eponse non justifi´ ee sera consid´ er´ ee comme fausse.

On pr´ ecisera en particulier la propri´ et´ e du cours (caract´ erisation des ouverts, ferm´ es ou compacts) utilis´ ee.

1) On munit R

d’une norme not´ ee ||.||. Le singleton A = {v } o` u v est un vecteur fix´ e de R

est-il ouvert ? ferm´ e ? compact ?

2) On munit R de la valeur absolue. L’ensemble B = {2

; n ∈ N } est-il born´ e ? ferm´ e ? compact ?

3) On munit R

d’une norme ||.||. Montrer que l’ensemble C = {(x, y) ∈ R

; 7xy

+

3y

x

< 1} est ouvert (penser aux images r´ eciproques). Pourquoi ce r´ esultat ne

d´ epend pas de la norme consid´ er´ ee sur R

?