1) On munit R

Licence de math´ ematiques (2017-2018) Examen “Topologie” (MAT303)

JANVIER 2018 Dur´ ee : 2h

Sans calculatrice, ni document.

Le bar` eme est donn´ e ` a titre indicatif Exercice 1. (Questions de cours)[5 points]

1) On munit R

d’une norme N .

1a) Donner la d´ efinition de f : R

→ R est continue en x ∈ R

.

1b) Dans le cas o` u f : R

→ R est LINEAIRE, montrer que f est continue sur R

si et seulement si f est continue en 0.

1c) Donner la d´ efinition de f : R

→ R est uniform´ ement continue sur R

. 1d) La fonction f (x) = sin(x) est-elle uniform´ ement continue sur R ? 2) On munit R

d’une norme N .

2a) Donner la d´ efinition d’une boule ouverte B(a, R) o` u a ∈ R

et R > 0 puis d’un ouvert de R

muni de N.

2b) Montrer qu’une boule ouverte B(a, R) a ∈ R

et R > 0 est un ouvert de R

muni de N .

Exercice 2 (4 points). Soit f : R

→ R d´ efinie par f(x, y) = x|y|.

1) Etudier la continuit´ e de f.

2) Montrer que ∂f

∂x (x, y) esiste et est continue sur R

. 3) Montrer que ∂f

∂y (x, y) existe et est continiue sauf si y = 0.

4) La fonction f est-elle diff´ erentiable pour (x

, y

) avec y

6= 0 ? Si oui, donner la diff´ erentielle de f en (x

, y

).

Exercice 3 (2 points). Soit f : R

→ R

d´ efinie par f (x, y) = (x

− y

, ye

, xy

).

Donner la matrice jacobienne de f en tout (x, y) ∈ R

.

Exercice 4 (4 points). Soit f ; R

→ R d´ efinie par f(x, y) = 2(x − y)

− x

− y

. 1) Montrer que les points critiques de f sont (0, 0), ( √

2, − √

2) et (− √ 2, √

2).

2) La fonction f a-t-elle des extremas locaux ? 3) La fonction f a-t-elle des extremas globaux ?

Exercice 5 (5 points). On dit qu’une famille T de sous-ensembles de R

est une topolgie si elle v´ erifie :

(T1) ∅ et R

sont dans T .

(T2) Toute r´ eunion quelconque d’´ el´ ements de T est un ´ el´ ement de T .

1

2

(T3) Toute intersection finie d’´ el´ ements de T est un ´ el´ ement de T . 1) Montrer que les T suivants donnent des exemples de topologie sur R

: 1a) T = {∅, R

}.

1b) T est la famille de tous les sous-ensembles de R

.

1c) T est l’ensemble des ouverts de R

muni d’une norme N .

2) Soit f : R

→ R

une application. On munit R

d’une topologie T . Comment d´ efinir la notion de “f continue par rapport ` a la topologie T ” ? On pourra s’inspirer de l’exemple 1c).

Question subsidiaire : Si T est la topologie donn´ ee par l’exemple de 1b), quelles sont

les applications continues f : R

→ R

pour cette topologie ?