1 Les lois de Kepler
Les3loisdeKepler(1571-1630)dériventlainématiquedumouvementdesplanètes
autourdu soleilave une préisioninégalée pour l'époque.
1.1 1ère loi (trajetoires elliptiques)
Lapremière loi dérit latrajetoire des planètes autour du soleil:
Les planètes, dont la terre, sont en mouvement le long d'orbites elliptiques dont le
soleiloupe un des foyers.
1.2 2ème loi (loi des aires)
La deuxième loi dérit omment varie la vitesse de e déplaement au ours du
temps:
Le rayon veteur soleil-planète balaie des aires égales en des temps égaux.
1.3 3ème loi (loi harmonique)
La troisième loi établit une relation unique pour toutes les planètes entre leurs
périodes de révolutionet leurs distanes ausoleil:
Pour toutes les planètes en orbite autour du soleil, le rapport entre le arré de leur
période de révolution et le ube du demi-grand axe de leur orbitea la même valeur.
2 Le problème à 2 orps en méanique Newtonienne
Un peu moins d'un sièle après Kepler, Newton onlut de façon magistralela ré-
volution operniienne en établissant les lois de la méanique et de la gravitation
universelle. Il montre que les 3 lois de Kepler sont une onséquene des prinipes
qu'ila établipour leas d'un système à2 orps.
système à 2 orps. Soient
r ~ 1 et r ~ 2 les veteurs positionnant les 2 orps dans e
référentiel,m 1 etm 2 leurs masseset~r = r ~ 2 − r ~ 1. On adon :
m 1 etm 2 leurs masseset~r = r ~ 2 − r ~ 1. On adon :
~r = r ~ 2 − r ~ 1. On adon :
m 1 r ~ 1 + m 2 r ~ 2
m 1 + m 2 = 0
(1)On introduit lamasse réduite du système :
µ = m 1 m 2
m 1 + m 2 (2)
etla masse totale
M = m 1 + m 2. On voitqu'on a:
~
r 1 = − µ m 1 ~r
~
r 2 = µ
m 2 ~r
(3)L'équationde mouvement s'éritdès lors:
µ d 2 ~r
dt 2 = m 2 d 2 r ~ 2
dt 2 = −m 1 d 2 r ~ 1
dt 2 = −Gm 1 m 2 ~r
r 3 = −GµM ~r
r 3 .
(4)2.1 La 1ère loi de Kepler sous la loupe de Newton
Newton a démontré que la solution de e problème diérentiel est une onique, un
des foyer de elle-i orrespondant à l'origine du référentiel. Plus préisément, le
foyer est le entre de masse du système quand on dérit le mouvement dans un
référentiel inertiel.Si par ontre, on souhaite dérirele mouvement relatif du orps
2par rapportau orps 1,le foyer de latrajetoire relativeest leorps 1.
Dansunréférentielinertiel,les2orpsorbitentdonautourdeleurentre
de masse.
Il en est ainsi dans le as partiulier du système solaire : le soleil lui aussi est en
orbiteautourdu entrede massedu système.Ilen est égalementainsidans d'autres
systèmes solaires. Ce point est très important et est au oeur de la prinipale
méthode de déouverte de planètes autour d'autres étoiles que notresoleil.
Déterminons par exemple la position du entre de masse du système soleil-terre. Si
l'indie1 orrespond ausoleilet 2à la terre,nous avons :
|~ r 1 |
1 UA = m 2
m 1 + m 2 ≃ m terre
m sol
= 5.9742 × 10 24 kg
1.9891 × 10 30 kg ≈ 3 × 10 − 6 .
C'estminusule, e entre de masse se situe àpeine à
≈
450 kmdu entre du soleil(moinsd'un millièmede son rayon).
Sipar ontre, on onsidère leouple soleil-jupiter,ontrouve :
|~ r 1 | ≃ m jupiter
m sol
d sol−jup = 1.8987 × 10 27 kg
1.9891 × 10 30 kg 5.2 UA = 1.0676 R ⊙ .
Le entre de masse du ouple soleil-jupiter se trouve don au niveau de la surfae
du soleil; le soleilorbite autour de e point en 11.86 ans (période de révolution de
jupiter).
Enn,unexempleimportantenastrophysiqueonerneleétoilesbinaires.Ilapparaît
en eetque prèsde lamoitiédes étoiles viventen oupleplus oumoins rapprohé :
onparle de système binaire.Dans les systèmes binaires,les 2 étoilesont en général
des massesdu mêmeordre de grandeur.Dans e as, leentre de masseest situé en
un point intermédiaire entre les2 étoiles et toutes 2 orbitent autourde e point; il
arrivesouvent que es 2 mouvements soientdétetables.
2.2 Energie totale
Il est utile de rappeler l'expression de l'énergie du système dans le as partiulier
du problème à 2 orps. Notons
v ~ 1 et v ~ 2 les vitesses dans le référentiel inertiel et
~v = v ~ 2 − v ~ 1 la vitesse relative,r 1 = | r ~ 1 |
, v 1 = | v ~ 1 |
, ...
L'énergie inétique totaleest tout simplement:
E c = m 1 v 1 2
2 + m 2 v 2 2
2 = µv 2 2 .
L'énergie potentielle totaleest :
E p = − Gm 1 m 2
r = − GµM r ,
e qui donnepour l'énergieméanique totale :
E = µv 2
2 − GmM r .
Cetteénergie totale est une onstante de mouvement extrêmement utile à détermi-
ner. Tout d'abord, elle permet immédiatement de déterminer omment la vitesse
relativediminue quand la distane entre les 2 orps augmente. En outre, son signe
informe sur letype d'orbite.
Si
E < 0
: lesystème est lié,l'orbiteest une ellipse.Si
E = 0
:lesystème n'estpas liéetl'orbiteest une parabole; lavitesse relativetend vers 0 quand la distane tend vers l'inni.
Si
E > 0
:lesystèmen'estpasliéetl'orbiteestunehyperbole;lavitesserelativetend vers une valeur stritement positive quand la distane tend vers l'inni.
Ceinousonduitimmédiatementàlanotiondevitessed'éhappement.Leproblème
s'énone ainsi : Soient 2 orps à une distane r, au-delàde quelle vitesse relative le
systèmeà 2 orps n'est-ilplus lié?
Lesystème n'est pas liéssi
E ≥ 0
, àd1/2v 2 ≥ GM/R
.La réponse est don :v ≥ q 2GM/R ≡ v e .
(5)v e = q 2GM/R
est appelée vitesse d'éhappement.Onpeutégalementonsidérerlavitessedelanement.Plaçonsnousàlasurfaed'un
orps sphérique de rayon R et propulsons un objet dans la diretion tangentielle à
lasphère. A quelle vitesse doit-ilêtre propulsé pour être misen orbite? Laréponse
est tout simplement : à une vitesse
v l = q GM/R
. Pour un mouvement irulaire,l'aélérationentripède est en eetdonnée par :
ω 2 R = v 2
R = GM
R 2 .
(6)Onpeutaller plus loindans ladisussion etposer laquestion:quelle sera latraje-
toirepour une vitesse quelonque supérieureà lavitesse de lanement? Laréponse
est : une onique dontl'exentriité est :
e = v 2 R GM − 1 .
Rappelons que
e = 0
orrespond à un erle,0 < e < 1
à une ellipse,e = 1
à uneparaboleet
e > 1
à une hyperbole.2.3 La 2ème loi de Kepler sous la loupe de Newton
Dansun système à2 orps, lemomentinétique total est tout simplement:
~ L = m 1 r ~ 1 × v ~ 1 + m 2 r ~ 2 × v ~ 2 = µ ~r × ~v .
(7)Comme l'énergie totale, le veteur moment inétique total est une onstante de
mouvement (diretion normaleauplan de l'orbite).
La loi des aires dans le problème à 2 orps est une onséquene immédiate de la
loi de onservation du moment inétique total. Démontrons qu'il en est bien ainsi.
L'aire
dA
balayée pour un intervalle angulairedθ
petit est (en ne gardant que lestermesdu 1er ordre):
dA ≃ (1/2)r 2 dθ.
Divisonspar l'intervallede tempsorrespondant etpassons àla limite. On trouve:
dA dt = r 2
2 dθ dt = 1
2 rv θ = 1 2
L
µ = cst.
(8)2.4 La 3ème loi de Kepler sous la loupe de Newton
Soituneorbitefermée(ellipse)dedemi-grandaxe
a
etsoitP
lapériodederévolution.Newtona démontré que:
P 2 = 4π 2 a 3
G(m 1 + m 2 ) .
(9)C'est quasiment la 3ème loi de Kepler et même bien plus. Dans le as du système
solaire,la masse du soleildomine.largement eton trouve bien quele rapport entre
P 2 et a 3 est quasi onstant. La loi de Newton va ependant plus loin ar elle nous
donne la valeur de ette onstante :
4π 2 /(GM ⊙ )
dans le as des orbites autour dusoleil.
Cette loi ore un moyen remarquable de détermination des masses en
astrophysique.
Moyennant laonnaissanede la période de révolution d'unastre etdu demi-grand
axe,ellenous permetde déterminer lamasse totale du système. C'est ellequi nous
permet de onnaître :
Lamassedu soleil,onnaissantlesdistanesetpériodesderévolutiondesplanètes
autour du soleil.
La masse des planètes en onnaissant lesdistanes et périodes de révolution des
satellitesautour de elles-i.
La masse des étoiles dans des systèmes binaires, onnaissant leur mouvement
orbital (voir plus loindans le ours).
Lamasse des galaxies autravers de ladéterminationdes vitesses etdes distanes
au entre, faisantapparaître le problème de la masse ahée ...
Il est utile de noter que, dans le as de notre système solaire, la prinipale iner-
titude pour e problème réside dans la onnaissane de la onstante de gravitation
universelleG. Celle-iest onnue ave une préisionrelativede grosso-modo
10 − 4 à
e jour :
G = 6.673 × 10 − 11 Nm 2 kg − 2 .
GM ⊙, GM terre, ... sont onnus ave une très grande préision relative : de l'ordre
de
10 − 8! et ei par simple appliation de la loi harmonique. L'inertitude sur les
massesest don dominéepar l'inertitude sur G
dans lesystème solaire ...
La terre n'est pas tout à fait sphérique. Elle ressemble plutt à un ellipsoïde de
révolution.Pourquoi?
La rotation de la terre sur elle-même fait apparaître une fore tive dans le réfé-
rentiel en rotation attahé à la terre : la fore entrifuge. Dans le as de la terre,
l'aélérationentrifuge auxples vaut :
ω 2 R = 4π 2 R/P rot 2 = 0.034 m/s 2
Enomparaison,
GM terre /R 2 ≃ 9.81 m/s 2. L'eet de lafore entrifuge produit dès
lors un léger aplatissement, le rayon équatorial est légèrement supérieur au rayon
polaire.
Nousavons vu queleplande l'équateurest inlinéde 2327'par rapportauplan de
l'éliptique.En onséquene, lesoleilexere un oupleperturbateur sur laterre. Ce
ouple s'exere dans une diretion tendant à ramener le plan de l'équateur dans le
plande l'éliptique.Danslesyllabus, e oupleperturbateur est alulémoyennant
ertaines approximations.
Voyons ii omment l'ation de e ouple perturbateur implique le phénomène de
préession.Posonsleproblèmeommesuit:UnastreAesten rotationsurlui-même
(Période
P R), moment d'inertie par rapportà son axe de rotation: I = αM A R 2 et
I 2 = βM A R 2 par rapport à un axe équatorial (pour rappel, α = 2/5
pour une
I 2 = βM A R 2 par rapport à un axe équatorial (pour rappel, α = 2/5
pour une
sphère).Cet astreest en orbiteirulaireautourd'unastreB (période derévolution
P o, distane d
). Le plan de l'équateur de l'astre A fait un angle i
ave le plan de
l'orbite.Le orpsB exereun oupleperturbateurmoyen sur Adans ladiretionde
ladroite des noeuds :
M = 3/2 (α − β)(GM B /d 3 )M A R 2 sin i cos i .
(10)Démontrons maintenantlephénomène de préession etalulons sa période.
Pour le hoix des axes, nous prenons les3 veteurorthonormés suivants:
~
e z :normal à l'éliptique
~
e γ :diretiondu oupleperturbateur(droite des noeuds).
~
e γ,⊥ : perpendiulaire aux2 autres (e ~ γ × e γ,⊥ ~ = e ~ z).
L'équationdu problème est tout simplement:
I d~ω
dt = M e ~ γ ,
(11)où
~ω
est leveteur vitesse angulairede rotation.On érit :~ω = ω 0 e ~ z + ω ⊥ e γ,⊥ ~ .
(12)Prenonsla dérivée par rapportau temps(
d ~ e z /dt = 0
) :d~ω
dt = dω 0
dt e ~ z + dω ⊥
dt e γ,⊥ ~ + ω ⊥
d ~ e γ,⊥
dt = M
I e ~ γ .
(13)Notons
ω p la fréquene angulaire de préession omptée positivement dans le sens rétrograde(sens dans lequel s'eetuera la préession),nous avons don :
d ~ e γ,⊥
dt = ω p e ~ γ .
(14)Enidentiant les 2 membres de l'Eq. 13,on trouve immédiatement :
dω 0 /dt = 0
etdω ⊥ /dt = 0
.ω 0 et ω ⊥ sont don onstants : la vitesse de rotation de A n'est pas
modiéeet
~ω
reste dans un ne d'ouverture i orientéselone ~ z.
Finalement,le dernierterme nous donne :
ω ⊥ ω p = M
I .
(15)Lapériode de préession vaut don :
P p = 2πIω ⊥
M .
(16)Nousavons
ω ⊥ = ω sin i
; utilisant lesexpressions données pourI
etM
, nous trou-vons don :
P p = 4π 2 α P R
2 3
d 3
GM B (α − β) cos ǫ .
(17)D'autre part, la3ème loide Keplernous donne pour la période de révolution
P o :
P o 2 = 4π 2 d 3 GM B
.
(18)On trouvedon nalement pour la période de préession :
P p = P o 2 P R
2 3
α α − β
1
cos ǫ ,
(19)ouenore :