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m 2 leurs masseset~r = r ~ 2 − r ~ 1. On adon :

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1 Les lois de Kepler

Les3loisdeKepler(1571-1630)dériventlainématiquedumouvementdesplanètes

autourdu soleilave une préisioninégalée pour l'époque.

1.1 1ère loi (trajetoires elliptiques)

Lapremière loi dérit latrajetoire des planètes autour du soleil:

Les planètes, dont la terre, sont en mouvement le long d'orbites elliptiques dont le

soleiloupe un des foyers.

1.2 2ème loi (loi des aires)

La deuxième loi dérit omment varie la vitesse de e déplaement au ours du

temps:

Le rayon veteur soleil-planète balaie des aires égales en des temps égaux.

1.3 3ème loi (loi harmonique)

La troisième loi établit une relation unique pour toutes les planètes entre leurs

périodes de révolutionet leurs distanes ausoleil:

Pour toutes les planètes en orbite autour du soleil, le rapport entre le arré de leur

période de révolution et le ube du demi-grand axe de leur orbitea la même valeur.

2 Le problème à 2 orps en méanique Newtonienne

Un peu moins d'un sièle après Kepler, Newton onlut de façon magistralela ré-

volution operniienne en établissant les lois de la méanique et de la gravitation

universelle. Il montre que les 3 lois de Kepler sont une onséquene des prinipes

qu'ila établipour leas d'un système à2 orps.

(2)

système à 2 orps. Soient

r ~ 1

et

r ~ 2

les veteurs positionnant les 2 orps dans e référentiel,

m 1

et

m 2

leurs masseset

~r = r ~ 2 − r ~ 1

. On adon :

m 1 r ~ 1 + m 2 r ~ 2

m 1 + m 2 = 0

(1)

On introduit lamasse réduite du système :

µ = m 1 m 2

m 1 + m 2

(2)

etla masse totale

M = m 1 + m 2

. On voitqu'on a:

~

r 1 = − µ m 1 ~r

~

r 2 = µ

m 2 ~r

(3)

L'équationde mouvement s'éritdès lors:

µ d 2 ~r

dt 2 = m 2 d 2 r ~ 2

dt 2 = −m 1 d 2 r ~ 1

dt 2 = −Gm 1 m 2 ~r

r 3 = −GµM ~r

r 3 .

(4)

2.1 La 1ère loi de Kepler sous la loupe de Newton

Newton a démontré que la solution de e problème diérentiel est une onique, un

des foyer de elle-i orrespondant à l'origine du référentiel. Plus préisément, le

foyer est le entre de masse du système quand on dérit le mouvement dans un

référentiel inertiel.Si par ontre, on souhaite dérirele mouvement relatif du orps

2par rapportau orps 1,le foyer de latrajetoire relativeest leorps 1.

Dansunréférentielinertiel,les2orpsorbitentdonautourdeleurentre

de masse.

Il en est ainsi dans le as partiulier du système solaire : le soleil lui aussi est en

orbiteautourdu entrede massedu système.Ilen est égalementainsidans d'autres

systèmes solaires. Ce point est très important et est au oeur de la prinipale

méthode de déouverte de planètes autour d'autres étoiles que notresoleil.

Déterminons par exemple la position du entre de masse du système soleil-terre. Si

l'indie1 orrespond ausoleilet 2à la terre,nous avons :

|~ r 1 |

1 UA = m 2

m 1 + m 2 ≃ m terre

m sol

= 5.9742 × 10 24 kg

1.9891 × 10 30 kg ≈ 3 × 10 6 .

(3)

C'estminusule, e entre de masse se situe àpeine à

450 kmdu entre du soleil

(moinsd'un millièmede son rayon).

Sipar ontre, on onsidère leouple soleil-jupiter,ontrouve :

|~ r 1 | ≃ m jupiter

m sol

d sol−jup = 1.8987 × 10 27 kg

1.9891 × 10 30 kg 5.2 UA = 1.0676 R ⊙ .

Le entre de masse du ouple soleil-jupiter se trouve don au niveau de la surfae

du soleil; le soleilorbite autour de e point en 11.86 ans (période de révolution de

jupiter).

Enn,unexempleimportantenastrophysiqueonerneleétoilesbinaires.Ilapparaît

en eetque prèsde lamoitiédes étoiles viventen oupleplus oumoins rapprohé :

onparle de système binaire.Dans les systèmes binaires,les 2 étoilesont en général

des massesdu mêmeordre de grandeur.Dans e as, leentre de masseest situé en

un point intermédiaire entre les2 étoiles et toutes 2 orbitent autourde e point; il

arrivesouvent que es 2 mouvements soientdétetables.

2.2 Energie totale

Il est utile de rappeler l'expression de l'énergie du système dans le as partiulier

du problème à 2 orps. Notons

v ~ 1

et

v ~ 2

les vitesses dans le référentiel inertiel et

~v = v ~ 2 − v ~ 1

la vitesse relative,

r 1 = | r ~ 1 |

,

v 1 = | v ~ 1 |

, ...

L'énergie inétique totaleest tout simplement:

E c = m 1 v 1 2

2 + m 2 v 2 2

2 = µv 2 2 .

L'énergie potentielle totaleest :

E p = − Gm 1 m 2

r = − GµM r ,

e qui donnepour l'énergieméanique totale :

E = µv 2

2 − GmM r .

Cetteénergie totale est une onstante de mouvement extrêmement utile à détermi-

ner. Tout d'abord, elle permet immédiatement de déterminer omment la vitesse

relativediminue quand la distane entre les 2 orps augmente. En outre, son signe

informe sur letype d'orbite.

Si

E < 0

: lesystème est lié,l'orbiteest une ellipse.

(4)

Si

E = 0

:lesystème n'estpas liéetl'orbiteest une parabole; lavitesse relative

tend vers 0 quand la distane tend vers l'inni.

Si

E > 0

:lesystèmen'estpasliéetl'orbiteestunehyperbole;lavitesserelative

tend vers une valeur stritement positive quand la distane tend vers l'inni.

Ceinousonduitimmédiatementàlanotiondevitessed'éhappement.Leproblème

s'énone ainsi : Soient 2 orps à une distane r, au-delàde quelle vitesse relative le

systèmeà 2 orps n'est-ilplus lié?

Lesystème n'est pas liéssi

E ≥ 0

, àd

1/2v 2 ≥ GM/R

.La réponse est don :

v ≥ q 2GM/R ≡ v e .

(5)

v e = q 2GM/R

est appelée vitesse d'éhappement.

Onpeutégalementonsidérerlavitessedelanement.Plaçonsnousàlasurfaed'un

orps sphérique de rayon R et propulsons un objet dans la diretion tangentielle à

lasphère. A quelle vitesse doit-ilêtre propulsé pour être misen orbite? Laréponse

est tout simplement : à une vitesse

v l = q GM/R

. Pour un mouvement irulaire,

l'aélérationentripède est en eetdonnée par :

ω 2 R = v 2

R = GM

R 2 .

(6)

Onpeutaller plus loindans ladisussion etposer laquestion:quelle sera latraje-

toirepour une vitesse quelonque supérieureà lavitesse de lanement? Laréponse

est : une onique dontl'exentriité est :

e = v 2 R GM − 1 .

Rappelons que

e = 0

orrespond à un erle,

0 < e < 1

à une ellipse,

e = 1

à une

paraboleet

e > 1

à une hyperbole.

2.3 La 2ème loi de Kepler sous la loupe de Newton

Dansun système à2 orps, lemomentinétique total est tout simplement:

~ L = m 1 r ~ 1 × v ~ 1 + m 2 r ~ 2 × v ~ 2 = µ ~r × ~v .

(7)

Comme l'énergie totale, le veteur moment inétique total est une onstante de

mouvement (diretion normaleauplan de l'orbite).

La loi des aires dans le problème à 2 orps est une onséquene immédiate de la

loi de onservation du moment inétique total. Démontrons qu'il en est bien ainsi.

(5)

L'aire

dA

balayée pour un intervalle angulaire

petit est (en ne gardant que les

termesdu 1er ordre):

dA ≃ (1/2)r 2 dθ.

Divisonspar l'intervallede tempsorrespondant etpassons àla limite. On trouve:

dA dt = r 2

2 dθ dt = 1

2 rv θ = 1 2

L

µ = cst.

(8)

2.4 La 3ème loi de Kepler sous la loupe de Newton

Soituneorbitefermée(ellipse)dedemi-grandaxe

a

etsoit

P

lapériodederévolution.

Newtona démontré que:

P 2 = 4π 2 a 3

G(m 1 + m 2 ) .

(9)

C'est quasiment la 3ème loi de Kepler et même bien plus. Dans le as du système

solaire,la masse du soleildomine.largement eton trouve bien quele rapport entre

P 2

et

a 3

est quasi onstant. La loi de Newton va ependant plus loin ar elle nous

donne la valeur de ette onstante :

2 /(GM ⊙ )

dans le as des orbites autour du

soleil.

Cette loi ore un moyen remarquable de détermination des masses en

astrophysique.

Moyennant laonnaissanede la période de révolution d'unastre etdu demi-grand

axe,ellenous permetde déterminer lamasse totale du système. C'est ellequi nous

permet de onnaître :

Lamassedu soleil,onnaissantlesdistanesetpériodesderévolutiondesplanètes

autour du soleil.

La masse des planètes en onnaissant lesdistanes et périodes de révolution des

satellitesautour de elles-i.

La masse des étoiles dans des systèmes binaires, onnaissant leur mouvement

orbital (voir plus loindans le ours).

Lamasse des galaxies autravers de ladéterminationdes vitesses etdes distanes

au entre, faisantapparaître le problème de la masse ahée ...

Il est utile de noter que, dans le as de notre système solaire, la prinipale iner-

titude pour e problème réside dans la onnaissane de la onstante de gravitation

universelleG. Celle-iest onnue ave une préisionrelativede grosso-modo

10 4

à

e jour :

G = 6.673 × 10 11 Nm 2 kg 2 .

GM ⊙

,

GM terre

, ... sont onnus ave une très grande préision relative : de l'ordre

de

10 8

! et ei par simple appliation de la loi harmonique. L'inertitude sur les massesest don dominéepar l'inertitude sur

G

dans lesystème solaire ...

(6)

La terre n'est pas tout à fait sphérique. Elle ressemble plutt à un ellipsoïde de

révolution.Pourquoi?

La rotation de la terre sur elle-même fait apparaître une fore tive dans le réfé-

rentiel en rotation attahé à la terre : la fore entrifuge. Dans le as de la terre,

l'aélérationentrifuge auxples vaut :

ω 2 R = 4π 2 R/P rot 2 = 0.034 m/s 2

Enomparaison,

GM terre /R 2 ≃ 9.81 m/s 2

. L'eet de lafore entrifuge produit dès

lors un léger aplatissement, le rayon équatorial est légèrement supérieur au rayon

polaire.

Nousavons vu queleplande l'équateurest inlinéde 2327'par rapportauplan de

l'éliptique.En onséquene, lesoleilexere un oupleperturbateur sur laterre. Ce

ouple s'exere dans une diretion tendant à ramener le plan de l'équateur dans le

plande l'éliptique.Danslesyllabus, e oupleperturbateur est alulémoyennant

ertaines approximations.

Voyons ii omment l'ation de e ouple perturbateur implique le phénomène de

préession.Posonsleproblèmeommesuit:UnastreAesten rotationsurlui-même

(Période

P R

), moment d'inertie par rapportà son axe de rotation:

I = αM A R 2

et

I 2 = βM A R 2

par rapport à un axe équatorial (pour rappel,

α = 2/5

pour une

sphère).Cet astreest en orbiteirulaireautourd'unastreB (période derévolution

P o

, distane

d

). Le plan de l'équateur de l'astre A fait un angle

i

ave le plan de

l'orbite.Le orpsB exereun oupleperturbateurmoyen sur Adans ladiretionde

ladroite des noeuds :

M = 3/2 (α − β)(GM B /d 3 )M A R 2 sin i cos i .

(10)

Démontrons maintenantlephénomène de préession etalulons sa période.

Pour le hoix des axes, nous prenons les3 veteurorthonormés suivants:

~

e z

:normal à l'éliptique

~

e γ

:diretiondu oupleperturbateur(droite des noeuds).

~

e γ,⊥

: perpendiulaire aux2 autres (

e ~ γ × e γ,⊥ ~ = e ~ z

).

L'équationdu problème est tout simplement:

I d~ω

dt = M e ~ γ ,

(11)

est leveteur vitesse angulairede rotation.On érit :

~ω = ω 0 e ~ z + ω ⊥ e γ,⊥ ~ .

(12)

(7)

Prenonsla dérivée par rapportau temps(

d ~ e z /dt = 0

) :

d~ω

dt = dω 0

dt e ~ z + dω ⊥

dt e γ,⊥ ~ + ω ⊥

d ~ e γ,⊥

dt = M

I e ~ γ .

(13)

Notons

ω p

la fréquene angulaire de préession omptée positivement dans le sens rétrograde(sens dans lequel s'eetuera la préession),nous avons don :

d ~ e γ,⊥

dt = ω p e ~ γ .

(14)

Enidentiant les 2 membres de l'Eq. 13,on trouve immédiatement :

0 /dt = 0

et

dω ⊥ /dt = 0

.

ω 0

et

ω ⊥

sont don onstants : la vitesse de rotation de A n'est pas

modiéeet

reste dans un ne d'ouverture i orientéselon

e ~ z

.

Finalement,le dernierterme nous donne :

ω ⊥ ω p = M

I .

(15)

Lapériode de préession vaut don :

P p = 2πIω ⊥

M .

(16)

Nousavons

ω ⊥ = ω sin i

; utilisant lesexpressions données pour

I

et

M

, nous trou-

vons don :

P p = 4π 2 α P R

2 3

d 3

GM B (α − β) cos ǫ .

(17)

D'autre part, la3ème loide Keplernous donne pour la période de révolution

P o

:

P o 2 = 4π 2 d 3 GM B

.

(18)

On trouvedon nalement pour la période de préession :

P p = P o 2 P R

2 3

α α − β

1

cos ǫ ,

(19)

ouenore :

P p

P o

= 2 3

α α − β

1 cos ǫ

P o

P R

.

(20)

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