Licence — MIMP — Semestre 1 Math 12A : Fondements de l’Analyse 1 R´esum´e du cours Ann´ee 2012-2013 http://math.univ-lille1.fr/∼mimp

Licence — MIMP — Semestre 1

Math 12A : Fondements de l’Analyse 1

R´ esum´ e du cours

Ann´ ee 2012-2013

http://math.univ-lille1.fr/∼mimp

Septembre 2012

Chapter I. Les nombres r´eels et les suites num´eriques 1

1 Les nombres r´eels . . . 1

1.1 Propri´et´es des r´eels . . . 1

1.2 Intervalles de R . . . 2

1.3 Voisinage d’un point . . . 3

2 Borne sup´erieure - Borne inf´erieure . . . 4

2.1 Maximum, Minimum – Majorant, Minorant . . . 4

2.2 Borne sup´erieure - Borne inf´erieure . . . 4

3 Suites num´eriques . . . 6

3.1 D´efinitions . . . 6

3.2 Propri´et´es . . . 7

3.3 Quelques exemples de suites . . . 8

3.4 Th´eor`emes de base sur la convergence. . . 8

Chapter II. Fonctions r´eelles - Limites et continuit´e 11 1 D´efinitions g´en´erales . . . 11

2 Limites . . . 13

2.1 D´efinitions . . . 13

2.2 Propri´et´es . . . 14

3 Continuit´e . . . 16

3.1 D´efinitions et propri´et´es . . . 16

3.2 Prolongement par continuit´e . . . 16

3.3 Application: Suites r´ecurrentes . . . 17

3.4 Image d’un intervalle par une fonction continue. . . 17

Chapter III. Fonctions r´eelles - D´eriv´ees 19 1 D´erivabilit´e . . . 19

1.1 D´eriv´ee en un point . . . 19

1.2 D´eriv´ee `a gauche et `a droite . . . 19

1.3 Propri´et´es . . . 20

2 D´eriv´ees des fonctions r´eciproques . . . 21

3 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur . . . 23

4 Extrema locaux et th´eor`eme de Rolle . . . 24

4.1 Points critiques et extrema locaux . . . 24

4.2 Th´eor`eme de Rolle et r`egle de L’Hˆopital . . . 24

5 Th´eor`eme des accroissements finis . . . 25

1

Chapter I. Les nombres r´ eels et les suites num´ eriques

1. Les nombres r´eels 1.1. Propri´et´es des r´eels

Il existe des nombres (r´eels), qui ne sont pas rationnels. Par exemple un nombre dont le carr´e est 2; le p´erim`etre d’un cercle de rayon 1.

Rrepr´esente l’ensemble des nombres r´eels; intuitivement, on peut identifierR `a une droite “sans trou”.

Remarque 1.1. La construction math´ematique de R n’est pas au programme de cette unit´e.

On sait que

(i) L’ensemble des r´eelsR est muni des op´erations usuelles d’addition et de mul- tiplication.

(ii) Il y a une relation d’ordre dansR.

D´efinition 1.1. SoitE un ensemble non vide etRune relation dans E. Rest une relation d’ordre si elle est

• refl´exive : xRx;

• antisym´etrique : xRy etyRx=⇒x=y;

• transitive : xRy etyRz=⇒xRz.

Une relation d’ordre est not´ee en g´en´eral par “≤”. On dit queEmuni d’une relation d’ordre R est totalement ordonn´e ou queR est une relation d’ordre total dans E, si deux ´el´ements quelconque de E sont comparables, c’est-`a-dire que ∀x, y∈E, on axRy ou yRx.

Il est clair que

• (R,≤) est totalement ordonn´e.

• Soit x, y, z ett des r´eels.

Si x≤y etz≤t, alorsx+z≤y+t.

Si x≤y etz≥0, alorsxz ≤yz et−xz≥ −yz.

Proposition 1.1.

(i) R est Archim´edien,c’est-`a-dire que ∀x∈R,∃n∈N; tel quen > x.

(ii) Soit x∈R, alors il existe un unique k∈Ztel quek≤x < k+ 1.

D´efinition 1.2. L’unique entierkde la proposition pr´ec´edente est appel´e lapartie enti`erede x, qu’on note E(x) ou [x]. E(x) est donc le plus grand entier ≤x.

Pour toutx∈R, on a E(x)≤x < E(x) + 1.

Soit x∈R, laValeur absolue dex, qu’on note|x|, est

|x|=

x six≥0,

−x six <0.

Propri´et´es. Soit x ety des r´eels.

(i) |x| ≥0 et |x|= 0 SSI x= 0.

(ii) |xy|=|x||y|.

(iii) |x+y| ≤ |x|+|y|(in´egalit´e triangulaire).

(iv) |x−y| ≥ ||x| − |y||.

Remarque 1.2. xety ´etant des r´eels (a) −|x| ≤x≤ |x|.

(b)

√

x²=|x|.

(c) |^x_y|= ^|x|_|y| (si y6= 0).

(d) |x−y| repr´esente g´eom´etriquement, la distance entre deux points d’abscisses respectifsxet y.

Exemple 1.1. Tracer le graphe de la fonction f d´efinie surRpar f(x) =|x−1| −2|x+ 1|.

1.2. Intervalles de R

Soit I une partie non vide de R.

• I est un intervalle si pour tout a, b∈I, aveca < b, [a, b]⊂I.

• I est un intervalle ouvert siI est du type: ]a, b[ ou ]a,+∞[ ou ]− ∞, a[ (aet b´etant des r´eels avec a < b).

• SiI est un intervalle ouvert, alors pour toutx∈I, il existe un intervalle ouvert centr´e en x contenu dansI.

Th´eor`eme 1.1. (admis) Tout intervalle ouvert contient une infinit´e de rationnels et une infinit´e d’irrationnels. (Qest dense dans R.)

1. LES NOMBRES R ´EELS 3 1.3. Voisinage d’un point

On note R=R∪ {−∞,+∞}.

D´efinition 1.3. Soit a ∈ R et V une partie non vide de R. On dit que V est un voisinage dea si,

• dans le cas o`uaest fini,V contient un intervalle ouvert contenant aet

• dans le cas o`u a = +∞ (resp. a = −∞), V contient un intervalle du type ]b,+∞[ (resp. ]− ∞, b[), b∈R

2. Borne sup´erieure - Borne inf´erieure

2.1. Maximum, Minimum – Majorant, Minorant

D´efinition 2.1. Soit (E,≤) un ensemble ordonn´e et α un ´el´ement de E. On dit que α est un plus petit (resp. plus grand) ´el´ement de E si ∀x ∈ E, α ≤ x (resp.

∀x∈E, x≤α).

Remarque 2.1.

• Si un plus petit (resp. plus grand) ´el´ement de E existe, il est unique; on l’appelle l’´el´ement minimum (resp. maximum) deE, on le note min(E) (resp.

max(E)).

• Un ensemble peut ne pas avoir d’´el´ement minimum ou maximum. Par exemple E = ]0,1[.

D´efinition 2.2. Soit (E,≤) un ensemble ordonn´e et A une partie deE.

• Soit M ∈E. On dit queM est un majorant deA si∀x∈A, x≤M.

• A est dite major´ee si elle admet un majorant.

• Soit m∈E. On dit quem est un minorant de A si∀x∈A, m≤x.

• A est dite minor´ee si elle admet un minorant.

2.2. Borne sup´erieure - Borne inf´erieure

D´efinition 2.3. Soit (E,≤) un ensemble ordonn´e etAune partie deE. Soitα∈E.

(i) On dit que α est la borne sup´erieure deA si α est un majorant deA et α est le plus petit des majorants deA. Si la borne sup´erieure deAexiste on la note sup(A) ou sup

x∈A

(x) ou sup_x∈A(x) ou supA.

(ii) On dit queα est la borne inf´erieure deA siαest un minorant deA etα est le plus grand des minorants de A. Si la borne inf´erieure de A existe on la note inf(A) ou infx∈A(x) ou inf

x∈A(x) ou infA.

Caract´erisation de la borne sup´erieure dans R : α= sup(A) SSI (i) ∀x∈A, x≤α. (α est un majorant deA)

(ii)∀α⁰ < α,∃x⁰ ∈A, α⁰< x⁰.

(Tous nombre plus petit queα n’est pas un majorant de A) Le deuxi`eme point est ´equivalente `a

(ii)∀ >0,∃x∈A, α− < x.

Exercice. Donner une caract´erisation de la borne inf´erieure.

Exemple 2.1. Soit A= [−1,3[∩Q. Etudier max(A),min(A),sup(A),inf(A).

De mˆeme pourB ={3n:n∈N}etC ={1−_n¹ :n∈N^∗}.

2. BORNE SUP ´ERIEURE - BORNE INF ´ERIEURE 5 Th´eor`eme 2.1. Propri´et´e de la borne sup (admise). Dans R, toute partie non vide et major´ee admet une borne sup´erieure.

(De mˆeme toute partie non vide et minor´ee admet une borne inf´erieure).

3. Suites num´eriques 3.1. D´efinitions

• Suite. Une suite r´eelle est une application u :N→ R. La suite u est not´ee (u_n)n≥0 ou simplement (u_n). u_n est appel´e le terme g´en´eral de la suite.

Il arrive que la suite ne soit d´efinie qu’`a partir d’un certain entiern0, on notera dans ce cas (un)n≥n0 ou (un).

• Suite major´ee, minor´ee, born´ee.

– Une suite (un)n≥n₀ est major´ee si ∃M ∈R, ∀n≥n0, un≤M. – Une suite (un))n≥n0 est minor´ee si ∃m∈R, ∀n≥n0, un≥m.

– Une suite (u_n)n≥n0 est born´ee si elle est major´ee et minor´ee c.`a.d

∃m, M, ∀n≥n₀, m≤u_n≤M; ou

∃M >0, ∀n≥n0, |u_n| ≤M.

• Suite monotone.

– Une suite (u_n)n≥n₀ est croissante (resp. strictement croissante) si

∀n≥n₀, u_n+1 ≥u_n (resp. u_n+1 > u_n).

– Une suite (un)n≥n₀ est d´ecroissante (resp. strictement d´ecroissante) si

∀n≥n₀, u_n+1 ≤u_n (resp. u_n+1 < u_n).

– Une suite (un)n≥n0 est monotone (resp. strictement monotone) si elle est croissante ou d´ecroissante (resp. strictement croissante ou strictement d´ecroissante).

• Limite finie. Soit (u_n) une suite. Soit l un r´eel. On dit que u_n tend vers l (ou que la suite (u_n) a pour limite l) quand n tend vers l’infini et on note

n→+∞lim un=lou simplement limun=l si

∀ >0,∃N∈N, tel que∀n≥N,|u_n−l|< . Exemple. un= _n¹2

• Limite infinie.

• On dit que un tend vers +∞ quand n tend vers l’infini et on note

n→+∞lim u_n= +∞ou simplement limu_n= +∞ si

∀A >0,∃N_A∈N, tel quen≥N_A=⇒u_n> A.

• On dit que un tend vers −∞ quand n tend vers l’infini et on note

n→+∞lim u_n=−∞si

∀A <0,∃N_A∈N,tel que∀n≥N_A, u_n< A.

3. SUITES NUM ´ERIQUES 7

• Convergence. On dit que (u_n) est une suite convergente si elle admet une limite finie quand n tend vers l’infini. Dans le cas contraire (c.`a.d si elle n’admet pas de limite ou elle admet une limite infinie), on dit qu’elle est divergente.

3.2. Propri´et´es

On a les propri´et´es suivantes (letl⁰ ´etant des r´eels).

(i) Si (un) admet une limite quandntend vers l’infini, alors cette limite est unique.

(ii) Si lim

n→+∞un=l, alors lim

n→+∞|u_n|=|l|.

(iii) Si lim

n→+∞un=l et lim

n→+∞vn=l⁰, alors

n→+∞lim (u_n+v_n) =l+l⁰ et lim

n→+∞u_nv_n=ll⁰ (iv) Si lim

n→+∞un=l etl6= 0, alors lim

n→+∞

1 un

= 1 l (v) Si lim

n→+∞u_n= +∞, alors lim

n→+∞

1 u_n = 0.

(vi) Soit (u_n) et (v_n) deux suites telles que u_n≤v_n,∀n≥n₀,(n₀ ´etant un entier).

Si ces deux suites sont convergentes, alors lim

n→+∞un≤ lim

n→+∞vn. Si lim

n→+∞un= +∞, alors lim

n→+∞vn= +∞.

(vii) (Principe d’encadrement) Soit (u_n), (v_n) et (w_n) des suites telles que un≤vn≤wn,∀n≥n1 (n1 ´etant un entier).

Si les suites (u_n) et (w_n) sont convergentes et lim

n→+∞u_n = lim

n→+∞w_n=l, alors (vn) est convergente et lim

n→+∞vn=l.

Formes ind´etermin´ees. +∞ − ∞; 0× ∞; ^∞_∞ ; ⁰₀ ; 1^∞ ;∞⁰ ; 0^∞. Exemple 3.1.

(a) Calculer lim

n→∞

2n²+n−1 3n²−2n+ 5. (b) Calculer lim

n→∞

sinn n . (c) Calculer lim

n→∞(p

n²+n−p

n²−n).

3.3. Quelques exemples de suites (1) Suite g´eom´etrique r´eelle.

C’est une suite (un)n≥0 d´efinie parun=aⁿ, o`u a∈R. On a :

• Sia= 1, u_n= 1 pour toutn≥0.

• Si|a|<1, lim

n→∞u_n= 0.

• Si|a|>1 ou a=−1, (u_n) diverge.

(2) Somme g´eom´etrique.

C’est une suite (un)n≥0 d´efinie parun= 1 +a+a²+· · ·+aⁿ, (a∈R). On a :

• Sia= 1, u_n=n, donc (u_n) diverge.

• Sia6= 1, u_n= ^1−a_1−aⁿ⁺¹ donc

• si |a|<1, lim

n→∞un= 1 1−a ;

• si |a|>1 ou a=−1, (u_n) diverge.

(3) Suite comparable `a une suite g´eom´etrique.

Th´eor`eme 3.1. Soit (un) une suite telle queun6= 0 `a partir d’un certain rang.

On suppose que (|^un+1_u

n |) converge et on pose lim

n→∞|u_n+1 un

|=l(l∈R⁺).

• Sil <1, alors (u_n) converge et lim

n→∞u_n= 0.

• Sil >1, alors lim

n→∞|u_n|= +∞, donc (u_n) diverge.

• Sil= 1, on ne peut rien dire.

On a les mˆemes r´esultats si on remplace dans l’´enonc´e la suite (|^u_uⁿ⁺¹

n |) par la suite (pⁿ

|u_n|).

(4) Approximation d’un r´eel par des rationnels.

Th´eor`eme 3.2. Soit α un r´eel et (u_n) la suite d´efinie paru_n= ^E(α10₁₀nⁿ⁾, alors un∈Qet limn→∞un=α.

3.4. Th´eor`emes de base sur la convergence.

(1) Condition n´ecessaire sur la convergence

Proposition 3.1. Toute suite convergente est born´ee.

(2) Suites monotones.

3. SUITES NUM ´ERIQUES 9 Th´eor`eme 3.3. (preuve `a partir de la propri´et´e de la borne sup).

Toute suite de r´eels croissante et major´ee (resp. d´ecroissante et minor´ee) est convergente.

Exercice. Montrer que toute suite monotone admet une limite (finie ou in- finie).

Exemple 3.2. On ´etudie la suite (un) d´efinie parun= (1 +1

n)ⁿpourn≥1.

(3) Suites adjacentes.

D´efinition 3.1. Soit (un)n≥n₀ et (vn)n≥n₀ deux suites. On dit qu’elles sont adjacentes si

(i) (un) est croissante et (vn) est d´ecroissante.

(ii) ∀n≥n₀, u_n≤v_n. (iii) lim

n→+∞(vn−un) = 0.

Th´eor`eme 3.4. Soit (un) et (vn) deux suites adjacentes, alors elles convergent et admettent la mˆeme limite.

Exemple 3.3. On consid`ere les suites (un) et (vn) d´efinies par : pour tout entier naturel strictement positif n,u_n=Pn

k=1 1

k² etv_n=u_n+_n² −_n¹₂. (a) Montrer que la suite (vn) est d´ecroissante.

(b) Montrer que les suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes.

(c) Calculer u4 etv4. En d´eduire un encadrement de la limite commune`de (u_n) et (v_n).

(4) Suites extraites.

D´efinition 3.2. Soit (u_n) une suite, une suite extraite (ou une sous-suite) de (un) est une suite de la forme (u_φ(n)), o`u φ : N → N est une application strictement croissante.

Th´eor`eme 3.5. Soit (un) une suite convergente de limitelquandntend vers l’infini, alors toute suite extraite est convergente et a la mˆeme limite.

Corollaire 3.1. Soit (un) une suite. Si (vn) et (wn) sont des suites extraites qui divergent ou qui n’admettent pas la mˆeme limite, alors (u_n) diverge.

Exemple 3.4. u_n= (−1)ⁿ

Th´eor`eme 3.6. Soit (un) une suite. Si les suites (u2n) et (u2n+1) convergent et admettent la mˆeme limitel, alors la suite (u_n) converge et admet l comme limite.

Exercice. Soit (u_n) une suite telle que les suites extraites (u_2n),(u_2n+1) et (u3n) convergent. Montrer que (un) est convergente.

Th´eor`eme 3.7. (Bolzano - Weierstrass) (preuve par dichotomie). De toute suite born´ee on peut extraire une suite convergente.

(5) Suites r´ecurrentes.

Faire quelques exemples d’´etude de convergence et de repr´esentation graphique (retour aux suites r´ecurrentes dans le chapitre “continuit´e”.

Exemple 3.5. On consid`ere la suite (un) d´efinie paru0 = 3 et pour toutn∈N^∗ : un= ^un−1+2n_n2 ²⁻².

1. Montrer que pour toutn∈N,u_n≥2.

2. Montrer que la suite (u_n) est d´ecroissante.

3. Montrer que la suite (un) est convergente et calculer sa limite.

Exemple 3.6. Soit la suite donn´ee paru₀ = 0, u_n+1= _3u^un+2

n+4. 1. Montrer que la suite est bien d´efinie.

2. D´eterminer les solutions de l’´equationx= _3x+4^x+2.

3. Montrer que pour l’une des solutions`de l’´equation ci-dessus, il existek∈]0,1[

tel que ∀n≥0, |u_n+1−`| ≤k|u<sub>n</sub>−`|.

4. D´emontrer que|u_n−`| ≤k<sup>n</sup>|u<sub>0</sub>−`|pour toutn≥0. Conclure.

11

Chapter II. Fonctions r´ eelles - Limites et continuit´ e

1. D´efinitions g´en´erales

D´efinition 1.1. UneFonctionde la variable r´eelle `a valeurs r´eelles est une appli- cationf :U →R, o`u U est une partie deR. En g´en´eral,U est un intervalle ou une r´eunion d’intervalles deR. On appelleU le domaine de d´efinition def et on le note D_f.

D´efinition 1.2. Soitf :E→F (E et F ´etant des parties deR) une fonction.

• Injection : f est injective si∀x∈E,∀x⁰ ∈E,(f(x) =f(x⁰))⇒(x=x⁰).

• Surjection : f est surjective si f(E) =F, c.`a.d

∀y∈F,∃x∈E; tel quey =f(x).

(Attention `a l’importance de l’ordre des quantificateurs !)

• Bijection : f est bijective sif est `a la fois injective et surjective.

Ceci revient `a dire que pour tout ´el´ement y de F il existe un unique´el´ement x de E tel quey=f(x).

D´efinition 1.3. Soit f :I → J. On dit que f admet une fonction r´eciproque s’il existeg:J →I telle quef ◦g=Id_J etg◦f =Id_I.

On dit alors queg est la fonction r´eciproque de f et on noteg=f⁻¹.

Proposition 1.1. Soit f une fonction d´efinie sur I, soitJ =f(I). Alors f admet une r´eciproque si et seulement si f est bijective.

Th´eor`eme 1.1. Sif est strictement monotone sur I, alors f r´ealise une bijection de I sur f(I). Alors la fonction r´eciproque f<sup>−1</sup> de f est l’application de J dans I qui `a un ´el´ement y de J associe l’unique ´el´ement x de I v´erifiant y=f(x).

Exemple 1.1. 1)f(x) =ax+b(a6= 0). f :R→R. 2)f(x) =x².

Remarque 1.1. Soit G (resp. G⁰) le graphe de f (resp. de f⁻¹) dans un rep`ere norm´e, alors les deux graphes sont sym´etriques par rapport `a la 1`ere bissectrice.

Proposition 1.2. Soitf :E →F etg:F →Gdeux fonctions r´eelles. Sig◦f est injective (resp. surjective), alorsf est injective (resp. gest surjective).

Proposition 1.3. Soitf :E →F etg:F →Gdeux fonctions r´eelles. Alors, Si f etgsont injectives (resp. surjectives), g◦f est injective (resp. surjective).

D´efinition 1.4. Fonctions monotones.

Soit f :U →R une fonction.

• f est croissante (resp. strictement croissante) surU si

∀x∈U,∀y∈U,(x≥y)⇒(f(x)≥f(y))

(resp. ∀x∈U,∀y∈U,(x > y)⇒(f(x)> f(y))).

• f est d´ecroissante (resp. strictement d´ecroissante) sur U si

∀x∈U,∀y∈U,(x≥y)⇒(f(x)≤f(y))

(resp. ∀x∈U,∀y∈U,(x > y)⇒(f(x)< f(y))).

• f est monotone (resp. strictement monotone) surU sifest croissante surU ou si f est d´ecroissante surU (resp. strictement croissante sur U ou strictement d´ecroissante surU).

D´efinition 1.5. Fonctions major´ees, minor´ees, born´ees.

Soit f :U →R une fonction.

• f est major´ee surU si ∃M ∈R,∀x∈U, f(x)≤M.

• f est minor´ee surU si ∃m∈R,∀x∈U, f(x)≥m.

• f est born´ee sur U si f est major´ee et minor´ee ou

∃m, M tel que∀x∈U, m≤f(x)≤M. ou

∃M >0 tel que∀x∈U, |f(x)| ≤M. D´efinition 1.6. Fonctions paires, impaires.

Soitf :I →Rune fonction, o`uI est un intervalle centr´e en 0 deR, on dit quef est paire (resp. impaire) sif(−x) =f(x) (resp. f(−x) =−f(x)) pour toutx∈I.

D´efinition 1.7. Fonctions p´eriodiques. Soitf :R→Rune fonction, on dit que f est p´eriodique de p´eriode T (T ´etant un r´eel >0) si∀x∈R, f(x+T) =f(x).

D´efinition 1.8. Op´erations sur les fonctions.

Soit f :U →R etg:U →Rdeux fonctions.

• La somme de f etg est la fonction f +g : U → R d´efinie par (f +g)(x) = f(x) +g(x).

• La multiplication de la fonction f par un r´eel λ est la fonction λf :U → R d´efinie par (λf)(x) =λf(x).

• Le produit des fonctionsf etgest la fonctionf g:U →Rd´efinie par (f g)(x) = f(x)g(x).

2. LIMITES 13 2. Limites

2.1. D´efinitions

D´efinition 2.1. Limite en un point fini.

Soit a ∈ R, U un intervalle ouvert contenant a et f une fonction d´efinie sur U\{a}.

(i) Soitl un r´eel. On dit quef(x) tend versl (ouf a pour limite l) quandxtend vers aet on note lim

x→af(x) =l si

• f(x) est aussi proche que l’on veut del, pourvu quex soit suffisamment proche de a.

• Autrement dit, pour tout intervalle ouvert J contenant l, il existe un intervalle ouvertI (qui d´epend deJ) contenanta, tel que six appartient

`

a I∩U alorsf(x) appartient `a J.

• Ceci est ´equivalent `a : pour tout intervalle ouvert J centr´e en l, il existe un intervalle ouvertI (qui d´epend deJ) centr´e enatel que sixappartient

`

a I∩U alorsf(x) appartient `a J.

• Ceci s’´ecrit :

∀ >0,∃δ>0,∀x∈U,(0<|x−a|< δ)⇒(|f(x)−l|< ).

(ii) On dit quef a pour limite +∞quandxtend versaet on note lim

x→af(x) = +∞

si

• f(x) est aussi grand que l’on veut, pourvu quexsoit suffisamment proche dea. C.`a.d que pour tout intervalle du typeJ =]A,+∞[ (A´etant un r´eel qui peut ˆetre consid´er´e > 0), il existe un intervalle I (qui d´epend de J) centr´e en a, tel que si x appartient `a I∩U alorsf(x) appartient `a J.

• Ceci s’´ecrit :

∀A >0,∃α_A>0,∀x∈U,(0<|x−a|< α_A)⇒(f(x)> A).

(iii) On dit quef a pour limite−∞quandxtend versaet on note lim

x→af(x) =−∞

si pour tout intervalle du type J =]− ∞, A[ (A ´etant un r´eel qui peut ˆetre consid´er´e <0), il existe un intervalleI (qui d´epend de J) centr´e ena, tel que si xappartient `a I∩U alorsf(x) appartient `aJ. Ceci s’´ecrit :

∀A <0,∃α_A>0,∀x∈I,(0<|x−a|< αA)⇒(f(x)< A).

D´efinition 2.2. Limite `a gauche et `a droite.

Soit a ∈ R, I un intervalle ouvert contenant a et f une fonction d´efinie, sur I\{a}.

• Soit l un r´eel. On dit que f a pour limite l quand x tend vers a`a gauche et on note lim

x→a⁻f(x) =l si

∀ >0,∃α>0,∀x∈I,(a−α< x < a)⇒(|f(x)−l|< ).

• Soit lun r´eel. On dit quef a pour limitelquandx tend vers a`a droite et on note lim

x→a⁺f(x) =l si

∀ >0,∃α>0,∀x∈I,(a < x < a+α)⇒(|f(x)−l|< ).

Exercices. Ecrire la d´efinition de lim

x→a⁻

f(x) = +∞ et lim

x→a⁺f(x) =−∞.

D´efinition 2.3. Limite en +∞.

Soit I =]x₀,+∞[, x₀ ´etant un r´eel et f une fonction d´efinie sur I.

• Soit l un r´eel. On dit quef a pour limitel quandx tend vers +∞ et on note

x→+∞lim f(x) =l si

∀ >0,∃A >0,∀x∈I,(x > A)⇒(|f(x)−l|< ).

• On dit quef a pour limite +∞quandxtend vers +∞et on note lim

x→+∞f(x) = +∞ si

∀A >0,∃B_A>0,∀x∈I,(x > BA)⇒(f(x)> A).

Exemple 2.1. limx→+∞ 1

x² = 0,et limx→+∞lnx= +∞.

D´efinition 2.4. Limite en −∞.

Soit I =]− ∞, a[, a´etant un r´eel et f une fonction d´efinie surI.

• Soit l un r´eel. On dit quef a pour limitel quandx tend vers−∞et on note

x→−∞lim f(x) =l si

∀ >0,∃A <0,∀x∈I,(x < A)⇒(|f(x)−l|< ).

• On dit quef a pour limite +∞quandxtend vers−∞et on note lim

x→−∞f(x) = +∞ si

∀A >0,∃B_A<0,∀x∈I,(x < B_A)⇒(f(x)> A).

Exercices. Ecrire la d´efinition de limx→+∞f(x) =−∞ et limx→−∞f(x) =−∞.

Faire des exercices pour manipuler la limite avec les. 2.2. Propri´et´es

Proposition 2.1. (Unicit´e de la limite)

Soit a ∈ R := R∪ {−∞,+∞}. Si f admet une limite (finie ou infinie) en un point (fini ou infini), alors cette limite est unique.

Proposition 2.2. (Op´erations sur les limites) Soienta∈R,l, l⁰∈Retf, g des fonctions r´eelles.

Somme, produit.

• Si lim

x→af(x) =let lim

x→ag(x) =l⁰, alors

x→alim(f +g)(x) =l+l⁰ et lim

x→a(f g)(x) =ll⁰

2. LIMITES 15

• Si lim

x→af(x) =l, avec l >0 et lim

x→ag(x) = +∞, alors lim

x→a(f g)(x) = +∞.

Quotient.

• Si lim

x→af(x) =letl6= 0, alors lim

x→a

1 f(x) = 1

l.

• Si lim

x→af(x) =±∞, alors lim

x→a

1 f(x) = 0.

Compos´ee.

Si lim

x→af(x) =l et lim

x→lg(x) =l⁰, alors lim

x→ag◦f(x) =l⁰. Formes ind´etermin´ees. +∞ − ∞; 0× ∞; ∞

∞ ; 0

0 ; 1^∞ ;∞⁰ ; 0^∞. Exemple 2.2. Calculer les limites

limx→0x²−2x+3

2x³+x−5, limx→∞ 2x²+x−2

3x²+2x+2, limx→+∞sin_x¹.

Proposition 2.3. (Passage `a la limite dans des in´egalit´es) Soient a ∈ R et l, l⁰ ∈R. Soient f etg deux fonctions tellesf ≤g au voisinage de a.

Si lim

x→af(x) =l et lim

x→ag(x) =l⁰, alorsl≤l⁰. Si lim

x→af(x) = +∞, alors lim

x→ag(x) = +∞.

Si lim

x→ag(x) =−∞, alors lim

x→af(x) =−∞.

Proposition 2.4. (Principe d’encadrement)

Soitl etadeux ´el´ements de R. Soitf,g eth des fonctions telles que f ≤g≤h au voisinage deaet lim

x→af(x) = lim

x→ah(x) =l, alors lim

x→ag(x) =l.

Exemple 2.3. limx→0xsin_x¹.

3. Continuit´e

3.1. D´efinitions et propri´et´es

D´efinition 3.1. Soitf :I →Rune fonction d´efinie sur un intervalle ouvert I.

• Soit a∈I. On dit quef est continue en asi lim

x→af(x) =f(a).

• On dit que f est continue surI si f est continue en tout point de I.

• Sif n’est pas continue en un pointadeI, on dit qu’elle est discontinue en a.

Proposition 3.1. Soitf :I → Rune fonction continue en un pointa∈I,I ´etant un intervalle ouvert deR, telle que f(a) 6= 0, alors il existe un intervalle ouvert V contenantatel quef(x)6= 0,∀x∈V.

Proposition 3.2. (Somme, produit, inverse)Soit f :I →Retg:I →R deux fonctions continues en un pointad’un intervalle I. Alors,

(i) les fonctions f+g,f×g sont continues en a;

(ii) si g(a)6= 0, ¹_g est continue en a.

Proposition 3.3. (Compos´ee) Soit I un intervalle et a∈ I. Soit f : I → R et g:J →Rdeux fonctions telles quef(I)⊂J. Sif est continue enaetgest continue enf(a), alors g◦f est continue en a.

Proposition 3.4. Soit f :I → Rune fonction d´efinie sur un intervalle I eta∈I.

Alors, f est continue en a SSI pour toute suite (u_n) qui converge vers a, la suite (f(un)) converge vers f(a).

Exemple 3.1. Soita, bdeux nombres r´eels. On consi`ere la fonctionf d´efinie surR par

f(x) =













 sin²x

x si x <0;

ax+b si 0≤x≤2;

2asin(π

4x) si x >2.

D´eterminer les valeurs de aetb telles quef soit continue sur R.

3.2. Prolongement par continuit´e

Soit a∈R,I un intervalle contenanta, etf :I\{a} →R une fonction.

• On dit que f admet un prolongement par continuit´e enasi lim

x→af(x) est finie.

3. CONTINUIT ´E 17

• On suppose que lim

x→af(x) =l(l∈R). Soit la fonction ˜f d´efinie par f˜=

f(x) si x∈I\{a}

l si x=a

Alors, ˜f est continue en a. La fonction ˜f est appel´ee le prolongement par continuit´e de f en a.

Exemple 3.2. f(x) =xsin¹_x pour x6= 0.

3.3. Application: Suites r´ecurrentes

Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction continue sur un intervale [a, b], a < b et (un)n≥0 une suite d´efinie par: u0 ∈[a, b] etun+1=f(un), pour n≥0. Alors,

(i) Si (un) converge vers un r´eell, alorsl∈[a, b] etl=f(l).

(ii) Sif est croissante, (u_n) est convergente.

(iii) Sif est d´ecroissante, les suites (u_2n) et (u_2n+1) sont convergentes.

Attention `a l’importance de la condition f([a, b])⊂[a, b].

Exemple 3.3. Soitf la fonction d´efinie surRparf(x) = ¹₉x³+ 1. On consid`ere la suite (u_n) d´efinie par u₀ = 0, et pour tout entiern∈N, u_n+1 =f(u_n).

1. Montrer que pour toutnon aun≥0.

2. Etudier les variations de f sur [0,+∞[, et en d´eduire que la suite (un) est croissante.

3. On pose g(x) =f(x)−x pour tout x positif. Etudier les variations de g sur [0,+∞[ et en d´eduire que g admet deux racines dans [0,+∞[. On les notera α et β avec α < β.

4. Montrer que pour toutx∈[0, α], on a f(x)∈[0, α].

5. En d´eduire que la suite (un) est convergente et que limn→∞un=α.

3.4. Image d’un intervalle par une fonction continue.

Th´eor`eme 3.1. Soit f : [a, b] → R une fonction continue ([a, b] ´etant un inter- valle ferm´e born´e). Alors, f est born´ee et atteint dans [a, b] sa borne sup´erieure et inf´erieure. C’est-`a-dire qu’il existe deux r´eelsm etM tel que

(i) m≤f(x)≤M pour toutx∈[a, b];

(ii) il existe c₁∈[a, b], c₂ ∈[a, b] tels quef(c₁) =met f(c₂) =M.

Th´eor`eme 3.2. (des valeurs interm´ediaires) Soit f : [a, b] → R une fonction continue et α un r´eel compris entre f(a) et f(b). Alors, il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) =α.

Corollaire 3.1. Soitf : [a, b]→Rune fonction continue. Si f(a)f(b)<0, alors il existec∈]a, b[ tel quef(c) = 0.

Exercice. Soit P un polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e impair. Montrer que P admet au moins une racine r´eelle.

Corollaire 3.2. Soit I un intervalle etf :I → Rune fonction. Si f est continue surI, alors f(I) est un intervalle.

Corollaire 3.3. Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Alors f([a, b]) est un segment (c.`a.d un intervalle ferm´e born´e).

Th´eor`eme 3.3. (Continuit´e des Fonctions r´eciproques) Soit I un intervalle etf :I → Rune fonction continue et strictement monotone sur I. Alors, f ´etablit une bijection deI sur l’intervalle J =f(I) et l’application r´eciproque not´eef⁻¹ de J dansI est continue et admet la mˆeme monotonie quef.

Remarque 3.1. On reviendra sur les fonctions r´eciproques dans le chapitre suivant.

19

Chapter III. Fonctions r´ eelles - D´ eriv´ ees

1. D´erivabilit´e

1.1. D´eriv´ee en un point

D´efinition 1.1. Soitf :I →Rune fonction d´efinie sur un intervalle ouvert I.

(i) Soit x0 ∈ I, on dit que f est d´erivable en x0 si lim

x→x0

f(x)−f(x0) x−x0

est finie.

Dans ce cas, ce r´eel est appel´e la d´eriv´ee de f en x₀, qu’on note f⁰(x₀) ou df

dx(x₀).

(ii) On dit que f est d´erivable surI sif est d´erivable en tout point deI. Dans ce cas, on appelle d´eriv´ee def la fonction qui `a tout pointx de I associef⁰(x), cette fonction est not´eef⁰ ou _dx^df.

Exemple 1.1. f(x) =x². f(x) = sinx.

Interpr´etation g´eom´etrique. Soit C le graphe de f et M0 etM deux points de C de coordonn´ees (x₀, f(x₀)) et (x, f(x)) respectivement. La droite (M₀M) a pour pente ^f(x)−f(x_x−x ⁰⁾

0 . Alors, f est d´erivable en x0 et la d´eriv´ee de f en x0 est l (l ∈R) ssi quandx tend vers x₀ la droite (M₀M) a pour position limite la droite passant parM0 et de pente l. Cette droite est appel´ee la tangente `aC en M0.

Sif est d´erivable enx0, l’´equation de la tangente `a C en M0 est y =f(x₀) + (x−x₀)f⁰(x₀).

Autres ´ecritures de la d´eriv´ee.

(i) f est d´erivable en x0 SSI lim

h→0

f(x0+h)−f(x0)

h est finie.

(ii) f est d´erivable en x0 s’il existel∈R et une fonctiontels que f(x) =f(x₀) + (x−x₀)l+ (x−x₀)(x),

pour tout x appartenant `a un voisinage de x<sub>0</sub>, o`u (x) est une fonction qui v´erifie lim

x→x0

(x) = 0.

Proposition 1.1. Soitf :I →R une fonction d´efinie sur un intervalle ouvertI et x0 un point deI. Si f est d´erivable enx0, alorsf est continue enx0. La r´eciproque est fausse.

1.2. D´eriv´ee `a gauche et `a droite

Soit f :I → Rune fonction d´efinie sur un intervalle I etx₀ un point de I. On dit quef est d´erivable `a gauche (resp. `a droite) enx₀ sif est d´efinie `a gauche (resp.

`

a droite) de x₀ et lim

x→x⁻₀

f(x)−f(x₀) x−x0

(resp. lim

x→x⁺₀

f(x)−f(x₀) x−x0

) est finie. Dans ce cas ce r´eel est not´e f_g⁰(x0) (resp. f_d⁰(x0)).

1.3. Propri´et´es

Proposition 1.2. (D´eriv´ee d’une somme, d’un produit par un r´eel et d’un produit)

Soitf etgdeux fonctions d´erivables en un pointx0etλ∈R. Alors, les fonctions f+g, λf etf gsont d´erivables enx₀ et on a :

(f +g)⁰(x0) =f⁰(x0) +g⁰(x0), (λf)⁰(x0) =λf⁰(x0),

(f g)⁰(x₀) =f⁰(x₀)g(x₀) +f(x₀)g⁰(x₀).

Proposition 1.3. (D´eriv´ee de l’inverse d’une fonction)

Soitf une fonction d´erivable en un point x0. On suppose que f(x0)6= 0. Alors, la fonction ¹_f est d´erivable enx₀ et (1

f)⁰(x₀) =− f⁰(x0) (f(x₀))².

Corollaire 1.1. Soitf etg deux fonctions d´erivables en un point x₀. On suppose queg(x₀)6= 0. Alors, la fonction f

g est d´erivable enx₀ et (f

g)⁰(x0) =f⁰(x0)g(x0)−f(x0)g⁰(x0) (g(x0))² .

Proposition 1.4. (D´eriv´ee de la compos´ee de deux fonctions)

Soitf :I →Retg:J →Rdeux fonctions telles que f(I)⊂J. On suppose que f est d´erivable en un point x₀ ∈I et que g est d´erivable en f(x₀). Alors, g◦f est d´erivable enx0 et (g◦f)⁰(x0) =g⁰(f(x0))f⁰(x0).

D´eriv´ees des fonctions usuelles

(x^α)⁰ =αx^α−1, α∈R, (e^x)⁰ =e^x (ln|x|)⁰ = ¹_x, (sinx)⁰ = cosx, (cosx)⁰ =−sinx, (tanx)⁰ = 1

cos²x, (chx)⁰ = shx= e^x−e^−x

2 , (shx)⁰= chx= e^x+e^−x

2 .

2. D ´ERIV ´EES DES FONCTIONS R ´ECIPROQUES 21 2. D´eriv´ees des fonctions r´eciproques

Th´eor`eme 2.1. (D´eriv´ee de la fonction r´eciproque)Soit f :I →J, continue, bijective. (Alors f⁻¹ est continue sur J). Soit a∈ I, alors b= f(a) ∈ J. Si f est d´erivable enaetf⁰(a)6= 0, alors f⁻¹ est d´erivable enbet (f⁻¹)⁰(b) = 1

f⁰(a). (a) Fonction exponentielle. f(x) = lnx : ]0,+∞[→ R, strictement croissante,

f⁻¹ = exp. (f⁻¹)⁰(y) = e^y. On a y = lnx ⇔ x = e^y et e^y est stricetement croissante surR.

(b) Fonction arcsinus. f(x) = sinx, monotone sur [−^π₂,^π₂]. On notef⁻¹ = arcsin d´efinie sur [−1,1] d’image [−^π₂,^π₂]. f⁰(x) = cosx 6= 0 sur ]−^π₂,^π₂[, donc arcsin est d´erivable sur ]−1,1[ et arcsin⁰(x) = ^{√ 1}

1−x².

(c) Fonction arccosinus. f(x) = cosx, monotone sur [0, π]. On note f⁻¹ = arccos, d´efinie sur [−1,1] d’image [0, π], d´erivable sur ]−1,1[ et arccos⁰(x) =

−^{√ 1}

1−x².

(d) Fonction arctangente. f(x) = tanx, bijective de ]− ^π₂,^π₂[ sur Rstrictement croissante. On notef⁻¹ = arctan :R→]−^π₂,^π₂[, d´erivable surRet arctan⁰(x) =

1 1+x².

(e) Fonction racine ni`eme. Soitnun entier ≥1. La fonction x→xⁿ est d´efinie et continue sur R.

• Si n est pair, elle est strictement croissante sur [0,+∞[; donc bijective de [0,+∞[ sur [0,+∞[, elle admet une fonction r´eciproque appel´ee racine n-ı`eme et not´ee x → √ⁿ

x, d´efinie et continue sur [0,+∞[, d´erivable sur ]0,+∞[ avec (√ⁿ

x)⁰= _n¹xⁿ¹⁻¹.

• si n est impair (n 6= 1), elle est strictement croissante sur R. Elle admet donc une fonction r´eciproque appel´ee racine n-ı`eme et not´ee x → √ⁿ

x, d´efinie et continue surR, d´erivable sur R^∗, avec (√ⁿ

x)⁰ = _n¹x¹ⁿ⁻¹.

(f) Fonction sinus hyperbolique. f(x) = shx. f⁰(x) = chx > 0 sur R, f est strictement croissante sur R, donc bijective de Rsur R. f admet une fonction r´eciproque que l’on note f⁻¹ = argsh : R → R. Elle est d´erivable sur R. Si x= shy, alors argsh⁰(x) = _f0¹(y) = _chy¹ , donc argsh⁰(x) = ^{√ 1}

x²+1. Pourx∈R, on peut aussi montrer que argsh(x) = ln(x+√

x²+ 1).

(g) Fonction cosinus hyperbolique. f(x) = chx. f⁰(x) = shx est positive sur [0,+∞[ et n´egative sur ]− ∞,0]. Doncf est strictement croissantesur [0,+∞[, et bijective de [0,+∞[ sur [1,+∞[. On notef⁻¹= argch la fonction r´eciproque.

Elle est d´efinie sur [1,+∞[ d’image [0,+∞[. Elle d´erivalbe sur ]1,+∞[ et on a argch⁰(x) = ^{√ 1}

x²−1.

Pourx≥1, on a argch(x) = ln(x+√

x²−1).

(h) Fonction tangente hyperbolique. f(x) = thx= ^shx_chx = ^e_e^xx^−e+e^−x−x, bijective de Rsur ]−1,1[ strictement croissante. On notef⁻¹= argth, d´erivable sur ]−1,1[

et argth⁰(x) = _1−x¹ 2.

Pourx∈]−1,1[, argthx= ¹₂ln^1+x_1−x.

3. D ´ERIV ´EES D’ORDRE SUP ´ERIEUR 23 3. D´eriv´ees d’ordre sup´erieur

D´efinition 3.1. Soitf :I →Rune fonction d´efinie sur un intervalle I.

(i) On suppose que f est d´erivable sur I et soit f⁰ :I → R sa fonction d´eriv´ee.

Si la fonction f⁰ est d´erivable surI, on notera sa fonction d´eriv´eef⁰⁰ ou f⁽²⁾, qu’on appellera la d´eriv´ee seconde def, etc. Ces d´eriv´ees successives (si elles existent) se notent f⁰, f⁰⁰, f⁽³⁾,· · ·, f⁽ⁿ⁾, . . . ou _dx^df,^d_dx^2f2, . . . ,^d_dx^nfn,· · · La fonction f⁽ⁿ⁾ est appel´ee d´eriv´een^i`eme de f.

(ii) On dit quef estnfois d´erivable sur I si elle admet une d´eriv´een^{i`eme</sup> surI. (iii) On dit que f est de classe C<sup>n</sup> sur I si f admet une d´eriv´ee n<sup>i`eme} sur I et si

cette d´eriv´een^i`eme est continue sur I.

(iv) On dit que f est de classe C^∞ sur I si f est ind´efiniment d´erivable sur I (f est de classeCⁿ surI pour tout entiern).

Formule de Leibniz. Soit f etgdeux fonctions nfois d´erivables sur un intervalle I (n´etant un entier ≥1). Alors, la fonction f gest nfois d´erivable sur I et on a

(f g)⁽ⁿ⁾=

n

X

k=0

C_n^kf^(k)g^(n−k), avec la convention f⁽⁰⁾ =f.

4. Extrema locaux et th´eor`eme de Rolle 4.1. Points critiques et extrema locaux D´efinition 4.1.

• Point critique : Soitf une fonction d´efinie sur un intervalleI etx0∈I. On dit que x0 est un point critique de f sif⁰(x0) = 0.

• minimum ou maximum local : Soitf une fonction d´efinie sur un intervalle I et x₀ ∈ I. On dit que x₀ est un point minimum (resp. maximum) local s’il exite δ > 0 tel que f(x₀) soit le mimimum (resp. maximum) de f sur ]x0−δ, x0+δ[.

• extremum local : minimum ou maximum local.

Th´eor`eme 4.1. Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I, x₀ ∈ I et il exite δ >0 tel que ]x0−δ, x0+δ[⊂I. Si f admet un extremum en x0, alorsf⁰(x0) = 0.

Remarque 4.1. Pour d´eterminer le maximum et le minimum d’un fonction con- tinue sur un intervalle [a, b] (ferm´e et born´e), on d´etermine les points critiques et on compare les valeurs en ces points avec les valeursf(a),f(b).

4.2. Th´eor`eme de Rolle et r`egle de L’Hˆopital

Th´eor`eme 4.2. (Th´eor`eme de Rolle) Soit a < b des r´eels et f : [a, b]→ Rune fonction. On suppose que :

• f est continue sur [a, b],

• f est d´erivable sur ]a, b[,

• f(a) =f(b).

Alors∃c∈]a, b[ tel quef⁰(c) = 0.

Interpr´etation g´eom´etrique. Soit C le graphe de f. Sous les hypoth`eses du th´eor`eme, il existe un r´eel c ∈]a, b[ tel que la tangente `a C au point (c, f(c)) est horizontale.

Corollaire 4.1. (R`egle de L’Hˆopital) Soit f et g deux fonctions d´erivables sur un intervalleI et soitx0 un point deI. On suppose que

f(x₀) =g(x₀) = 0, et pour tout x∈I\{x₀},g(x)6= 0 etg⁰(x)6= 0.

Si lim

x→x₀

f⁰(x)

g⁰(x) =l, (l∈R), alors lim

x→x₀

f(x) g(x) =l.

Remarque 4.2. La r`egle de l’Hˆopital est valable aussi pourx0=±∞et les formes ind´etermin´ees ⁰₀,^∞_∞.

Exemple 4.1. Calculer lim

x→0

arcsinx−x x³ .

5. TH ´EOR `EME DES ACCROISSEMENTS FINIS 25 5. Th´eor`eme des accroissements finis

Th´eor`eme 5.1. (Th´eor`eme des accroissements finis) Soit f une fonction de l’intervalle [a, b] dansR v´erifiant les conditions suivantes :

• f est continue sur [a, b],

• f est d´erivable sur ]a, b[,

Alors il existec∈]a, b[ tel que f⁰(c) = ^f(b)−f_b−a^(a).

Interpr´etation g´eom´etrique. Soit C le graphe de f. Sous les hypoth`eses du th´eor`eme, il existe un r´eel c ∈]a, b[ tel que la tangente `a C au point (c, f(c)) est parall`ele `a la droite (AB), o`u A (resp. B) est le point de coordonn´ees (a, f(a)) (resp. (b, f(b))).

Corollaire 5.1. Soitf : [a, b]→Rune fonction continue sur un intervalle [a, b] (a <

b) et d´erivable sur ]a, b[. Alors,

(i) f est constante sur [a, b] ssi f⁰(x) = 0,∀x∈]a, b[.

(ii) f est croissante (resp. d´ecroissante) sur [a, b] ssi f⁰(x)≥0,∀x∈]a, b[

(resp. f⁰(x)≤0,∀x∈]a, b[).

Corollaire 5.2. Si f⁰(x) > 0, ∀x ∈]a, b[ (resp. f⁰(x) < 0,∀x ∈]a, b[), alors f est strictement croissante (resp. strictement d´ecroissante) sur [a, b].

Corollaire 5.3. (In´egalit´e des accroissements finis)

Soitf une fonction d´erivable sur un intervalle ouvert I. On suppose qu’il existe un r´eelM >0 tel que|f⁰(x)| ≤M, ∀x∈I. Alors,∀x, y∈I,|f(x)−f(y)| ≤M|x−y|.

Exemple 5.1.

(a) Montrer que|sinx−siny| ≤ |x−y|.

(b) Pour toutt >0, on a ln(1 +t)−lnt < ¹_t et en d´eduire que pour toutx >0, on axln(1 +¹_x)<1.