N=0,6=0,666... suiv - - l. - 2. - - x

t.

Numération C2

Leçon 10: Nombres rationnels (suite)

Activités Activité I

Ecrire

les nombres suivants sous

forme

d'une

fraction

irréductible:

4,6;

1,04;

0,168; 0,054;

1,275; 0,0196

Activité

²

h,tant

donné

x = 0.777 ...

a.

Calculer 10x: 10x-x

b. Ecrire le

nombre r

sous forme

d'une

fraction irréductible.

Activité

³

Etant

donné

x

:

0.545454...

a.

Calculer l00x; l00x-x

b. Ecrire le

nombre x

^sous

^forme

d'une fraction irréductible.

Activité

⁴

Etant

donné

x

:

0;2333...

a.

Calculer l00x; 10x;

100x-10x

b. Ecrire le

nombre r

^{sous forme}

^d'une

^fraction

iréductible.

A retenir

- Tout nombre décimal fini ^(période

^zéro)

peut s'écrire

sous la

d'une ^fraction

dont le déùominateur est une puissance de ^10.

Exemples: l. -O-tt:-]l

-

₁₀₀

2. -0.t37--137 -

₁₀₀₀

l. ^2.lg:219 -

100

- ^{Tout nombre}

^décimal

^{infini (période different de}

^zéro)

peut s'écrire

sous fonne

d'une

fraction par la méthode

suiv ^te

^:

Exemple

:

1.

Ecrire ^0,6

^en

fraction

Onpose N=0,6=0,666... ^....(l)

On

multiplie

les deux membres ^de

(l) par

10, on a ^:

l0N :

10 x 0,666'

"

_{= 6,666} ^{- - -}

lo.v

-

^{1y =} (6,666...)- ^(O,OOO...)

)

36

Numération C2

9N=u-.OO

D'où

^,lr =

!

9

-l

z

Exemple

:2. Ecrire

0,725 sous

forme

de fraction On

pose

N = 0,725 =

0,7252525...

(t)

On

multiplie

les deux membres de ( l

) pu.

^{1000, on a :}

1000N ₌ 1000 x0,7252525...

- 725,252525...

⁽²⁾

On

multiplie

les deux membres de

(l)

par 10, on a ^:

10N=10x0,7252525...:7,252525...

(3)

(2)-(3),

_on a:

I 000 N

-

^{I 0N =} (725,252525...)- (t,zszszs...)

990ff:718

D',où l/:

⁷¹⁸

990

On a

donc

0.725

=

⁷¹⁸

990

conclusion:

Tout rationnel peut

s'écrire

sous forme

d'un

décimal périodique ou sous forme

d'une fraction I

_{où a est un}

b

entier

relatif

et b est un naturel non nul.

Un

décimal se

reconnaît par son écriture décimale f,rnie."

On a

donc

0,6

-9

9

ombres entiers

itifs 7)5

)5)9\

7

)5)95

ombres entiers relatifs

Nombres entier

37

Numération C2

Exercices

1. ^Ecrire

^{sous forme}

^d'une

^fraction

irréductible

^les nombres suivants:

a. 4,6; 1,04;

^0,168

b. 0,054; 1,275;

^0,0196

2. ^Parmi

les nombres suivants, lesquels sont des décimaux ?

o 14. 90/

⁶⁰

35' 48'

¹⁴⁰

, 6600

²⁵⁰

o. 2400' ,

²⁸

_

^{, 225}

3. ^Donner

la période de chacun des nombres suivants ^:

a. 0,222...; 5,141414...; 3,8;

^41,29

b. 6,21555...; 0,452; 28,373737;

^8,209

4. ^Ecrire

^{sous forme}

^d'une

^fraction

irréductible

^les nombres suivants:

a. 0,777...; 0,52; 0,48;

0,236236236...

b. 0,215; 0,451; 0,24838383...;

^0,290

5. ^{Le nombre}

x=2,999...peut s'écrire sous la forme2+0,999---, Déterminer

l'écriture de

^x sous forme de fraction irréductible.

6. ^Même

exercice avec les nombres ^:

a. 1,888...; 5,12; 234;

4,2393939---

b.8,215; 7,151; 9,);

^23,40

7.

^IVfontrer

^que

^1,999

^... '

²

8. ^Trouver

la période de chacun ^deç nombres suivants ^:

23 77 221 ^317'

^2l

91' 40'

⁹⁰

' _407.'

37

9. ^Un

^{carton de} 30 æufs coûte 29 000 kips.

99

a. Quel ^{est le}

prix d'un

æuf?

b.

_Quel ^{est le}

prix d'un

æuf en raélité?

10.

^{Calculer les} sommes suivantes ^:

a. 9999 * _--- t"'

^b.

l0 ^{100 1000}

¹⁰⁰⁰⁰

c. -+-+-*.:-.---.=*... l0 2888 ^{100 1000}

¹⁰⁰⁰⁰

.3545454

d. +-+ *---*-..

10'

^1000'

100000

^1000000

e. 2+:+ 3333 *---=*--:-:-:-:-*"'

l0 ^{100 1000}

¹⁰⁰⁰⁰

23. 23

²³

-+

⁺

-+.'.

100 10000

^1000000

38