D10296. Bissectrices ´ egales

D10296. Bissectrices ´ egales

Montrer g´eom´etriquement qu’un triangle ABC dont les bissectrices int´e- rieures BB⁰ etCC⁰ sont de mˆeme longueur est isoc`ele.

Solutions de Jean Moreau de Saint-Martin Premi`ere solution

Soit D tel que BB⁰DC⁰ soit un parall´elogramme BB⁰ et CC⁰ ´etant les bissectrices int´erieures des angles B etC.

a1) La comparaison des aires des trianglesBB⁰AetBB⁰Cdonne la relation classique AB⁰/B⁰C=AB/BC, puis

BC

B⁰C = AB

AB⁰ = AB+BC

CA = AB+BC+CA CA −1.

De mˆeme, ´echangeant les rˆoles de B etC, BC/BC⁰ = (AB+BC+CA)/AB−1.

BC

1

CB⁰ − 1 BC⁰

= (AB+BC+CA)

1

CA− 1 AB

ce qui montre que AB−AC etBC⁰−CB⁰ ont le mˆeme signe.

Comme B⁰D = BC⁰, dans le triangle B⁰CD la diff´erence B⁰D−B⁰C = BC⁰−B⁰Ca le mˆeme signe queAB−AC, et de mˆeme la diff´erence d’angles d1 = (CD, CB⁰)−(DB⁰, DC).

b1) On a d’autre part dans le parall´elogramme (DC⁰, DB⁰) = (BB⁰, BC⁰) = (BC, BA)/2,

(CB⁰, CC⁰) = (CA, CB)/2, etAB−AC a mˆeme signe que

(CA, CB)−(BC, BA) et donc que d2 = (CB⁰, CC⁰)−(DC⁰, DB⁰).

AinsiAB−AC a mˆeme signe qued1+d2 qui vaut

(CD, CB⁰) − (DB⁰, DC) + (CB⁰, CC⁰) − (DC⁰, DB⁰) = (CD, CC⁰) − (DC⁰, DC).

Dans le triangle CC⁰D la diff´erence des cˆot´es oppos´es `a ces angles, soit C⁰D−C⁰C =BB⁰−CC⁰, a le mˆeme signe queAB−ACet que (CA, CB)−

(BC, BA).

Ainsi les bissectrices les plus longues divisent les angles les plus petits.

Si le triangle n’est pas isoc`ele, les bissectrices sont in´egales.

1

Seconde solution

Soient X etY les points du segment BC tels que les angles (B⁰B, B⁰X) = (C⁰Y, C⁰C) = (AB, AC).

Je vais montrer que les diff´erences

AB−AC,BC⁰−CB⁰,BY −CX,BX−CY, etBB⁰−CC⁰ ont le mˆeme signe.

a2) Comme au paragraphe a1, AB−AC et BC⁰ −CB⁰ sont de mˆeme signe.

b2) Comme (BB⁰ bissectrice) (BC, BB⁰) = (BB⁰, BA) on a

(B⁰X, B⁰C) = (B⁰B, B⁰C) −(B⁰B, B⁰X) = (BB⁰, BA) + (AB, AC) − (B⁰B, B⁰X) = (BC, BB⁰)

et le triangle BB⁰C est semblable (`a retournement pr`es) au triangle B⁰XC. On en tireCX/CB⁰ =CB⁰/BC, de mani`ere analogueBY /BC⁰ = BC⁰/BC,

et BC(BY −CX) =BC⁰²−CB⁰²,

ce qui montre que BY −CX etBC⁰−CB⁰ ont le mˆeme signe.

CommeBC =BY +CY =BX+CX, c’est aussi le signe de BX−CY.

c2) Les trianglesBAB⁰ etBB⁰Xont les mˆemes angles, ils sont semblables, etBX/BB⁰ =BB⁰/BA. De mani`ere analogue CY /CC⁰ =CC⁰/CA.

BB⁰²−CC⁰² =AB·BX−AC·CY =AB(BX−CY) + (AB−AC)CY, et les deux termes de cette derni`ere somme ont le signe deAB−AC, il en est de mˆeme deBB⁰²−CC⁰² et de BB⁰−CC⁰.

Ainsi, siABC n’est pas isoc`ele avec AB =AC, il est impossible que les bissectrices soient ´egales. Par cons´equent, si les bissectrices sont ´egales, c’est que le triangle est isoc`ele, CQFD.

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