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D10123. Avec les m´edianes Soit un triangle quelconque

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Academic year: 2022

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D10123. Avec les m´ edianes

Soit un triangle quelconque ABC etAA0, BB0, CC0 ses m´edianes. Montrer que :

a) Il est toujours possible de construire un triangle ayant ces 3 m´edianes pour cˆot´es,

b) L’aire du triangle ainsi obtenu est ´egale aux 3/4 de celle deABC. Solution

a) Soit G le centre de gravit´e, et D le point tel que AGCD est un pa- rall´elogramme. Son centre est B0 milieu des diagonales AC et GD, donc GD = 2GB0 =BG;AD =GC, et les cˆot´es du triangle ADG sont les dis- tances de G `a A, B, C, qui sont les 2/3 des m´edianes. Le triangle cherch´e est semblable `aADG dans le rapport 3/2. On peut le construire avec pour cˆot´esAA0, la parall`ele men´ee parA`aGCet la parall`ele men´ee parA0`aGB.

b) L’aire de ADG est la moiti´e de celle de AGCD, de mˆeme que l’aire de AGC, qui est le tiers de celle du triangle ABC. L’aire du triangle cherch´e est (3/2)2(1/3) = 3/4 de celle du triangle ABC.

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