Enoncé D285 (Diophante) Le carrousel des fourmis
La reine des fourmis se trouve en un point F d’où elle voit une brindille rectiligneXY sous un angleαde 20°15’. Elle place dans le sens anti-horaire pfourmis ouvrières aux sommetsx1, x2, . . .d’un polygone régulier de p+ 2 côtés dontXF est l’un des côtés et qui est extérieur au triangle F XY. De la même manière, elle place dans le sens horaire q fourmis ouvrières aux sommets y1, y2, . . . d’un polygone régulier deq+ 2 côtés dont Y F est l’un des côtés et qui est extérieur au triangle F XY (voir un exemple ci-après avec p= 5 fourmis sur les sommets x1, x2, x3, x4, et x5 d’un heptagone et q = 3 fourmis sur les sommetsy1, y2 ety3 d’un pentagone) :
La reine des fourmis se déplace sur la courbe (Γ) située au dessus de la brindille XY d’où elle voit cette dernière toujours sous le même angle α. Toutes les fourmis respectent à tout moment le carrousel des deux polygones réguliers qui se dilatent ou se rétractent proportionnellement à F X etF Y quand la reine se déplace. Quand celle-ci a achevé son périple de X en Y, quatre fourmis ont parcouru exactement la même distance.
Sachant qu’il y a au total 77 fourmis ouvrières, déterminer p etq.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
A chaque instant, la fourmixk est au point transformé deF par la simili- tude de centreX, d’angle kπ/(p+ 2) et de rapport sin(k+ 1)π/(p+ 2)
sinπ/(p+ 2) . De même, la fourmiym est au point transformé deF par la similitude de centreY, d’angle −mπ/(q+ 2) et de rapport sin(m+ 1)π/(q+ 2)
sinπ/(q+ 2) . Chaque fourmi décrit une courbe déduite de celle de F (arc capable de l’angleα, mais peu importe) par l’une ou l’autre de ces similitudes. Deux fourmis parcourent la même distance si et seulement si elles bénéficient du même rapport de similitude, leur distance parcourue étant le produit de ce rapport et de la longueur parcourue par la reine.
Il y en a au plus deux par polygone : le rapport est le même pour xk et pour xp−k; de même,ym etyq−m ont le même rapport et parcourent des distances égales. Pour avoir 4 fourmis xk, xp−k, ym, yq−m parcourant des distances égales, il faut satisfaire
sin(k+ 1)π/(p+ 2)
sinπ/(p+ 2) = sin(m+ 1)π/(q+ 2) sinπ/(q+ 2) où on peut supposerk < p/2,m < q/2.
La condition est satisfaite par p = 12r+ 4,q = 6r+ 1, k = 2r, m = 3r.
En effet, posants=π/(12r+ 6), on a sin(π/6)
sins = sin(π/2−s) sin(2s) .
Si on donne p+q = 77, la solution correspond à r = 4 ; p = 52, q = 25, les quatre fourmis sontx8, x44, y12, y13.
On constate sur tableur que c’est le seul cas avecp+q = 77 satisfaisant la condition.
