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D285 - Le carrousel des fourmis

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

La reine des fourmis se trouve en un point F d’où elle voit une brindille rectiligne XY sous un angle α de 20°15’. Elle place dans le sens anti-horaire p fourmis ouvrières aux sommets x,x,...xp d’un polygone régulier de p + 2 côtés dont XF est l’un des côtés et qui est extérieur au triangle FXY. De la même manière, elle place dans le sens horaire q fourmis ouvrières aux sommets y,y,...yq d’un polygone régulier de q + 2 côtés dont YF est l’un des côtés et qui est extérieur au triangle FXY.(voir un exemple ci-après avec p = 5 fourmis sur les sommets x₁,x₂,x₃,x₄, et x₅ d’un heptagone et q= 3 fourmis sur les sommets y₁,y₂ et y₃ d’ un pentagone ) :

La reine des fourmis se déplace sur la courbe (Γ) située au dessus de la brindille XY d’où elle voit cette dernière toujours sous le même angle α.Toutes les fourmis respectent à tout moment le carrousel des deux polygones réguliers qui se dilatent ou se rétractent proportionnellement à FX et FY quand la reine se déplace. Quand celle-ci a achevé son périple de X en Y, quatre fourmis ont parcouru exactement la même distance. Sachant qu’il y a au total 77 fourmis ouvrières, déterminer p et q.

La similitude de centre X, de rapport sin((i+1)π/(p+2))/sin(π/(p+2)) et d’angle (i+1)π/(p+2) transforme F en x

i.

De même, la similitude de centre Y, de rapport sin((j+1)π/(q+2))/sin(π/(q+2)), et d’angle (j+1)π/(q+2) transforme F en y

i

.

F décrit l’arc de cercle qui voit XY sous l’angle α. Les valeurs i et p+1-i donnent des valeurs identiques du rapport de similitude : les trajectoires de x

i

et x

p+1-i

ont donc même longueur, de même que celles de y

j

et y

q+1-j

; quatre fourmis auront parcouru la même distance si les rapports de similitudes pour x

i

et y

j

sont égaux, donc si

sin(π/(p+2)) sin((j+1)π/(q+2))= sin(π/(q+2)) sin((i+1)π/(p+2)).

Par ailleurs, p+q=77 donc (p+2)+(q+2)=81=3*27=27+54. Or,

sin(π/27)=2sin(π/54)cos(π/54)=2sin(π/54)sin(26π/54)=sin(π/54)sin(13π/27)/sin(π/6) donc sin(13π/27)/sin(π/27)=sin(9π/54)/sin(π/54)

Donc p=25, q=52, i=12 ou 13, j=8 ou 46.

D285 - Le carrousel des fourmis

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