Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°23
Questions de cours
Question n°1 : Toute suite convergente est bornée (preuve) ; exemple d’une suite bornée divergente (on donnera une preuve du caractère borné et de la diver- gence de la suite proposée).
Question n°2 :Théorème de la limite monotone (énoncé dans le cas général et preuve dans le cas où la suite est croissante).
Question n°3 : Définition de deux suites adjacentes ; théorème des suites adjacentes (énoncé et preuve).
Question n°4 :Cardinal de la réunion de deux parties dis- jointes d’un ensemble fini (énoncé et preuve formelle) ; cardinal du complémentaire d’une partie d’un ensemble fini (énoncé et preuve) ; cardinal de la réunion de deux parties d’un ensemble fini (énoncé et preuve).
Suites réelles
• Définition de la notion de suite extraite.
• Limite d’une suite extraite d’une suite admettant une limite.
• Critère d’existence de limite via la suite extraite des termes d’indices pairs et la suite extraite des termes d’indices impairs.
• Limites de suites usuelles : (nα),¡ qn¢
,¡ ln(n)β¢
.
• Passage d’une convergence vers ℓ ∈ R à une convergence vers 0.
• Converger vers 0 versus converger vers 0 en valeur absolue.
• Toute suite convergente est bornée.
• Opérations sur les limites (addition, multiplica- tion par un scalaire non nul, multiplication, quo- tient).
• Passage à la limite dans une inégalité large.
• Théorème des suites encadrées.
• Théorème de divergence vers+∞(resp. vers−∞) par domination.
• Théorème de la limite monotone.
• Définition de deux suites adjacentes.
• Théorème des suites adjacentes.
• Le nombree: définition comme limite commune de deux suites adjacentes, calculs de valeurs ap- prochées avec majoration de l’erreur commise.
Dénombrement
• Définitions d’un ensemble fini, du cardinal d’un ensemble fini.
• Deux ensembles finis en bijection ont le même cardinal.
• Parties d’un ensemble fini : finitude, inégalité sur les cardinaux, une partie est le tout si et seulement si elle a le même cardinal que le tout.
• Injectivité, surjectivité, bijectivité d’une applica- tion entre deux ensembles finis de même cardinal.
• Cardinaux et opérations sur les parties d’un en- semble fini.
• Finitude et cardinal du produit cartésien de deux ensembles finis.
