Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°22
Questions de cours
Question n°1 : Définition d’une suite majorée (resp.
minorée, bornée) ; théorème sur l’unicité de la limite (énoncé dans le cadre général, preuve dans un cas parti- culier).
Question n°2 :Définition formelle d’une suite conver- geant versℓ∈Ret interprétation graphique ; définition formelle d’une suite divergeant vers+∞et interprétation graphique ; si (un)n≥0et (vn)n≥0sont deux suites bornées et siλetµsont des réels, alors la suite (λun+µvn)n≥0est bornée (preuve).
Question n°3 : Toute suite convergente est bornée (preuve) ; exemple d’une suite bornée divergente (on donnera une preuve du caractère borné et de la diver- gence de la suite proposée).
Question n°4 :Théorème de la limite monotone (énoncé dans le cas général et preuve dans le cas où la suite est croissante).
Suites réelles
• Définitions d’une suite (réelle), du terme d’indice nd’une suite.
• Représentation graphique d’une suite.
• Trois modes de définition d’une suite : définition explicite, définition par récurrence, définition im- plicite (via l’application du théorème de la bijec- tion).
• Définition d’une suite croissante (resp. décrois- sante, monotone, strictement croissante, stricte- ment décroissante, strictement monotone).
• Méthodes pratiques pour étudier la monotonie d’une suite.
• Définition d’une suite stationnaire.
• Définition d’une suite majorée (resp. minorée, bornée).
• Critère pour qu’une suite soit bornée (« majorée en valeur absolue »).
• Suite croissante (resp. décroissante) et caractère minoré (resp. majoré).
• Suites arithmétiques : définition, notion de raison, formule explicite pour le terme général, définition d’une suite arithmétique par son ensemble d’in- dices, son premier terme et sa raison.
• Rappel : valeur de la somme 1+2+3+. . .+n, où n∈N∗.
• Suites géométriques : définition, notion de raison, formule explicite pour le terme général, définition d’une suite géométrique par son ensemble d’in- dices, son premier terme et sa raison.
• Rappel : valeur de la somme 1+q+q2+. . .+qn, où (q,n)∈R×N∗.
• Suites arithmético-géométriques : définition, une méthode pour expliciter le terme général.
• Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 : définition, équation caractéristique, formule explicite pour le terme général.
• Définition formelle d’une suite convergeant vers ℓ∈Ret interprétation graphique.
• Définition d’une suite convergente (resp. diver- gente).
• Définition formelle d’une suite divergeant vers +∞et interprétation graphique.
• Définition formelle d’une suite divergeant vers
−∞et interprétation graphique.
• Une suite qui diverge vers +∞ (resp. vers −∞) n’est pas majorée (resp. n’est pas minorée).
• Théorème sur l’unicité de la limite.
• Synthèse sur les 4 comportements asymptotiques possibles d’une suite.
• Définition de la notion de suite extraite.
• Limite d’une suite extraite d’une suite admettant une limite.
• Critère d’existence de limite via la suite extraite des termes d’indices pairs et la suite extraite des termes d’indices impairs.
• Limites de suites usuelles : (nα),¡ qn¢
,¡ ln(n)β¢
.
• Passage d’une convergence vers ℓ ∈ R à une convergence vers 0.
• Converger vers 0 versus converger vers 0 en valeur absolue.
• Toute suite convergente est bornée.
• Opérations sur les limites (addition, multiplica- tion par un scalaire non nul, multiplication, quo- tient).
• Passage à la limite dans une inégalité large.
• Théorème des suites encadrées.
• Théorème de divergence vers+∞(resp. vers−∞) par domination.
• Théorème de la limite monotone.
• Définition de deux suites adjacentes.
• Théorème des suites adjacentes.
