Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°24
Questions de cours
Question n°1 :Cardinal de la réunion de deux parties dis- jointes d’un ensemble fini (énoncé et preuve formelle) ; cardinal du complémentaire d’une partie d’un ensemble fini (énoncé et preuve) ; cardinal de la réunion de deux parties d’un ensemble fini (énoncé et preuve).
Question n°2 :Finitude et cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini (énoncé et preuve à l’aide des fonctions caractéristiques).
Question n°3 : Définition des coefficients binomiaux ; interprétation combinatoire des coefficients binomiaux (énoncé) ; propriétés des coefficients binomiaux (énoncé de toutes et preuve combinatoire de la relation de symé- trie).
Question n°4 :Formule du binôme de Newton (énoncé et preuve combinatoire) ; exemple de modélisation condui- sant à des uplets (respectivement des uplets sans répéti- tion, des combinaisons).
Dénombrement
• Définitions d’un ensemble fini, du cardinal d’un ensemble fini.
• Deux ensembles finis en bijection ont le même cardinal.
• Parties d’un ensemble fini : finitude, inégalité sur les cardinaux, une partie est le tout si et seulement si elle a le même cardinal que le tout.
• Injectivité, surjectivité, bijectivité d’une applica- tion entre deux ensembles finis de même cardinal.
• Cardinaux et opérations sur les parties d’un en- semble fini.
• Finitude et cardinal du produit cartésien de deux ensembles finis.
• Finitude et cardinal de l’ensemble des applica- tions d’un ensemble fini dans un autre ensemble fini.
• Finitude et cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini.
• Définition de la notion d’uplet sans répétition (ou d’arrangement).
• Nombre Apn de p-uplets sans répétition d’élé- ments d’un ensemble fini, où (n,p)∈(N∗)2.
• Nombre d’applications injectives d’un ensemble fini dans un autre ensemble fini.
• Définition d’une permutation d’un ensemble fini.
• Nombre de permutations d’un ensemble fini.
• Définition d’une combinaison d’un ensemble fini.
• Rappel de la définition des coefficients binomiaux en termes de factorielles.
• Nombre de p-combinaisons d’un ensemble fini (p∈N∗).
• Rappels des propriétés des coefficients binomiaux et preuve combinatoire de la relation de symétrie.
• Rappel de la formule du binôme de Newton et preuve combinatoire.
