• Arrangements avec répétitions. • Arrangements sans répétitions. III) Arrangements et permutation d’un ensemble fini . II) Principe de produit ou principe fondamental de dénombrement. ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ I) Cardinal d’un ensemble fini – Parties d’un ensemble .

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I) Cardinal d’un ensemble fini – Parties d’un ensemble.

II) Principe de produit ou principe fondamental de dénombrement.

• arbre de choix

• Principe de produit : Si une expérimentation complexe peut se décomposer en p opérations élémentaires successives tels que :

- La première opération peut être effectuée de n₁manières différentes.

- La deuxième opération peut être effectuée de n₂manières différentes.

- La troisième opération peut être effectuée de n₃manières différentes. Et ainsi de suite … - La p^ièmeopération peut être effectuée de n_p manières différentes.

Alors l’ensemble de toutes ces opérations peutêtreeffectuées deN=    n₁ n₂ n₃ ... n_p manières différentes

III) Arrangements et permutation d’un ensemble fini.

• Arrangements sans répétitions.

▪ Notion de factorielle : Soit n un entier naturel tel que n1

On appelle " n factorielle " le nombre entier noté n! tel que ^{n!=n n}

(

⁻¹

)(

^{n− 2}

)

^{...  3 2 1}

Par convention, on pose 0! = 1 et 1! = 1.

▪ étant un ensemble à n éléments, on appelle arrangement de p éléments de , toute suite de p éléments distincts de . On le note

A

_n^p.

Il y a n façons de choisir le 1^er élément, (n-1) façons de choisir le 2^ème élément, …, [n-(p-1)] façons de choisir le p^ème . et d’après le principe

Donc

A

_n^p = ^{n n}

(

⁻¹

)(

ⁿ⁻²

) (

^{... n− + =p 1}

) ( )

^{n-p !n!} si p  n .

0

A

n= 1 ;

A

_n¹= n ;

A

_nⁿ

= n !

.

▪  étant un ensemble à n éléments, on appelle permutation, tout arrangement des n éléments de . Il y a n! permutations de  si les n éléments sont distinguables entre eux.

• Arrangements avec répétitions.

C’est le nombre d’arrangements que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments, chacun d’eux peut figurer plusieurs fois dans le même arrangement. Le nombre d’arrangements avec répétitions est n^p

N. B. :Quand il s’agit de classer k « objets », rangés en p groupes dont les éléments sont considérés comme indistinguables entre eux à l’intérieur de chaque groupe, il faut trouver le nombre de permutations distinctes de p objets quand k₁sont d’une sorte, k₂d’une autre, …, k_pde la p^ème sorte, avec k₁+k₂+ +... k_p =k.

Ce nombre est alors :

1 2 p

k!

k ! k ! ... k !   .

Dénombrement

▪

Soit  un ensemble fini de n éléments,  =



x x₁; ₂;...;xn



. L’entier naturel n est appelé cardinal de . On note :card =n

▪

A et B désignent deux parties de . On écrit : A   et B  

▪

card A( B)=cardA+cardB−card A( B).

▪

Si A et B sont deux ensembles disjoints (c’est-à-direA = B ) alors card A( B)=cardA+cardB

▪

A = {x  : x A}, est le complémentaire de A.

▪

A = A et A = A

▪

card A=card −cardA

01

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IV) Combinaisons d’un ensemble fini .

 étant un ensemble à n éléments, on appelle combinaison de p éléments de , toute partie de p éléments de

. On la note

C

_n^p telle que : 1

p

p n

n

A n

C p n

p p n p

= =  

−

! /

! !( )! .

Formules usuelles :

C

_n^p

= C

_n^{n p−}

; C

_n⁰

= C

_nⁿ

= 1 ;

C_n¹ =C_nⁿ⁻¹ =n

;

pC_n^p =nC_n^p₋⁻₁¹

C

_n^p=

C

_n^p₋⁻₁¹ +

C

_n^p₋₁ (formule de Pascal) ;

0 n

n k k n k

n k

a b C a b ⁻

=

+ =



( ) . (formule du binôme)

V) Types de tirages.

•

La plupart des expériences aléatoires peuvent être interprétées comme des tirages de p boules d’une urne qui en contient n.

•

Il y a deux critères pour distinguer ces tirages :

1)

L’ordre : Si l’ordre dans lequel on tire les boules est pris en considération, on dit que c’est un « tirage avec ordre », sinon c’est un « tirage sans ordre ».

2)

La répétition : Si on remet chaque boule tirée dans l’urne avant de tirer la suivante, on peut tirer plusieurs fois la même boule : on parle alors d’un tirage avec répétition ou avec remise. Dans le cas contraire on parle d’un tirage sans répétition ou sans remise.

 étant un ensemble à n éléments, On tire p éléments parmi n éléments, donc :

Type de tirage Ordre Répétition Nombre de tirages possibles Successif avec remise Pas important Possible

n

^p

Successif sans remise Important Impossible ^p

A

n

p n 

Simultané Important Impossible ^p

C

n

p n 

02

0.1. EXPÉRIENCES ALÉATOIRES-LES ÉVÉNEMENTS 1 Calcul des Probabilités

0.1 Expériences aléatoires-Les événements

0.1.1 Expériences aléatoires

Dénition 0.1.1. .

Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle vérie les conditions suivantes : 1. Elle conduit à plusieurs résultats possibles.

2. On peut décrire tous ces résultats.

3. On ne peut pas savoire d'avance le resultat qu'on va obtenir.

Exemple 0.1.1. .

• Lorsqu'on lance une pèce de monnaie à deux faces :"Pile" et "Face", on ne peut pas savoir à l'avance la face qui va apparaître.Donc cette expérience est une expérience aléatoire.

• Tirer au hasard une boule d'une urne est une expérience aléatoire.

• Lorsqu'on lance un dé à 6 face bien equilibré, on ne peut pas prédire le numéro qui va apparaître.Cette expérience est une expérience aléatoire.

0.1.2 Les événements liés à une expérience aléatoire

Dénition 0.1.2. .

On considère une expérience aléatoire.

1. Tout résultat d'une expérience aléatoire est appelé une éventualité ou une issue.

2. L'ensemble de toutes les éventualités est appelé l'univers associé à l'expé- rience aléatoire et on le note Ω.

3. Toute partie deΩ est appelé événement.

4. Un événement qui contient une seul éventualité est appel un événement élé- mentaire.

5. L'ensemble Ωest appelé l' événement certain.

6. L'ensemble ∅est appelé l' événement impossible.

7. Le nombre d' éventualité qui composent un événement A est appelé le car- dinal de A et on le note Card(A)

2

Exemple 0.1.2. .

On lance une pièce de monnaie à deux faces et on note sa face exposé.Cette expé- rience est une expérience alèatoire, il y a deux éventualités possible :la face "Pile"

qu'on note par P et la face " Face " qu'on note par F.Donc l'univers associé à cette expérience aléatoire est Ω = {P, F}.

Les événements A" le résultat est pile" et B"le résultat est face" sont des événe- ments élémentaires

Exemple 0.1.3. .

Une urne contient dix boules indiscernables au toucher, deux boules blanches B₁ et B₂ et trois boules rouges R₁, R₂, et R₃ et cinq boules vertes V₁, V₂, V₃, V₄ et V₅ . On tire au hasard une boule de l'urne.

• L'univers associé à cette expérience alèatoire est :Ω ={B₁, B₂, R₁, R₂, R₃, V₁, V₂, V₃, V₄, V₅}

• L'événement E :"la boule tirée est rouge" peut s'écrire E = {R₁, R₂, R₃} et l'événement F :"la boule tirée porte le numéro 3" peut s'écrireF ={R₃, V₃}.

0.1.3 Opérations sur les événements

Dénition 0.1.3. Soit Ω l'unevres associé à une expérience aléatoire et A et B deux événements dansΩ.

• L'événement "A et B" noté A∩B est l'événement constitué des éventualités communes aux deux événements A et B.

• L'événement "A ou B" noté A∪B est l'événement constitué de toutes les éven- tualité des deux événements A et B.

• On dit que les événements A et B sont incompatibles si A∩B =∅

• L'événement B est dit contraire de A et on le note Asi A∩B =∅etA∪B = Ω Exemple 0.1.4. .

On lance un dé dont les six faces sont numéroté est : 1,2, 3, 4, 5, 6, et à chaque lancer on note le nombre inscrit sur la face supérieure.

L'unevers associé à cette expérience aléatoire est :Ω = {1,2,3,4,5,6}, on considère les événements suivants :

• L'événement A :"le nonbre obtenu est paire"

• L'événement B :"le nonbre obtenu est impaire"

• L'événement C :"le nonbre obtenu est un multiple de 3 "

• L'événement D :"le nonbre obtenu est divisible par 6"

0.2. ESPACE PROBABILISÉ FINI 3 On a A={2,4,6}, B ={1,3,5},C={3,6}, D={6}.

On a aussi A∪C ={2,4,6,3},A∩D={6}.

A et B sont incompatibles A ∩B = ∅ et l'événement contraire de D est D = {1,2,3,4,5}.

0.2 Espace probabilisé ni

Dénition 0.2.1. .

soit Ω = {a₁, a₂, a₃,· · ·a_n} l'univers associé à une expérience aléatoire.

Lorsqu'on répéte une expérience aléatoire un trés grand nombre de fois, la fré- quence de n'import quel événement élémentaire {a_i} avec i ∈ {1,2,3,··, n} se stabilise autour d'une valeure p_i ∈[0,1].

p_i est appelé la probabilité de l'événement {a_i} et on note p({a_i}) =p_i.

La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élé- mentaires qui le constituent : si A={a₁, a₂, a₃, a₄}

alors p(A) =p({a₁}) +p({a₂}) +p({a₃}) +p({a₄}) = p₁+p₂+p₃+p₄.

La relation p qui à chaque événement A associé le nombre p(A) dénit une pro- babilité sur l'univers Ω.

Le couple (Ω, p)est appelé espace probabilisé ni.

remarque 0.2.1. .

• Pour tout événement A on a :é0≤p(A)≤1.

• p(Ω) = 1et p(∅) = 0. Exercice 0.2.1. .

On lance un dé truqué tel que p({1}) = p({2}) = p({3}) = p({4}) = p({5}) et p({6}) = 3p({1}).

1. Calculer la probabilité d'apparition de chaque face.

2. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

• A :"obtenir un nombre paire".

• B :"obtenir un nombre divisible par 3".