S-arrangements avec répétitions de tas II

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Preprint submitted on 20 Mar 2008

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S-arrangements avec répétitions de tas II

Sylviane Schwer

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Sylviane Schwer. S-arrangements avec répétitions de tas II. 2001. �hal-00265871�

S-arrangements avec r´ep´etitions de tas II

Sylviane R. Schwer

LIPN, UPRESA CNRS 7030, Universit´e Paris 13, Institut Galil´ee 99, Avenue Jean-Baptiste Cl´ement 93430 Villetaneuse, France

fax : +33 (1) 48.26.07.12 t´el. : +33 (1) 49.40.36.84 e-mail : schwer@lipn.univ-paris13.fr

20 mars 2008

R´esum´e

Nous ´etudions quelques familles d’objets isomorphes ` a l’ensemble des arrangements avec r´ep´etitions par des blocs de tas ou multi-ensembles puis nous introduisons une op´eration alg´ebrique de composition fond´ee sur les S-mots.

mots clefs : langages formels, chemins dans des hypercubes, syst`emes d’addition de vecteurs, ordres et pr´eordres, intervalles g´en´eralis´es.

1 Introduction

Nous avons introduit dans [8] la notion de S-arrangement avec r´ep´etitions de tas, ainsi que des outils de th´eorie des langages pour les traiter (S-alphabets, S-mots et S-langages) et fait quelques

´enum´erations de ces objets. Dans cet article, nous montrons une correspondance naturelle de cette famille avec une famille particuli`ere de langages associ´es `a une certaine famille de syst`emes d’addition de vecteurs, ou r´eseaux de Petri [6], lesquels constituent un outil largement r´epandu de mod´elisation des communications entre processus parall`eles. Nous en d´eduisons une repr´esentation g´eom´etrique `a l’int´erieur d’un n-hypercube de l’ensemble des S-arrangements avec r´ep´etitions de n tas, le cas binaire correspondant aux chemins de Delannoy [9, p.411]. Puis nous ´etablissons des correspondances entre l’ensemble des S-arrangements avec r´ep´etitions de tas, les pr´e-ordres lin´eaires engendr´es par des ordres totaux et l’ensemble des positions relatives d’intervalles g´en´eralis´es [4]. De plus, nous introduisons une op´eration sur les S-langages qui g´en´eralise l’op´eration de composition de [4].

Nous renvoyons le lecteur ` a [1] pour les notions et notations de la th´eorie des langages, `a [6] pour celles concernant les syst`emes d’addition de vecteurs et ` a [8] pour celles concernant les S-langages.

2 S-Syst` emes d’Addition de Vecteurs et Repr´ esentations g´ eom´ etriques

2.1 S-Syst` emes d’Addition de Vecteurs

Nous reprenons la d´efinition de [7], puis nous introduisons la notion de S-VAS comme satur´e d’un VAS sur le S-alphabet.

D´ efinition 2.1 Un n-syst`eme d’addition de vecteurs (n-VAS) est un triplet A = (X, ϕ, ~a) o` u X

∗ n n

Nous associons au n-VAS A = (X, ϕ, ~a) sur X le langage L

_A

(~a ↓) = {f ∈ X

^∗

|~a + ϕ(f ) = ~ 0 et (∀g ∈ X

^∗

)((g est facteur gauche de f) ⇒ ( ~a + ϕ(g) ≥ ~ 0)}.

D´ efinition 2.2 Etant donn´e un n-VAS A = (X, ϕ, ~a), le n-S-VAS associ´e est le n-VAS A

^S

=( X, b ϕ, ~a) b o` u ϕ(s) = b P

x∈s

ϕ(x).

La construction d’un n-S-VAS fait qu’` a chaque S-lettre de X est associ´e le vecteur traduisant la consommation d’une occurrence de chaque lettre pr´esente dans la S-lettre. Pour consommer p

i

occurrences de x

i

, il faut utiliser exactement p

i

S-lettres contenant x

i

.

Soit alors B

_n

= {e

1

, . . . , e

n

} la base canonique de Z

ⁿ

, soit ν

X

= {x

^p₁¹

, . . . , x

^p_nⁿ

} un n-tas sur l’alphabet X = {x

1

, . . . , x

n

}. D´efinissons le n-VAS B

n

= (X, β, ~ ν(X

n

)) en posant ∀i ∈ [n], β(x

i

) = −e

i

, nous avons alors le r´esultat suivant :

Th´ eor` eme 2.1 Il existe une correspondance naturelle entre L

B^S_n

(~ ν(X) ↓) et ∨ ∨ν

X

.

2.2 Repr´ esentation g´ eom´ etrique.

L’ensemble des vecteurs accessibles de B

_n^S

valant l’ensemble fini Q = {~a ∈ Z

ⁿ

| ~ 0 ≤ ~a ≤ ~ ν(X

n

)}, le graphe de couverture de Karp et Miller [6] fournit directement un automate fini d´eterministe G

_B^S_n

(~ ν(X ) ↓) g´en´erant le langage L

_B^S_n

(~ ν(X ) ↓).

En suivant les notations de [1, p.71–75], G

_Bn^S

(~ ν(X) ↓) = h X, Q, ~ b ν (X

n

), { ~ 0}, δi tel que (q, x, q

^′

) ∈ δ si et seulement si q

^′

= q + ϕ(x), b ∀q ∈ Q, ∀x ∈ X b .

Cet automate G(B

^S_n

) poss`ede Q

n

i=1

(p

i

+1) ´etats. Dessinons chaque ´etat `a l’emplacement qui lui correspond dans l’espace Z

ⁿ

, inversons le sens des fl`eches des arcs de transitions et nous obtenons une g´en´eralisation `a la dimension n des chemins de Delannoy [9] ou marches dans un Z -treillis avec diagonales [5]. Il en r´esulte

Corollaire 2.1 Soit ν

X

= {x

^p₁¹

, . . . , x

^p_nⁿ

} un n-tas, il existe une correspondance naturelle entre

∨ ∨ν

X

et l’ensemble des marches al´eatoires avec diagonales de ~ 0 ` a ~ ν(X

n

) dans Z

ⁿ

avec progression positive unitaire ou nulle sur chacun des axes.

3 Pr´ e-ordres Lin´ eaires et Intervalles G´ en´ eralis´ es

3.1 Pr´ e-ordres lin´ eaires

Appelons ensemble lin´eaire un ensemble totalement ordonn´e. Rappelons qu’un pr´e-ordre sur un ensemble E une relation binaire r´eflexive et transitive et appelons pr´e-ordre lin´eaire un pr´e-ordre dont deux ´el´ements quelconques sont toujours comparables. Nous nous int´eressons au probl`eme suivant : ´etant donn´es n ensembles lin´eaires disjoints (L

1

, . . . , L

n

), L

i

poss´edant p

i

´el´ements,

∀i ∈ [n], combien de pr´e-ordres lin´eaires g´en`erent-ils, c’est-`a-dire, combien de pr´e-ordres lin´eaires pr´eservant leurs ordres peut-on construire ? Notons P(p

1

, . . . , p

n

) cet ensemble et P (p

1

, . . . , p

n

) le cardinal de celui-ci. En associant ` a chaque chaˆıne L

i

une couleur x

i

et p

i

boules, tout S- arrangement avec r´ep´etition du n-tas ν

X

= {x

^p₁¹

, . . . , x

^p_nⁿ

} repr´esente un pr´e-ordre lin´eaire et tout pr´e-ordre lin´eaire obtenu ` a partir de (L

1

, . . . , L

n

) peut ˆetre d´ecrit par un S-arrangement avec r´ep´etition de ν

X

Il vient :

Proposition 3.1

(i)Il y a une correspondance naturelle entre P(p

1

, . . . , p

n

) et D(p

1

, . . . , p

n

)

(ii)P (p

1

, . . . , p

n

) = D(p

1

, . . . , p

n

)

3.2 Positions relatives d’intervalles g´ en´ eralis´ es

Dans [4], est introduit l’ensemble de toutes les positions relatives possibles entre une chaˆıne de longueur p et une chaˆıne de longueur q d’un ensemble lin´eaire (assez grand pour contenir au moins p+q ´el´ements. Il y est prouv´e que cet ensemble ´equivaut ` a un ensemble particulier de suites de p+q entiers Π(p, q). Nous g´en´eralisons le probl`eme ` a n chaˆınes et montrons son ´equivalence avec les probl`emes que nous ´etudions. Notons Π(p

1

, . . . , p

n

) l’ensemble de toutes les (p

1

, . . . , p

n

)-positions.

D´ efinition 3.1 Etant donn´e (p

1

, . . . , p

n

)∈ P

ⁿ

, Π(p

1

, . . . , p

n

) est l’ensemble des fonctions π de P

^{[p1+···+pn]}

satisfaisant :

(i) (∃r ≤ p

1

+ · · · + p

n

), π[p

1

+ · · · + p

n

] = [r] et

(ii) (∀i ∈{ 1,. . . , n }), π

_{|[p1+···+pi−1+1,p1+···+pi−1+pi]}

est strictement croissante.

Ainsi Π(2, 2) = {1234, 1223, 1324, 1214, 1323, 1212, 2314, 2313, 1423, 1312, 2413, 2312, 3412}.

Π(p

1

, . . . , p

n

) repr´esente bien toutes les positions possibles entre n chaˆınes (C

1

, . . . , C

n

), C

i

de taille p

i

, d’un ensemble lin´eaire contenant au moins p

₁

+ · · · + p

n

´el´ements, car chaque suite est un codage associant au j

^`eme

´el´ement de C

i

, de rang k dans le pr´eordre correspondant, le couple (p

1

+· · · +p

i−1

+j, k). Ainsi, un ´el´ement aparaˆıt autant de fois que le nombre de chaˆınes auxquelles il appartient, ce qui revient bien ` a travailler sur des chaˆınes disjointes. Montrons alors la

Proposition 3.2

(i) Il existe une une correspondance naturelle entre Π(p

1

, . . . , p

n

) et P(p

1

, . . . , p

n

).

(ii) Le cardinal de Π(p

1

, . . . , p

n

) est D(p

1

, . . . , p

n

)

preuve : (ii) d´ecoule de (i) que nous prouvons. Soit π ∈ Π(p

1

, . . . , p

n

) et X = {x

1

, . . . , x

n

} une famille - prise comme n-alphabet - de n ensembles lin´eaires distincts x

i

= x

i,1

≤ . . . ≤ x

i,p_i

associ´ee au n-tas ν

X

= {x

^p₁¹

, . . . , x

^p_nⁿ

}. Associons ` a chaque intervalle [p

1

+· · · + p

i₁

+ 1, p

1

+ · · · +p

i

] l’ensemble lin´eaire x

i

= x

i,1

≤ . . . ≤ x

i,p_i

par l’isomorphisme d’ordre de [n] sur S

n

i=1

x

i

d´efini par : ∀i ∈ [n], ∀k ∈ [p

i

], ϕ(p

1

+ · · · + p

i₁

+ k) = x

i,k

. Sur S

n

i=i

x

i

, la relation binaire d´efinie par x y si et seulement si π(ϕ(x)) ≤ π(ϕ(y)) est un pr´e-ordre lin´eaire, d’apr`es les propri´et´es de π.

R´eciproquement, soit un pr´e-ordre total sur S

n

i=i

x

i

. Soit l’ordre total

≡

induit sur les classes d’´equivalence. Notons r le nombre de ses classes.Construisons la fonction π de [p

1

+ . . . + p

n

] sur [r ] en posant ∀i ∈ [n], ∀k ∈ [p

i

], π

(p

1

+ · · · + p

i1

+ k) ´egale le nombre de classes inf´erieures ou ´egales `a la classe de x

i,k

. π ∈ Π(p

1

, . . . , p

n

). ✷

Nous ´etudions par ailleurs les propri´et´es de treillis de ces ensembles.

3.3 Op´ erateurs de Π(p

₁

, . . . , p

n

)

Dans [4], trois op´erateurs naturels de Π(p, q) sont introduits. La transposition qui change l’ordre de prise en compte des chaˆınes, la sym´etrie qui inverse l’ordre de l’ensemble lin´eaire et la com- position qui permet, connaissant les positions relatives des chaˆınes C

1

et C

2

d’une part et C

2

et C

₃

d’autre part, de calculer les positions possibles induites de C

₁

et C

₃

. Nous ´etudions les op´erations correspondantes dans le contexte des S-langages associ´es `a Π(p

1

, . . . , p

n

), soit ∨ ∨ν

X

, pour ν

X

= {x

^p₁¹

, . . . , x

^p_nⁿ

}. La transposition est alors la fonction identit´e, la sym´etrie la fonction miroir [1, p.48]. La composition est l’op´eration fondamentale pour le raisonnement relationnel bi- naire. Par exemple si π

1

= 1234 ∈ Π(2, 2) et π

2

= 3412 ∈ Π(2, 2), alors π

1

◦ π

2

= Π(2, 2). Ce dont le lecteur se convaincra apr`es traduction sous forme de mots : aabb et ccbb donne (aa∨ ∨cc)bb, qui dit que si C

a

et C

c

sont avant C

b

, sans information compl´ementaire, C

a

et C

c

peuvent se trouver dans n’importe quelle position relative.

Puisque nous avons la possibilit´e de traiter globalement les trois chaˆınes, nous proposons une op´eration param´etr´ee qui g´en´eralise la composition, nomm´ee jointure.

Soit X un alphabet et f ∈ X b

^∗

, notons X

f

= {x ∈ X |kf k

x

6= 0}. Soit s, s

^′

⊂ X , posons

′ ′

d’un S-mot f de X b

^∗

sur un sous-alphabet Y de l’alphabet X b comme le S-mot obtenu `a partir de f en supprimant toutes les occurrences n’appartenant pas ` a ce sous-alphabet ; on le note f

_|Y

:

∀f ∈ X b

^∗

, ∀Y ⊂ X, f

|Y

= (f

1

⋓ Y ) . . . (f

r

⋓ Y ) si f = f

1

. . . f

r

avec f

i

∈ X b . On peut alors poser :

D´ efinition 3.2 Soit X ,Y et Z trois alphabets, et soit f ∈ X b

^∗

, g ∈ Y b

^∗

. On appelle jointure sur l’alphabet Z, et on note ⊲⊳

_Z

l’ensemble

f ⊲⊳

_Z

g = {h

|Z

| h ∈ (X ∪ \ Y ∪ Z)

^∗

, h

|Xf

= f et h

|Yg

= g}.

On omet l’indice Z dans f ⊲⊳

_Z

g quand il vaut X ∪ Y . Ainsi acb

a

b

bab ⊲⊳ ecde

e b

e

b

bb = [e∨ ∨a]cde

e b

_a

b e

bab.

Cette d´efinition s’´etend aux langages : la jointure sur Z de L et L

^′

est le langage L ⊲⊳

_Z

L

^′

= {f ⊲⊳

_Z

g|f ∈ L, g ∈ L

^′

}.

Proposition 3.3 Soit X , Y et Z trois alphabets, et soit f ∈ X b

^∗

, g ∈ Y b

^∗

. (i) f ⊲⊳

_Z

g 6= ∅ si et seulement si f

_|X∩Y

= g

_|X∩Y

(ii) Il existe une expression explicite (et r´eguli`ere) de f ⊲⊳

_Z

g.

preuve : (i) d´ecoule des d´efinitions, ainsi que (ii) dans le cas o` u f

|X∩Y

6= g

|X∩Y

. Supposons que f

|X∩Y

= g

|X∩Y

f = f

0

h

f1

f

1

. . . h

f k

f

k

avec f

i

∈ X \ − Y

^∗

et h

f i

∈ X b et h

f i

∩ Y 6= ∅, g = g

0

h

g1

g

1

. . . h

gl

g

l

avec g

i

∈ Y \ − X

^∗

et h

gi

∈ Y b et h

gi

∩ X 6= ∅.

Posons h

i

= h

f i

∪ h

gi

et U = Z − (X ∪ Y ),

si X ∪ Y ⊂ Z, alors f ⊲⊳

_Z

g = [(f

0

∨ ∨g

0

).h

1

.(f

1

∨ ∨g

1

) . . . h

k

.(f

k

∨ ∨g

k

)]∨ ∨U

^∗

sinon f ⊲⊳

_Z

g = [(f

0

∨ ∨g

0

).h

1

.(f

1

∨ ∨g

1

) . . . h

k

.(f

k

∨ ∨g

k

)]

|Z

.

Il est bien connu que l’entrelacs est une op´eration qui conserve la rationalit´e, et c’est ´egalement vrai pour le S-entrelacs. ✷

La composition au sens de [4] est la jointure sur Z = X ∆Y avec card(X) = card(Y ) = card(Z) = 2.

R´ ef´ erences

[1] J.-M. Autebert. Langages Alg´ebriques. Masson, 1987

[2] J.-M. Autebert, M. Latapy, S. R. Schwer, Le treillis des chemins de Delannoy, soumis ` a Discrete Mathematics.

[3] D. Krob, M. Latapy, J.-C. Novelli, H. D. Phan et S. R. Schwer, Pseudo-permutations I: First Combinatorial and lattice Properties, 13

^th

International Conference on formal power series &

algebraic combinatorics, 2001, May 20-26, Arizona State University.

[4] G. Ligozat. Intervalles g´en´eralis´es I et II. Comptes Rendus de l’Acad´emie des Sciences de Paris, s´erie A, Tome 310 (1990) 225-228 et 299–302

[5] L. Moser and H. S. Zayachkowski. Lattice paths with diagonal steps. Scripta Math. 26 (1963) 223–229

[6] J.L. Peterson. Petri Net Theory and the modeling of Systems. Prentice Hall, 1981

[7] S. R. Schwer. Fine covers of a VAS language. Theoretical Computer Science 95 (1992) 159–168

[8] S. R. Schwer. S-arrangements avec r´ep´etitions de tas I. soumis ` a Comptes Rendus de l’Acad´emie des Sciences de Paris.

[9] E. W. Weisstein. CRC Concise Encyclopaedia of Mathematics. CRC Press, 2000.