Pr´edicatsetconstructionsMoniqueTeillaud Arrangements

(1)

Arrangements

Pr´ edicats et constructions

Monique Teillaud

Dijon - octobre 2005 Arrangements - Pr´edicats et constructions

(2)

Balayage de segments

(3)

Bentley-Ottmann et robustesse

Connu pendant longtemps comme un algorithme

• tr`es instable en pratique,

• d’intérêt purement théorique, historique.

Impr´ecision des calculs −→ ´echec.

Utiliser des pr´edicats exacts, si possible pas de constructions.

Dijon - octobre 2005 Arrangements - Pr´edicats et constructions 2

(4)

Variantes

S ensemble de n segments dans le plan R².

• Pb1. Calculer les paires de segments de S qui se coupent.

• Pb2. Calculer l’arrangement A de S.

• Pb3. Calculer la carte des trap`ezes T de S.

Cellules de taille constante.

(5)

k = nb de points d’intersection : ≤ nb de paires qui se coupent.

nb d’arˆetes de A : ≤ n + 2k.

nb de murs de T : ≤ 2(n + k).

Tailles de A et T : O(n + k).

(6)

Probl`emes et pr´edicats

Pb1. Θ(n²) tests d’intersection

[p₀p₁] ∩ [p₂p₃] 6= ∅ Pb2. Description de A utilise

[p₀p₁] ∩ [p₂p₃] <_x [p₀p₁] ∩ [p₄p₅]

Pb3. Description de T utilise

[p₀p₁] ∩ [p₂p₃] <_x [p₄p₅] ∩ [p₆p₇]

(7)

Pr´ edicats et degr´ es

Pr´edicats utilis´es par B-O.

Pr´edicat1 : p₀ <_x p₁

Pr´edicat2 : p₀ <_y (p₁p₂)

Pr´edicat2’: [p₀p₁] ∩ [p₂p₃] 6= ∅ Pr´edicat3 : p₀ <_x [p₁p₂] ∩ [p₃p₄]

Pr´edicat4 : [p₀p₁] ∩ [p₂p₃] <_x [p₀p₁] ∩ [p₄p₅] Pr´edicat5 : [p₀p₁] ∩ [p₂p₃] <_x [p₄p₅] ∩ [p₆p₇]

Les prédicats i, i⁰ sont des signes d’expressions polynomiales de degré i en les coordonnées des points p_j.

(8)

Pr´edicat1 : p₀ <_x p₁

x₀ < x₁

degr´e 1

(9)

Pr´edicat2 : p₀ <_y (p₁p₂)

Test d’orientation.

orient(p₀p₁p₂) =

x₀ x₁ x₂ y₀ y₁ y₂

1 1 1

=

x₁ − x₀ x₂ − x₀ y₁ − y₀ y₂ − y₀

degr´e 2

(10)

Pr´edicat2’: [p₀p₁] ∩ [p₂p₃] 6= ∅

Si p₀ <_x p₂ if p₃ <_x p₁

if orient(p₀p₁p₂) × orient(p₀p₁p₃) < 0 then return true

else return false else

if orient(p₀p₁p₂) × orient(p₂p₃p₁) > 0 then return true

else return false

sinon on ´echange [p₀p₁] et [p₂p₃].

Pr´edicat2’ 7→ Pr´edicat2.

degr´e 2

(11)

I = [p_ip_j] ∩ [p_kp_l]

I = p_i + (p_j − p_i)N_I D_I

o`u

N_I = orient(p_ip_kp_l) D_I =

x_j − x_i x_k − x_l y_j − y_i y_k − y_l

= orient(p_ip_jp_k) − orient(p_ip_jp_l)

(12)

Pr´edicat3 : p₀ <_x [p₁p₂] ∩ [p₃p₄]

Pr´edicat4 : [p₀p₁] ∩ [p₂p₃] <_x [p₀p₁] ∩ [p₄p₅]

Pr´edicat5 : [p₀p₁] ∩ [p₂p₃] <_x [p₄p₅] ∩ [p₆p₇]

Formules explicites donn´ees par les coordonn´ees des points d’intersection.

(Reste un peu de travail pour montrer que le degr´e est le bon...)

(13)

Bentley-Ottmann est de degr´e 5.

Optimal en degr´e pour calculer la carte des trap`ezes T .

(14)

Compromis : complexit´ e combinatoire/alg´ ebrique

Pb1.

Calculer les paires de segments de S qui se coupent.

Algorithme naif en Θ(n²)

• optimal en degr´e,

• optimal en complexit´e dans le cas le pire.

Borne inf´erieure Ω(nlogn + k).

Il existe des algorithmes optimaux, et en degr´e 3.

(15)

Un balayage en degr´e 3 pour Pb1.

Entre deux extr´emit´es,

l’ordre entre points d’intersection est indiff´erent.

Prédicat3 : p₀ <_x [p₁p₂] ∩ [p₃p₄] doit être exact, pas les prédicats de plus haut degré.

(16)

Compromis : complexit´ e combinatoire/alg´ ebrique

Pb2.

Calculer l’arrangement A.

Algorithme simple :

• R´esoudre Pb1

• Trier les points d’intersection sur chaque segment.

O((n + k) log n), degr´e 4.

Borne inf´erieure Ω(nlogn + k).

(17)

Un balayage en degr´e 4 pour Pb2 ?

Intuition :

Entre deux intersections sur un mˆeme segment,

la pr´esence de points d’intersection d’autres segments est indiff´erente.

Prédicat4 : [p₀p₁] ∩ [p₂p₃] <_x [p₀p₁] ∩ [p₄p₅] doit être exact, pas les prédicats de plus haut degré.

(18)

Les courbes

(19)

Des petits pas

Géométrie algorithmique pour les courbes et les surfaces : travaux récents.

Projet europ´een ECG, 2001-2004 Effective Computational Geometry for Curves and Surfaces

Progr`es incr´ementaux : arcs de cercles, arcs de coniques, . . .

• G´en´eraliser les algorithmes,

deux courbes se coupent plus d’une fois

• Etude des pr´´ edicats/constructions encore plus cruciale, aspects alg´ebriques

• Programmation...

(20)

Arcs de cercles

Id´ee de base :

garder les donn´ees initiales pour faire les calculs, ´eviter de “cascader”.

Cercle : centre (α, β), carr´e du rayon r

C(x, y) = (x − α)² + (y − β)² − r = 0

α, β de degr´e 1, r de degr´e 2.

(21)

Repr´esentation des arcs

Une même représentation pour les arcs en entrée et en sortie.

Observation : C ∩ C⁰ = C ∩ L,

L = axe radical de C et C⁰. L(x, y) = C(x, y) − C⁰(x, y) L(x, y) = px + qy + s

Degré des coefficients de L = degré des coefficients donnés en entrée : p, q degré 1, s degré 2.

Extrémité ou point d’intersection : même représentation (cercle,droite).

Coordonnées = nombres algébriques de degré 2.

(22)

Comparaison de nombres alg´ebriques

Pr´edicat5 : [p₀p₁] ∩ [p₂p₃] <_x [p₄p₅] ∩ [p₆p₇]

Cas des segments : signes d’expressions polynomiales en les donn´ees.

degré = degré des expressions polynomiales dont on évalue le signe.

Cas des courbes : comparaison de nombres alg´ebriques.

degré = degré des polynômes dont on compare les racines.

M´ethode naive : Calculer les racines, comparer.

• racines carr´ees...

• comparaison exacte, arithm´etique coˆuteuse (leda::real, core)

(23)

Deux m´ ethodes alg´ ebriques

Notations :

x

_i

= L

_i

∩ C

_i

∈ {l

_i

, r

_i

}

l

₁

r

₁

l

₂

r

₂

(24)

A base de r´` esultants

l

₂

l

₁

t

A

₂

A

^t₂

A

₁

signe de t ?

t tq







C₁(x + t, y) = 0 L₁(x + t, y) = 0 C₂(x, z) = 0 L₂(x, z) = 0

a une solution x, y, z

• 1er ingrédient algébrique : résultant.

(25)

R´esultant

P(t) = P₀t⁴ + P₁t³ + P₂t² + P₃t + P₄

P_i polynômes en les donneés α_j, β_j, r_j, p_j, q_j, s_j degrés 8 à 12

659 monˆomes...

signe d’une racine t ? Simplifications n´ecessaires...

(26)

Remarque

(mais connaitre la configuration pr´ecise n’est pas toujours n´ecessaire)

(27)

• 2ème ingrédient algébrique : règle de Descartes

nombre de racines positives

=

nombre de changements de signes dans la suite P₀, . . . , P₄ De nouveau, des signes d’expressions polynomiales !

(28)

A base de suites de Sturm`

P₀, P₁ ∈ R[x]

Suite de Sturm = suite P₀, P₁, . . . , P_n ∈ R[x], n ≥ 1 tq

a_iP_i−1 = QP_i + b_iP_i+1, i = 1, . . . , n − 1,

pour Q ∈ R[x], a_i, b_i ∈ R, et a_ib_i < 0.

(29)

Théorème de Tarski Hypothèses :

• f₀, f₁ ∈ R[x] premiers entre eux

• f₀ sans facteurs carr´es,

• p < q ne sont pas des racines de f₀.

Alors pour toute suite de Sturm P = (f₀, f₀⁰f₁, . . .)

V_P(p) − V_P(q) = X

f₀(ρ)=0, p<ρ<q

sign(f₁(ρ)),

o`u V_P(p) : nb de variations de signes dans l’´evaluation de la suite de Sturm en p.

(30)

p < q non racines de f ∈ R[x],

nombre de racines distinctes r´eelles de f dans [p, q] :

V_f,f⁰(p) − V_f,f⁰(q).

(prendre f₀ = f, f₁ = 1 dans le th de Tarski) Th´eor`eme de Schwartz et Sharir

f₀, f₁ ∈ R[x] sans facteurs carr´es, p < q non racines de f₀,

V_f₀_,f₁(p) − V_f₀_,f₁(q) = X

f₀(ρ)=0, p<ρ<q

sign(f₀⁰(ρ)f₁(ρ)).

(31)

Il suffit de calculer

S(P) = sign(f₂(x₂)), S(P) = sign(f₂(x₁)) S(P) = sign(f₂⁰(x₂)), S(P) = sign(f₂⁰(x₁))

(32)

R´esultats des deux m´ethodes

Donnent (à peu de choses près) les mêmes signes d’expressions polynomiales pour la comparaison des nombres algébriques.

(33)

Arcs de coniques

Conique donnée par un polynôme de degré 2 en x, y.

Arc de conique ?

Pas d’axe radical pour deux coniques, mˆeme pas de droite rationnelle passant par C ∩ C⁰. . .

Extr´emit´e ou point d’intersection : (conique,conique).

Coordonnées = nombres algébriques de degré 4.

Comparaison : suites de Sturm plus faciles à généraliser que résultants.

Petits degr´es : suites de Sturm statiques.

Grands degr´es : calcul dynamique.