L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚9 Variables al´ eatoires discr` etes
Exercice 121 : Un forain poss`ede deux roues s´epar´ees en 10 secteurs ´egaux. Sur la premi`ere roue il y a 3 secteurs rouges et 7 blancs et sur la deuxi`eme, 1 vert et 9 blancs.
Un joueur lance les deux roues en mˆeme temps. Les gains sont distribu´es de la fa¸con suivante : 3 euros si la premi`ere roue tombe sur le secteur rouge et la deuxi`eme sur le secteur vert ; 1 euro si une seule des deux roues tombe sur un secteur blanc ;
0,5 euro si les deux roues tombent sur des secteurs blancs.
1. SoitGla variable al´eatoire ´egale au gain obtenu.
(a) D´eterminer la loi deG.
(b) Calculer l’esp´erance de G.
2. Le forain demande une mise initiale de m euros. On note X la variable al´eatoire ´egale au b´en´efice du forain.
(a) Donner une relation entreX,Getm.
(b) D´eterminer la mise minimale que doit exiger le forain pour que son b´en´efice moyen soit d’au moins 25 centimes d’euro par partie.
Exercice 122 : On jette un d´e blanc et un d´e rouge, tous deux ´equilibr´es, `a 6 faces num´erot´ees de 1 `a 6. On noteB (respectivementR) la variable al´eatoire ´egale au num´ero apparu sur le d´e blanc (respectivement rouge) et on pose X = Max(B, R). On se propose de calculer la loi de X de deux mani`eres (d’abord par un calcul direct, puis en passant par la fonction de r´epartition) et enfin de calculer la valeur moyenne deX.
1. Calcul direct de la loi deX
(a) D´eterminer l’ensembleX(Ω) des valeurs prises parX. (b) CalculerP(X=x) pour toutx∈X(Ω).
2. Calcul de la loi deX via sa fonction de r´epartition (a) Calculer la fonction de r´epartition deX. (b) En d´eduire la loi deX.
3. Calculer la valeur moyenne deX.
Exercice 123 : On lance un d´e `a 6 faces num´erot´ees de 1 `a 6. La probabilit´e de chacune des faces est proportionnelle au num´ero qu’elle porte. On appelleX la variable al´eatoire ´egale au nombre obtenu.
1. D´eterminer la loi deX. 2. D´eterminer l’esp´erance de X.
3. D´eterminer la variance deX. 4. D´eterminerE
1 X
.
Exercice 124 : On dispose de :
quatre urnes de couleurs diff´erentes : une rouge, une jaune, une verte et une bleue ; quatre boules de couleurs diff´erentes : une rouge, une jaune, une verte et une bleue.
On place au hasard une boule dans chacune des urnes.
1. Donner un espace de probabilit´es fini (Ω,P(Ω), P) associ´e `a cette exp´erience.
2. SoitX la variable al´eatoire ´egale au nombre d’urnes qui ont re¸cu la boule de couleur identique `a la leur.
(a) D´eterminer la loi deX. (b) D´eterminer l’esp´erance de X.
1
Exercice 125 : Soitk∈N∗. SoitkurnesU1, . . . ,Uk. Pour touti∈J1, kK, l’urneUi contientiboules blanches etk−iboules noires. On choisit une urne au hasard, de laquelle on tire une boule.
SoitX la variable al´eatoire ´egale au num´ero de l’urne sachant que la boule tir´ee est blanche.
1. D´eterminer la loi de X. On pourra introduire la variable al´eatoire U ´egale au num´ero de l’urne dans laquelle on a tir´e la boule.
2. Calculer l’esp´erance et la variance deX.
F Exercice 126 : Soitn∈N≥2. On effectue des tirages au hasard dans une urne contenantnboules num´erot´ees de 1 `a n. Un tirage consiste `a extraire une boule de l’urne, la boule tir´ee ´etant ensuite remise dans l’urne.
On noteN la variable al´eatoire ´egale au num´ero du tirage au cours duquel, pour la premi`ere fois, on a obtenu une boule d´ej`a obtenue auparavant.
1. Montrer queN(Ω) =J2, n+ 1K.
2. Montrer que : ∀k∈J1, nK,P(N > k) = Akn nk.
3. Montrer que : ∀k∈J2, nK,P(N=k) =P(N > k−1)−P(N > k).
4. CalculerP(N =n+ 1).
5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede la loi deN. 6. Montrer queE(N) =
n
X
k=0
Akn nk.
F Exercice 127 : Soitn∈N≥2. Soitk∈J1, n−1K. Une urne contientnboules num´erot´ees de 1 `an. On effectue ktirages sans remise. Soit X la variable al´eatoire ´egale au plus grand num´ero tir´e.
1. Soitm∈Jk, nK. Calculer P(X ≤m).
2. En d´eduire la loi deX.
3. Calculer l’esp´erance deX. On pourra utiliser la formule des colonnes d´emontr´ee dans l’exercice 65 (feuille d’exercices n˚4).
Exercice 128 : Dans chacune des exp´eriences qui suivent, reconnaˆıtre la loi deX, calculer son esp´erance, sa variance et la probabilit´e demand´ee.
1. On range au hasard 20 objets dans 3 tiroirs. On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre d’objets dans le premier tiroir et on s’int´eresse `aP(X = 20) etP(X = 10).
2. Un enclos contient 12 lamas et 15 dromadaires. On sort un animal au hasard. On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre de bosses et on s’int´eresse `aP(X= 1).
3. Un sac contient 26 jetons sur lesquels figurent les lettres de l’alphabet. On en tire 5 au hasard que l’on aligne afin de former unmot de 5 lettres. On noteX la variable al´eatoire ´egale au nombre de voyelles dans ce mot et on s’int´eresse `aP(X = 1).
4. Un ´elevage piscicole de 10 000 poissons contient 3000 truites et 7000 carpes. On pr´el`eve au hasard 100 poissons dans cet ´elevage. SoitX la variable al´eatoire ´egale au nombre de truites pr´elev´ees. On s’int´eresse
`
a P(X = 0).
5. Anne demande `a Nathalie de lui donner un nombre entier au hasard entre 0 et 100. Soit X la variable al´eatoire ´egale au nombre donn´e. On s’int´eresse `a P(25≤X ≤75).
6. On plante au hasard 50 fleurs dans 4 massifs. On noteX la variable al´eatoire ´egale au nombre de fleurs dans le premier massif. On s’int´eresse `aP(X = 25).
7. Dans la mangeoire d’un cheval, il y a deux types de granul´es : 2000 de couleur verte qui sont des nutriments et 50 de couleur jaune qui sont des m´edicaments. Tous les granul´es sont m´elang´es dans la mangeoire. Le cheval mange en une seule fois 30 granul´es. SoitX la variable al´eatoire ´egale au nombre de granul´es jaunes ing´er´es. On s’int´eresse `aP(X >0).
8. On suppose que 1% des tr`efles ont 4 feuilles. On cueille 100 tr`efles. On noteX la variable al´eatoire ´egale au nombre de tr`efles `a 4 feuilles cueillis et on s’int´eresse `aP(X >0).
9. On forme un jury de 6 personnes choisies au hasard dans un groupe compos´e de 5 hommes et 4 femmes.
On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre de femmes dans ce jury et on s’int´eresse `a P(X = 3).
2
Exercice 129 : SoitX une variable al´eatoire finie.
1. Montrer que siX ne prend qu’une valeur, alors sa variance est nulle.
2. Montrer la r´eciproque, i.e. montrer que si la variance deX est nulle, alorsX ne prend qu’une valeur.
Exercice 130 : On consid`ere un point M se d´epla¸cant sur un axe d’origine O, en partant deO et par saut d’une unit´e vers la droite avec probabilit´epet vers la gauche avec probabilit´eq(p∈]0,1[ etp+q= 1), les sauts
´
etant suppos´es ind´ependants. Le pointM faitnsauts (n∈N).
1. SoitYnla variable al´eatoire ´egale au nombre de sauts vers la droite. D´eterminer la loi deYn, son esp´erance et sa variance.
2. SoitXn la variable al´eatoire ´egale `a l’abscisse du point M apr`es lesnsauts.
(a) ExprimerXn en fonction deYn. (b) D´eterminerXn(Ω).
(c) Donner la loi deXn, son esp´erance et sa variance.
3. Quelle est la probabilit´e que le pointM soit revenu `a l’origine apr`es lesnsauts ?
Exercice 131 : Soitn∈N∗ et soit p∈]0,1[. On note X une variable al´eatoire r´eelle suivant la loi binomiale B(n, p). Les r´esultats deX sont affich´es sur un compteur d´efectueux.
Si X(ω)6= 0, alors le compteur afficheX(ω).
Si X(ω) = 0, alors le compteur affiche un nombre entier au hasard entre 1 etn.
SoitY la variable al´eatoire ´egale au nombre affich´e sur le compteur.
1. D´eterminer la loi deY. 2. CalculerE(Y).
3. Montrer queE(Y)≥E(X).
Exercice 132 : On dispose d’une boˆıte contenant trois objets appel´es A, B et C. Un jeu consiste en une succession de tirages d’un objet, avec remise dans la boˆıte apr`es chaque tirage. `A chaque tirage, le joueur gagne un euro s’il tire l’objetA, ne gagne ni ne perd rien s’il tire l’objetB et perd ce qu’il a gagn´e pr´ec´edemment s’il tire l’objetC. Pour toutn∈N∗, on noteXn la variable al´eatoire ´egale au gain du joueur, `a l’issue dentirages.
1. D´eterminer les lois deX1et de X2.
2. CalculerP(Xn =n) en fonction de n, pour toutn∈N∗.
3. ExprimerP(Xn+1= 0) en fonction deP(Xn= 0), pour toutn∈N∗, et en d´eduire la valeur deP(Xn= 0) en fonction den.
4. Soient aetndeux entiers naturels non nuls. Montrer l’´egalit´e suivante : P(Xn+1=a) = 1
3P(Xn=a) +1
3P(Xn=a−1).
5. Trouver une relation entre E(Xn) et E(Xn+1), pour tout n ∈ N∗, et exprimer E(Xn) en fonction de n∈N∗.
Exercice 133 (extrait de l’exercice de probabilit´es du sujet d’´ecrit 2009) :Nous disposons de trois d´es ´equilibr´es, chacun ayant quatre faces num´erot´ees de 1 `a 4.
L’un des d´es est rouge, un autre est bleu et le dernier est vert.
Nous jetons les trois d´es simultan´ement.X d´esigne la variable al´eatoire qui donne le maximum des trois nombres amen´es par les d´es.
1. Quelles sont les valeurs prises parX? 2. D´eterminer la fonction de r´epartition deX. 3. En d´eduire la loi deX.
Exercice 134 : On lance un d´e cubique ordinaire jusqu’`a obtenir un 6 et on appelleX le nombre de lancers n´ecessaires.
1. D´eterminer la loi deX, son esp´erance et sa variance.
2. D´eterminer le plus petit entierntel queP(X ≤n)≥0,9.
3
Exercice 135 : Le nombre d’appels t´el´ephoniques re¸cus par heure par un standardiste est mod´elis´e par une variable al´eatoireX suivant une loi de Poisson de param`etre 10.
1. Rappeler l’ensemble des valeurs prises par X ainsi que l’expression de la loi deX. 2. Calculer la probabilit´e d’avoir au moins 5 appels par heure.
3. Calculer le nombre moyen d’appels par heure.
Exercice 136 : Pauline doit ouvrir une porte. Pour cela, elle dispose d’un trousseau comportant 5 cl´es. La cl´e ouvrant la porte est sur le trousseau, mais Pauline ignore quelle est la bonne cl´e.
1. Pauline proc`ede au hasard, sans m´ethode. Soit X la variable al´eatoire ´egale au nombre d’essais r´ealis´es jusqu’`a ce qu’elle trouve la bonne cl´e. Donner la loi de X, son esp´erance et sa variance.
2. Pauline proc`ede cette fois au hasard, mais en ´eliminant les cl´es d´ej`a test´ees. SoitY la variable al´eatoire
´
egale au nombre d’essais r´ealis´es jusqu’`a ce qu’elle trouve la bonne cl´e. Donner la loi deY, son esp´erance et sa variance.
3. Discuter de la meilleure strat´egie `a adopter.
Exercice 137 : SoitX une variable al´eatoire suivant la loi g´eom´etrique de param`etrep, avecp∈]0,1[. Calculer P(X > k) pour toutk∈N.
Exercice 138 : Soit X une variable al´eatoire suivant la loi de Poisson de param`etreλ > 0. Montrer que la variable al´eatoireY = 1
X+ 1 admet une esp´erance et la calculer.
Exercice 139 : Soit X une variable al´eatoire sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) telle que X(Ω) = N et v´erifiant :
∀k∈N∗ P([X =k]) = 4
k P([X =k−1]).
Montrer queX suit une loi de Poisson dont on d´eterminera le param`etre.
F Exercice 140 : Soit X une variable al´eatoire sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) telle que X(Ω) ⊂ N. On d´efinit la variable al´eatoireY par :
Y =X siX est impair
Y = X
2 siX est pair.
1. D´eterminer la loi deY siX suit une loi de Poisson de param`etreλ >0.
2. D´eterminer la loi deY siX suit une loi g´eom´etrique de param`etrep∈]0,1[.
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