Bac, Pondichéry, 2007, Corrigé

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php

Terminale STG Pondichéry, Avril 2007 Sujets de Bac

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Baccalauréat STT Mercatique Pondichéry Avril 2007 - CORRIGE

Exercice 1

1. Pour tout réel x, ^ln

( )

^e^x ⁼^x donc on a ^ln

( )

^e⁻³ ^{= −}³ : réponse b.

2. Posons ² ³ ^{' 2}

'

x x

u x u

v e⁻ v e⁻

= + =

= = − et on obtient ^{f x}^{'( )}⁼^{u v v u}^' ⁺ ^' ⁼²ê⁻^x⁻ê⁻^x(²^x^{+ =}³) ê⁻^x(^{− −}²^x ¹) : réponse c.

3. En vingt ans, la population a doublé cad elle a été multipliée par 2. Si t désigne le taux d’évolution annuel moyen, on a ( )¹⁺^t ²⁰ ⁼² ^t⁼²²⁰¹ ^{− ≈}^{1 3.53%} : réponse c.

Exercice 2

Soit A l’évènement « l’enfant pratique l’activité A » et B l’évènement « l’enfant pratique l’activité B ».

1. D’après la loi des nœuds, la somme des probabilités à chaque nœud est égale à 1.

On en déduit l’arbre suivant : Pour calculer

2. On en déduit la probabilité de B sachant A : ^{p B}^A

( )

⁼^0.3^puisp BA

( )

=^0.1.

3. D’après la formule des probabilités totales, p B

( )

= p B A

( )

+p B A

( )

=0,18 0.04 0, 22+ = . 4. Soit E l’évènement « l’enfant ne pratique aucune activité » et F « l’enfant pratique au moins une

activité ».

a. On a E A B= donc ^{p E}

( )

⁼ ^{p A B}

( )

⁼^0.36^.

b. On peut raisonner de deux méthodes.

Méthode 1 : on remarque que F E= et du coups, ^{p F}

( )

^{= −}¹ ^{p E}

( )

⁼^0,64^.

Méthode 2 : on utilise le fait que F A B= et du coups, ^{p F}

( )

⁼ ^{p A}^{( )}⁺ ^{p B}^{( )}⁻^{p A B}

(

^∩

)

^{= =}^{... 0,64}^.

B B 0.3 0.7 0.6 A

0.4 A ^B

B 0.1 0.9

Rappel : pour calculer ^{p A B}

( )

, on multiplie les probabilités suitées sur les branches A et B.

• p A B

( )

=0.6 0.3 0,18× =

• p A B

( )

=0.6 0.7 0,42× =

• p A B

( )

=0.4 0.1 0,04× =

• p A B

( )

=0.4 0.9 0,36× =

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Exercice 3 PARTIE A 1. Interprétons les données du tableau :

a. Le nombre 37.5 de la case C3 signifie qu’entre les années 1970 et 1980, la consommation d’eau minérale des Français a augmenté d’environ 37,5% (arrondi à 0.1).

En effet, le taux d’évolution t est ^{55 40} 0,375 35,5%

t= 40− = = .

b. On peut écrire par exemple « =( 3B −B2)÷B2 100× ». Pour arrondir à 0.1%, on peut même écrire la formule « ⁼^{arrondi B}

(

^{( 3}⁻^B²⁾^÷^B^{2 100;1}^×

)

^».

2. a. Entre les années 1970 et 2000, le taux d’évolution est ^{149 40} 272.5%

t= 40− = , soit une hausse de 272,5%.

b. Le taux d’évolution décennal moyen au cours de ces trois décennies vérifie

(

¹⁺^T

)

³ ^{= +}^{1 2,725} ^T ⁼^3,725¹³ ^{− ≈}^{1 55%} arrondi à 0.1%.

c. Pour l’année 2010, on peut prévoir une consommation d’environ ^{149 1 0,55}^{× +}

( )

^≈²³¹ litres, et pour 2040, une consommation d’environ 149 1.55× ⁴ ≈860 litres.

PARTIE B

1. Le point moyen est le point qui a pour coordonnées

( )

^{x y}^, . Ici, nous avons ^G

(

^4.5;141.8

)

^.

2. A l’aide de la méthode des moindres carrés, on trouve que la droite d’ajustement a pour équation 6.3 113.4

y= x+ .

3. Pour tracer la droite, on place l’ordonnée à l’origine B et on trace la droite (BG) (en fait G ne vérifie pas l’équation à cause des arrondis).

4. a. Comme 2000 correspond au rang 5, 2010 correspond au rang x = 15.

Or pour x = 15, y=6.3 15 113.4 207.9× + = soit une consommation d’environ 208 litres (on avait trouvé 231 litres par la première méthode).

b. Voir le graphique.

c. En effet, c’était prévisible puisqu’on compare une méthode d’approximation à progression géométrique (partie A) et arithmétique (méthode B).

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3

Exercice 4 1. a. On lit f(0) = -1.

b. La courbe intercepte deux fois l’axe des abscisses, l’équation f(x) = 0 admet donc deux solutions.

c. On constate que la courbe admet une seul tangente horizontale (en son sommet), l’équation f ‘(x) = 0 admet donc une seule solution.

2. f ’(0) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0 : cette tangente est D.

Cette droite passe par les points 1 0

0 , 1

A − B

− . Son coefficient directeur est donc ^B ^A 1

B A

y y a x x

= − = −

− ^.

3. Le tableau de variations de la fonction et le tableau de signe de la dérivée f ’ sont :

- C₃ ne convient donc pas, le signe de la fonction qu’elle représente n’est pas celui de f ‘.

- C₁ ne convient pas non plus puisque f ‘(0) = -1.

Ainsi, la fonction f ’ est représentée par C₂.

x -2 α 2

f (x) f(-2)

f(α)

f(2)

f ' (x) - 0 +

A

G

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-1 150 170 190 210

0 1

110 130

x y

A

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Partie B On admet ici que ( ) 1 ² 2 1.5

2

f x = e x− x− . 1. f(0) = -1.5 puisque e⁰ =1.

2. a. Nous savons que

( )

êû ^'⁼^{u e}^' û^donc ^{f x}^{'( )}⁼ê²^x⁻² ( on retrouve bien f’(0) = -1).

b. Nous avons : e^x− ≥ ⇔2 0 e^x ≥ ⇔2 ln( ) ln(2)x ≥ puisque la fonction ln est croissante.

c. Ainsi, la fonction f est croissante sur [ln(2);2] et le sommet a pour abscisse ln(2).