Devoir de math´ ematiques n o 11 - 1` ereS
9 mai 2011 - 1H Exercice 1
Une machine remplit automatiquement des sachets d’´epices. On pr´el`eve un ´echantillon de la production ; apr`es pes´ee, on obtient la distribution des masses de sachets suivante.
Masse en g <38 <39 <39,5 <40 <40,5 <41 <41,5 <42 <42,5 <43 <43,5 <44
Effectif 0 3 8 18 31 51 69 84 84 95 99 100
.
1. Compl´eter le nouveau tableau ci-dessous donnant les effectifs par classes.
Masse en g [38; 39[ [39; 39,5[ [39,5; 40[ [40; 40,5[ [40,5; 41[
Effectif 3 5 10
Masse en g [41; 41,5[ [41,5 : 42[ [42; 42,5[ [42,5; 43[ [43; 44[
Effectif 5
(on arrondira au dixi`eme)
2. Calculer la moyenne de cette s´erie statistique.
3. Calculer l’´ecart-type de la distribution des masses des sachets d’´epices.
4. La production de la machine est jug´ee bonne si la s´erie des mesures de l’´echantillon remplit les trois conditions suivantes :
- la moyenne xappartient `a [40,5; 41] ; - l’´ecart-typesest strictement inf´erieur `a 2 ;
- au moins 90 % de l’effectif figure dans [x−2s;x+ 2s].
La production est-elle bonne ?
Exercice 2
Dans un rep`ere (O;−→i ,−→j ) du plan, on consid`ere le pointAde coordonn´ees polaires (2;π 6), et les pointsB et Cdont les coordonn´ees cart´esiennes respectives sont (–√
3; –1) et (2; 0).
Dans tout l’exercice, les angles seront donn´es avec leur mesure principale.
1. Calculer les coordonn´ees polaires du pointB : que peut-on dire des pointsO,Aet B? 2. SoitI le milieu de [BC] ; donner les coordonn´ees cart´esiennes deI.
3. Quelle est la nature du triangleOBC? En d´eduire la mesure de l’angle (−→i ,−→
OI).
4. Donner les coordonn´ees polaires deI, et en d´eduire les valeurs exactes de cos(−5π
12) et sin(−5π 12).
(il n’est pas demand´e de simplifier au maximumsin(−5π 12))
Exercice 3
1. On donne cosa=
√6 +√ 2
4 et a∈[0;π
2[ : calculer cos 2aet en d´eduirea.
2. R´esoudre sur [0; 2π[, l’´equation√
3 + 2 sin(x−π 4) = 0
3. En utilisant les formules de duplication, factoriser l’expression :A(x) = 1 + cos 2x+ cosx et r´esoudreA(x) = 0 dans ]−π;π].
4. En utilisant les formules d’addition et de duplication, montrer que pour tout r´eelx6= kπ
2 , aveck∈Z, sin 3x
sinx −cos 3x cosx est une constante que l’on pr´ecisera.
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