Devoir de math´ ematiques n
o6 - TES
15 janv 2010 - 1H
Exercice 1 (7 points)
La courbeCrepr´esente, dans le plan muni d’un rep`ere orthogonal, une fonctionf d´efinie dans l’intervalle [−1 ; 6]. On sait que la courbeC :
• coupe l’axe des ordonn´ees au point A d’ordonn´ee 3, et l’axe des abscisses au pointB d’abscisse b;
• admet une tangente parall`ele `a l’axe des abscisses au point d’abscisse 2 ;
• admet la droite TA pour tangente au pointA.
Partie A : Etude graphique de la fonction f
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
O 1 6
1
x y
A
(TA)
B
C
1. Lire graphiquement :f(−1), f(0), f(2),f(5) et f(6).
2. R´esoudre graphiquement sur [−1 ; 6] : f(x)>0 3. D´eterminer graphiquement :f′(0) etf′(2).
Partie B : Etude de la fonction g= lnf
On ´etudie maintenant la fonctiong qui `ax associe g(x) = ln[f(x)].
1. Pr´eciser l’intervalle de d´efinition I de la fonctiong.
2. D´eterminer la limite de la fonction gquand x tend vers b.
3. Etudier les variations de la fonctiong sur l’intervalle I.
4. Calculerg′(0) puisg′(2).
5. R´esoudre dans I, l’in´equation g(x)>−ln 2.
Exercice 2 (4 points) 1. Trouver le plus petit entiern qui v´erifie : 1−0.92n ≥0.99.
2. R´esoudre l’´equation : ln(x−2) + ln(x+ 3) = ln 6.
Exercice 3 (9 points)
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire g d´efinie sur [2; 20] par g(x) =x−2−2 ln(x)
1. Etudier les variations de la fonctiong et dresser son tableau de variations.
2. Montrer que la fonction g s’annule exactement une fois sur [2; 20] ; indiquer la valeur arrondie au dixi`eme de ce nombre. En d´eduire le signe de la fonction gsur [2; 20].
Partie B : Etude de la fonction f d´efinie sur ]2; 20] par f(x) = xlnx
x−2
Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthogonal ; C d´esigne la courbe repr´esentative de la fonctionf. 1. Montrer que la d´eriv´eef′(x) = g(x)
(x−2)2 sur ]2; 20] ; en d´eduire les variations de f.
2. D´eterminer la limite def en 2 et interpr´eter graphiquement ; dresser le tableau de variations de f. 3. ConstruireC dans le rep`ere ci-dessous.
