Intégrales à paramètres
¦ SoientI etJdeux intervalles deR, non vides et non réduits à un point etK=RouC.
I. Continuité et dérivabilité
Rappel 1 – Une caractérisation des fonctions de classeCk
Soient f :I→Kune fonction et k∈N∪{∞}. On a équivalence entre : (i) La fonction f est de classeCksur I ;
(ii) Pour tout segment[a,b]⊂I , la fonction f est de classeCksur[a,b].
Théorème 2 – Continuité des intégrales à paramètres Soit une fonction f :I×J→R(de deux variables). Si :
• ∀x∈I , la fonction t∈J7→f(x,t)est continue par morceaux sur J ;
• ∀t∈J , la fonction x∈I7→f(x,t)est continue sur I ;
• Il existe une fonctionϕ:J→Rpositive, continue par morceaux et intégrable sur J telle que :
∀x∈I, ∀t∈J, ¯
¯f(x,t)¯
¯Éϕ(t) Alors la fonction F :xmap st o
Z
J
f(x,t) dt est (définie et) continue sur I .
1
Théorème 3 – ClasseC1 pour les intégrales à paramètres Soit une fonction f :I×J→R(de deux variables). Si :
• ∀x∈I , la fonction t∈J7→f(x,t)est continue par morceaux et intégrable sur J ;
• ∀t∈J , la fonction x∈I7→f(x,t)est de classeC1sur I ;
• ∀x∈I , la fonction t∈J7→∂f
∂x(x,t)est continue par morceaux sur J ;
• Il existe une fonctionϕ:J→Rpositive, continue par morceaux et intégrable sur J telle que :
∀x∈I, ∀t∈J,
¯
¯
¯
¯
∂f
∂x(x,t)
¯
¯
¯
¯Éϕ(t) Alors la fonction F :x7→
Z
J
f(x,t) dt est (définie et) de classeC1sur I et :
∀x∈I, F0(x)= Z
J
∂f
∂x(x,t) dt Théorème 4 – Extension aux fonctions de classe Ck
Soient k∈N∗et une fonction f :I×J→R(de deux variables). Si :
• ∀x∈I , la fonction t∈J7→f(x,t)est continue par morceaux et intégrable sur J ;
• ∀t∈J , la fonction x∈I7→f(x,t)est de classeCksur I ;
• ∀x∈I ,∀p∈ 1,k, la fonction t∈J7→ ∂pf
∂xp(x,t)est continue par morceaux sur J ;
• Pour tout p∈ 1,k, il existe une foncitonϕp :J→Rpositive, continue par mor- ceaux et intégrable sur J telle que :
∀x∈I,∀t∈J,
¯
¯
¯
¯
∂pf
∂xp(x,t)
¯
¯
¯
¯Éϕp(t) Alors la fonction F :x7→
Z
J
f(x,t) dt est (définie et) de classeCksur I et :
∀x∈I, ∀p∈ 1,k, F(p)(x)= Z
J
∂pf
∂xp(x,t) dt
Remarque. On peut étendre ceci aux fonctions de classe C∞.
II. Suites et séries de fonctions
Rappel 5 – Le critère séquentiel
Soient f :I→Kune fonction, a adhérent à I et`∈R. On a équivalence entre : (i) f(x)−−−→
x→a `;
(ii) Pour toute suite(xn), à valeurs dans I , telle que xn−−−−−→
n→+∞ a, on a f(xn)−−−−−→
n→+∞ `.
2
Théorème 6 – Convergence dominée
Soit(fn)nÊn0une suite de fonctions définies sur I et à valeurs dansRouC. Si :
• Pour tout nÊn0, la fonction fnest continue par morceaux sur I ;
• La suite de fonctions(fn)nÊn0converge simplement sur I vers une fonction f ;
• La fonction f est continue par morceaux sur I ;
• Il existe une fonctionϕcontinue par morceaux et intégrable sur I telle que :
∀x∈I,∀nÊn0, ¯
¯fn(x)¯
¯Éϕ(x)
Alors pour tout nÊn0, la fonction fnest intégrable sur I , la fonction f est intégrable sur I et :
Z
I
fn(x) dx−−−−−→
n→+∞
Z
I
f(x) dx
Théorème 7 – Échange série intégrale avec convergence dominée SoitP
nÊn0fnune série de fonctions définies au moins sur I . Si :
• Pour tout nÊn0, la fonction fnest continue par morceaux et intégrable sur I ;
• La sérieP
nÊn0fnconverge simplement sur I et sa somme f est continue par mor- ceaux sur I ;
• La série numériqueP
nÊn0
R
I|fn(t)|dt converge,
alors la fonction f est intégrable sur I , la série (numérique)P
nÊn0
R
I fnconverge et : Z
I
f(x) dx=
+∞X
n=n0
Z
I
fn(x) dx
Les résultats à connaitre
• Théorème de convergence dominée.
• Échange série intégrale avec convergence dominée.
• Continuité pourx7→R
J f(x,t) dt.
• Classe C1pourx7→R
J f(x,t) dt.
• Classe Ckpourx7→R
J f(x,t) dt.
Quelques objectifs du chapitre
• Savoir établir des propriétés d’une fonction définie par une intégrale dépendant d’un paramètre.
En pratique
Ï
Comment déterminer la limite d’une intégrale ?
Pour déterminer la limite d’une intégraleIndépendant d’un paramètrenlorsquen→ +∞, on peut :
• Appliquer le théorème de convergence dominée ;
• Appliquer le théorème d’échange limite intégrale avec convergence uniforme ou convergence normale (se théorème ne s’applique qu’à des intégrales sur des seg- ments) ;
• Établir des majorations et minorations pour pouvoir appliquer le théorème d’encadre- ment.
Pour déterminer la limite d’une intégraleI(x) dépendant d’un paramètrexlorsquex→a, on peut :
• Considérer une suite quelconque (xn) telle quexn−−−−−→
n→+∞ a, considérer les intégrales In=I(xn) associées et appliquer le théorème de convergence dominée. Si la limite` obtenue est indépendante du choix de (xn), alorsI(x)−−−→
x→a `;
• Établir des majorations et minorations pour pouvoir appliquer le théorème d’encadre- ment.
Ï
Comment échanger une série et une intégrale ?
Pour obtenir une égalité de la forme Z
I
µ+∞
X
n=0
fn(t)
¶ dt=
+∞X
n=0
µZ
I
fn(t) dt
¶
on peut :
• SiIest un segment,I=[a,b], appliquer le théorème d’échange série intégrale avec convergence normale ou convergence uniforme (chapitre sur les séries de fonctions) ;
• Pour un intervalleI quelconque, appliquer le théorème d’échange série-intégrale avec la conditionP R
I|fn|converge ;
• Considérer les intégrales : IN =
Z
I N
X
n=0
fn(t) dt=
N
X
n=0
Z
I
fn(t) dt et appliquer le théorème de convergence dominée ;
• Écrire l’intégraleI sous la forme : I=
Z
I
à N
X
n=0
fn(t)+
+∞X
n=N+1
fn(t)
! dt=
N
X
n=0
Z
I
fn(t) dt+ Z
I +∞X
n=N+1
fn(t) dt
=uN
et montrer queuN−−−−−→
N→+∞ 0 (en général par un encadrement).
Dans tous les cas, ne pas oublier de justifier la convergence des intégrales et des séries utilisées.
Ï
Comment étudier une fonction définie par une intégrale ?
Appliquer les théorèmes (continuité, caractère C1) du cours.
Ï
Comment déterminer un équivalent d’une intégrale dépendant d’un paramètre ?
On pourra penser aux techniques suivantes :
• Changement de variable, par exemple pour faire sortir le paramètre de l’intégrale ;
• Intégration par parties pour écrire l’intégrale sous forme d’une somme de deux termes (le crochet et une autre intégrale) et montrer que l’un des termes (le crochet en général) et prépondérant ;
• Découper l’intervalle d’intégration pour mettre en évidence des quantités prépondé- rantes ;
• Décomposer la fonction dans l’intégrale pour mettre en évidence des quantités pré- pondérantes ;
• Deviner l’équivalent et se ramener à un problème de recherche de limite.
Illustrations du cours
Exercice 1Le théorème de continuité. Démontrer que f :x7→
Z +∞
1
1 tx(1+t)dt est définie et continue surR+∗.
Exercice 2Le théorème de classeC1. Soit f :x7→
Z +∞
0
e−tsin(xt)
t dt
Montrer quef est de classe C1surR. Calculer f(x).
Exercice 3Le théorème de classeCk. Justifier l’existence de la fonctionF définie surRpar :
∀x∈R, F(x)= Z +∞
0
1−cos(xt) t2 e−tdt
Montrer queF est deux fois dérivable surR, calculerF0etF00et en déduireF. Exercice 4Le théorème de convergence dominée (1). Calculer lim
n→+∞
Z +∞
0
nsin(x/n) x(1+x2) dx.
Exercice 5Le théorème de convergence dominée (2). Déterminer lim
n→+∞
Z 1
0
e−x/n 1+x2dx.
Exercice 6Le théorème de convergence dominée (3) : avec un critère séquentiel. Démontrer que
Z 1 0
e−t
1+t/xdt−−−−→
x→0+ 0
Exercice 7Échange série intégrale. Soita∈]−1, 1[. Montrer la convergence de l’intégrale Ia=
Z +∞
1
e−t a+tdt puis montrer queIa=
+∞X
n=0
(−1)nJnanen posant, pourn∈N,Jn= Z +∞
1
e−t tn+1dt.
Exercice.À faire vous-même pour voir si vous avez compris. On considère la fonctionF définie par la relation :
F(x)= Z +∞
0
e−xt 1+t2dt
(a) Démontrer que le domaine de définition deF est [0,+∞[.
(b) Démontrer queF est continue sur [0,+∞[.
(c) Démontrer queF est dérivable sur ]0,+∞[.
(d) Déterminer la limite deF en+∞.
Vrai/Faux
On veut appliquer le théorème de convergence dominée sur l’intervalle ]0,+∞[ à la suite de fonctions (fn)nÊ1définie par :
∀nÊ1, fn:t7→ 1 (1+t)n
(1) La suite de fonctions (fn) converge simplement sur ]0,+∞[ vers la fonction nulle.
(2) Il existe une fonctionϕ:]0,+∞[→Rpositive, continue par morceaux et intégrable sur ]0,+∞[ telle que :
∀nÊ1, ∀t∈]0,+∞[, ¯
¯fn(t)¯
¯Éϕ(t)
On veut appliquer le théorème de convergence dominée sur l’intervalle [0,+∞[ à la suite de fonctions (fn)nÊ1définie par :
∀nÊ1, fn:t7→ 1 (1+t2)n
(3) La suite de fonctions (fn) converge simplement sur [0,+∞[ vers la fonction nulle.
(4) Il existe une fonctionϕ: [0,+∞[→Rpositive, continue par morceaux et intégrable sur [0,+∞[ telle que
∀nÊ1, ∀t∈[0,+∞[, ¯
¯fn(t)¯
¯Éϕ(t)
On veut appliquer le théorème de continuité à la fonction : F :x7→
Z +∞
0
f(x,t) dt avec f(x,t)= t 1+te−xt
(5) Pour toutx∈[0,+∞[, la fonctiont7→ f(x,t) est continue par morceaux sur [0,+∞[ ; (6) Pour toutt∈[0,+∞[, la fonctionx7→ f(x,t) est continue sur [0,+∞[ ;
(7) Il existe une fonctionϕ: [0,+∞[→Rcontinue, positive et intégrable sur [0,+∞[ telle que :
∀x∈[0,+∞[,∀t∈[0,+∞[, ¯
¯f(x,t)¯
¯Éϕ(t) On veut appliquer le théorème de continuité à la fonction :
F :x7→
Z +∞
−∞
f(x,t) dt avec f(x,t)= 1
1+t2e−ixt
(8) Pour toutx∈R, la fonctiont7→f(x,t) est continue par morceaux surR; (9) Pour toutt∈R, la fonctionx7→f(x,t) est continue surR;
(10) Il existe une fonctionϕ:R→Rcontinue, positive et intégrable sur [0,+∞[ telle que :
∀x∈R, ∀t∈R, ¯¯f(x,t)¯¯Éϕ(t) On veut appliquer le théorème de classe C1à la fonction :
F :x7→
Z +∞
−∞
f(x,t) dt avec f(x,t)= 1
1+t2e−ixt
(11) Pour toutx∈R, la fonctiont7→f(x,t) est continue par morceaux surR; (12) Pour toutx∈R, la fonctiont7→f(x,t) est intégrable surR;
(13) Pour toutt∈R, la fonctionx7→f(x,t) est de classe C1surR; (14) Pour toutx∈R, la fonctiont7→∂f
∂x(x,t) est continue par morceaux surR.
(15) Il existe une fonctionϕ:R→Rcontinue, positive et intégrable sur [0,+∞[ telle que :
∀x∈R, ∀t∈R,
¯
¯
¯
¯
∂f
∂x(x,t)
¯
¯
¯
¯Éϕ(t)
On veut appliquer le théorème d’échange série intégrale avec convergence dominée pour obtenir :
Z +∞
0
µ+∞
X
n=0
fn(t)
¶ dt=
+∞X
n=0
µZ +∞
0
fn(t) dt
¶
avec fn:t7→(−1)ntn−12
(16) Pour toutn∈N, la fonction fnest continue par morceaux sur ]0, 1].
(17) Pour toutn∈N, la fonction fnest intégrable sur ]0, 1].
(18) La série de fonctionsX
fnconverge simplement sur ]0, 1].
(19) La sommef =
+∞X
n=0
fnde cette série de fonctions est continue par morceaux sur ]0, 1] ; (20) La série numériqueX
Z 1
0
¯
¯fn(t)¯
¯dtconverge.
1V2F3F 4V5V6V
7F8 V9 V1 0V11V 12V13 V14V
15F 16V17V18 V1 9V20F
8
