Exercice 2 « Limites et continuité »

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Exercice 2 « Limites et continuité »

Exercice 2 Calculer les limites suivantes (avec solution)

Correction Exercice 2

Puisqu’on a à calculer une limite au voisinage de 0

d’une expression où on utilise la valeur absolue, on calculera donc la limite à droite et à gauche de 0 séparément.

On a une forme indéterminée ; et ; D’où :

Au voisinage de 1 on a :

D’où :

 

2 2

2 2

0 1 1

2 2

1 0 2 3

4 2

2 2 2

lim lim lim 1 1

lim lim lim 9

1 3

lim lim 2 lim 2 2

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x

 

  

 

  

  

 

 

  

  

 

  

  

   

  ^{1 2}

1 1 x x

x







0 2

lim 2



 



x

x x

x x

 

 

2 2

0 0

0

0

2 2

lim = lim

= lim 3

1 = lim 3 3

1

 





 





 

  



  

x x

x

x

x x x x

x x x x

x x x

x

 

 

2 2

0 0

0

0

2 2

lim = lim

= lim

1 = lim 1 1

1

 





 





  

  



 

x x

x

x

x x x x

x x x x

x x x

x

 

2 1 2

2 2 lim

 1



 



x

x x

  ^{  }

2 2

2 2 x 2 1x 2 1x 1x

 

  

 

 

 



 



2

2 2

1 1

1 1

2 1 1

2 2

lim lim

1 1

lim 2 1 lim 1 0 1

 

 

 



 

 

 

 

     



x x

x x

x x

x

x x

x car x

x

 

 

2

1 1

lim lim 1 0

1

 



 

    



x x

x car x

x

2

1

lim 1



 



x

x x

x ^{x2x x}



^1x





^{car x 2x}



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on a : D’où :

0 2 0

lim lim

1 1

x x

x x

x x x

x

 

 

 

  

0

lim 1 0

1 1

x

x

 

 

 

Car

0

lim 1 1

x^{ } x  

Au voisinage de 3 à droite on a ;

  

      

2

2

3 3

3

3 3

lim 9 lim 9 3 3

3 3

lim 3 6

’ :

x x

x

x x

x x x x identité r

D o emarquable

x x

x

ù  



 



 

     

 

  

on a Donc :

 

2

1 1

1

lim lim 1

1 1

lim 1

 



 



 

  

 

x x

x

x x x x

x x

x

0 2

lim





x  x

x x ^{x2x  x 11  x 11}



car à guauche de ⁰ x ^{ }x



x x

2 3

lim 9 3

 

 



x

x x

3  x x 3

4

lim

 2



 ^x 

x

x ^{xl i m}_^4



^{2  x}



^{ 0 lim}_x4^ _2^x _x ^{  }

 

²

 

²

2 2 2

2 2

2 2 2

lim lim lim

2 2 2

1 1

lim lim

2 2

  

 

  

 

  

   

   

 

       

   

x x x

x x

x x x

x x x

x ca r x

  

   

   

1 2 1

1 2

1 2

1 1

lim lim

1 1 1

lim 1

1 1

lim 1

1 1

 





 





 

 

  

 

 

  

 

x x

x

x

x x x x

x x x

x x

x x

x x

x x

   

 

1

1

lim 1

1 1

lim 1

1









   

 

 

  

  

 

x

x

x

x x

car x