Terminale S Devoir maison n˚12 2016-2017
A rendre le vendredi 17 février 2017
EXERCICE 1 On se propose d’étudier une modélisation d’une tour de contrôle de trafic aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites de l’espace.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal O, −→ ı , −→
, −→
k d’unité 1 km. Le plan O, −→ ı , −→
représente le sol.
Les deux « routes aériennes » à contrôler sont représentées par deux droites (D1) et (D2) , dont on connaît des représentations paramétriques :
(D1)
x = 3 +a y = 9 + 3a z = 2
avec a∈R (D2)
x = 0,5 + 2b y = 4 +b z = 4−b
avec b∈R. 1. Prouver que les droites (D1) et (D2) ne sont pas coplanaires.
2. On veut installer au sommet S de la tour de contrôle, de coordonnées S(3 ; 4 ; 0,1), un appareil de surveillance qui émet un rayon représenté par une droite notée (R) . Un technicien souhaite savoir s’il est possible de choisir la direction de (R) pour que cette droite coupe chacune des droites (D1) et (D2).
(a) Montrer que S n’appartient ni à (D1) ni à (D2).
(b) Soit (P1) le plan contenant S et (D1) et soit (P2) le plan contenant S et (D2). Montrer que les plans (P1) et (P2) sont sécants.
(c) On note ∆ la droite d’intersection des deux plans (P1) et (P2).
Montrer que (D1) et ∆ sont sécantes. (On pourra raisonner par l’absurde).
On démontre de même que (D2) et ∆ sont sécantes (d) Répondre au problème que se pose le technicien.
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EXERCICE 2 Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d’unité 1 cm, on considère les points A(0 ; −1 ; 5), B(2 ; −1 ; 5), C(11 ; 0 ; 1), D(11 ; 4 ; 4).
Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde.
Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde.
A l’instant t= 0 le point M est en A et le pointN est en C.
On note Mt et Nt les positions des points M et N au bout de t secondes, t désignant un nombre réel positif.
On admet queMt etNt, ont pour coordonnées : Mt(t; −1 ; 5) etNt(11 ; 0,8t; 1 + 0,6t).
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1. (a) La droite (AB) est parallèle à l’un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?
(b) La droite (CD) se trouve dans un planP parallèle à l’un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK).
Lequel ?
(c) Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ? 2. (a) Montrer queMtNt2 = 2t2−25,2t+ 138.
(b) A quel instant tla longueurMtNt est-elle minimale ?
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EXERCICE 3
ABCDEF GH est un pavé droit.
K est le centre de gravité du triangleACH.
Montrer queD,K etF sont alignés et donner la position de K sur le segment [DF].
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