MATHÉMATIQUES
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} DURÉE : 2 HEURES
178 ANNALES PASSERELLE CONCOURS 2016
MA THÉMA TIQUES PASSERELLE 1 SU JET
Exercice 1
Soitfl’endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canoniqueBcdeR3estA=
5 5 −14 6 6 −16 5 5 −14
.
Soitgl’endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canoniqueBcdeR3estB=
8 4 −16 0 4 −8 4 4 −12
.
On noteI=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
Soient les vecteurs deR3d´efinis par:X0=
1 0 1
,X1=
0
−1 1
et∀n∈N, Xn+2=AXn+1+BXn. Le but de cet exercice est de d´eterminer une expression deXnen fonction den.
1.CalculerX2.
2.a) D´eterminer le rang des matricesA,A−IetA+ 4I.
b) En d´eduire que les sous-espacesE={X∈R3;AX= 0},F={X∈R3;AX=X}et G={X∈R3;AX=−4X}sont tous de dimension 1.
c) D´etermineruun vecteur qui engendreE,vun vecteur qui engendreFetwun vecteur qui engendre G.
d) Montrer que la familleB= (u, v, w) est une base deR3, puis ´ecrire la matrice de passagePde la base canoniqueBc`a cette nouvelle baseB.
Dans la suite de l’exercice, il n’est pas n´ecessaire de calculerP−1.
3.D´eterminer la matrice defdans la baseB, not´eeD. D´eterminer la matrice degdans la baseB, not´ee ∆. Ecrire une relation matricielle entreAetD, puis une entreBet ∆.
4.Pour toutn∈N, on poseYn=P−1Xn=
xn
yn
zn
.
a) Montrer queY0=−v+ 2wetY1=−u−3v+ 4w.
b) Montrer que:∀n∈N,Xn+2=AXn+1+BXn ⇐⇒ Yn+2=DYn+1+ ∆Yn.
c) Montrer que:∀n0,xn= ((−1)n−1)2n−2,∀n1,yn=−3 et∀n0,zn= (−1)n(1−2n)2n+1. 5.D´eterminer une expression deXnen fonction den.
Exercice 2
1.D´eterminer le domaine de d´efinition et la d´eriv´ee sur ce domaine de la fonctionf:x→ln(1 +ex).
2. D´eterminer la solutionyde l’´equation diff´erentielle (1 +ex)y+exy= 1 v´erifianty(ln(2)) =1 3. On pourra chercher une solution particuli`ere sous la formex→λ(x)e−f(x).
1
Concours Passerelle 2016 - Epreuve de Mathématiques- 1ère année - Page 2 sur 3
ANNALES PASSERELLE CONCOURS 2016 179
MA THÉMA TIQUES PASSERELLE 1 SU JET
Vous traiterez au choix l’exercice 3 ou l’exercice 4.
Exercice 3
1.Soitn∈N∗. En calculant de deux mani`eres la d´eriv´ee de la fonctionf:x→ n k=0
xksurR\{1},
montrer que:∀x∈R\{1}, n k=1
kxk−1=(n+ 1)(xn+1−xn)−xn+1+ 1
(x−1)2 .
Soitn∈N∗. Une boite contient 2 boules portant le num´ero 0 et pour tout entierkcompris entre 1 etn, 2kboules portant le num´erok.
2.Justifier que la boite contient 2n+1boules.
3.On tire une boule de cette boite et on noteXla variable al´eatoire associ´ee au num´ero obtenu.
a) Donner la loi deX.
b) D´eterminer l’esp´eranceE(X) deX. Donner un ´equivalent deE(X) lorsquen→+∞.
4.On tire une `a une avec remise deux boules de la boite et on appelleY la variable al´eatoire associ´ee au plus grand des num´eros obtenus sur les deux tirages.
a) D´eterminer la probabilit´eP(Y= 0), puis pour toutk1,P(Y k).
b) En d´eduire la loi deY.
c) D´eterminer l’esp´eranceE(Y) deY. Donner un ´equivalent deE(Y) lorsquen→+∞.
Exercice 4 On poseI=
1 0
t−1
ln(t)dtet pourx∈]0,1[,Ix= x
0
t−1
ln(t)dtetJx= x2
x
dt t−1. 1.Ecrire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 en 1 de la fonctiont→ln(t).
2.Justifier l’existence deIet deIxpour toutx∈]0,1[.
3.Montrer que lim
x→1Jx= ln(2).
4.Soitx∈]0,1[. Justifier queIx= x
0
2t ln(t2)dt−
x 0
dt ln(t)=
x2 x
dt ln(t). 5.En d´eduire que lim
x→1(Ix−Jx) = 0, puis d´eterminer la valeur deI.
Bar`eme: Exercice 1=10 pts ; exercice 2=4 pts ; exercice 3=6 pts ; exercice 4=6 pts.
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