Primitives 4

Primitives

4^ème math B.H.Hammouda Fethi

I/Définition :

Soit f et F deux fonctions définies sur un intervalle I . On dit que F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et F x'

 

 

Exemple :

Activité 2 page 97 Théorème1 :

Toute fonction continue sur un intervalle I admet au moins une primitive sur I.

Théorème2 :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I .Si F et G sont deux primitives de f sur I , alors la fonction F-G est une constante sur I.

Corollaire :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I .Soit x₀ un réel de I et y₀un réel .alors il existe une unique primitive F de f sur I telle que F x

 

Exercice :

Soit f la fonction définie sur IR par : f x

 

 

II/ Primitive des fonctions usuelles :

La fonction f I La primitive F

xa IR xax b

xxⁿ , nIN^* IR ¹ 1 xn

x c

n

  

 x ¹_n

 x , nIN\ 0,1

  







1 x n

x c

n

   

 

x x





x3x xc x ¹

x







xsinx IR xcosx c xcosx IR xsinxc ^xcos





a   ^xsin





 a   x 1 tan² x

, 2 2

 

 

 

tan x xc

Théorème :

Soit F et G deux primitives respectives de deux fonctions f et g sur un intervalle I .

 La fonction F+G est une primitive su I de f + g .

 Soit  un réel , la fonction F est une primitive sur I def . Exemple :

Activité 1 page 99

III/ Calcul de primitives :

La fonction f Condition La primitive F u u' ⁿ , nIN^*

1

1 un

n





u v' v u' u v.

^u_n^'

u , nIN\ 0,1

 

 

1

1 u n

n

 

  ^{u v v u'} ₂ ^'

v

 ^{u x}

 

v ^'

2 u

u

 

u x ,  x I 2 u 'u u ^{u x}

 

3u u

1

'

n n

u u ^

, nIN\ 0,1

 

 



