Matrices.
I Introduction.
II Le produit matriciel.
III Systèmes linéaires.
IV Inverse d’une matrice.
V Lien avec les suites récurrentes.
VI Puissance d’une matrice.
I Introduction.
Définition : Une matrice carrée d’ordre n est la donnée d’un tableau à n lignes et n colonnes.
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
=
On la note parfois A=
( )
aij .On note Mn( )ℝ l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans ℝ.
Exemple :
1 2 5
0 3 2
1 17
A π
−
= −
, la matrice nulle d’ordre 2 : 0 0 0 0
ou encore la matrice identité d’ordre 4 : 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
=
.
Définition : Plus généralement, on peut définir une matrice n m× par la donnée d’un tableau de n lignes et de m colonnes.
1
11 12
1 2
...
... ... ... ...
...
m
n n nm
a a a A
a a a
=
Exemple :
1 0 0
3 1 2
0 2 252 8
e
A π
= −
−
.
Un cas particulier important est celui des vecteurs colonnes : 0 2 1 2 v
=
c’est une matrice n×1.
Remarque : Nous allons voir plus loin pourquoi il est important que les vecteurs soient exprimés en colonne !!
Maintenant que nous avons de nouveaux objets, on voudrait jouer avec. Pour cela, il faut suivre la même évolution que le premier homme avec les nombres. Il a commencé par créer l’addition.
Définition : Si A=(aij) et B=( )bij sont deux matrices de même taille, alors on définit la matrice A+ =B (aij+bij) de façon naturelle.
Exemple : 1 2 3 0 2 3 . . .
1 0 2 5 2 1 . . .
+ =
− −
.
L’étape suivante est de définir un produit. On commence léger avec le produit d’une matrice par un réel. C’est naturel car on voit tout de suite ce à quoi doit être égal A+A=….2A ! Et par continuité, on a
Définition : Soient A=(aij) une matrice et λ un réel. On définit la matrice ( ij)
A a
λ = λ de façon naturelle là encore.
Exemple : 1 2 3 . . .
5 1 0 2 . . .
− =
− .
Application : Imaginez que l’on veuille numériser une image comme celle-ci :
Il suffit de créer une matrice 16x32 remplie de 0 pour une case blanche et de 1 pour des cases noires. C’est un peu archaïque, on fait mieux en traitement de l’image maintenant (pour ceux qui sont intéressés, voir les matrice de Cholewski ou matrices creuses sur le net)
Si je veux une image en couleur, il suffit d’augmenter les valeurs possibles des coefficients.
Vu sous cet angle, à quoi correspond la somme de deux matrices ? Eh bien à la superposition de deux images ! Et la multiplication par un scalaire ? A un changement des couleurs (ou des contrastes si on suppose que λ∈
[ [
1; 2 .Un cas particulier amusant : Pour contourner la publicité dans les reportages, on voit apparaître de plus en plus des images bizarres ! En effet, en fond d’écran, derrière la
journaliste qui parle, le nom d’une grande marque de distribution est écrit en image miroir ! Ce n’est pas la télé ou l’annonceur publicitaire qui était fatigué, car, bien que l’action se passe
En fait, la publicité est sanctionnée par le CSA et plutôt que de perdre un temps fou à floutter les zones de publicités qui sont un peu partout et inévitables quand on fait un
reportage, les journalistes préfèrent bien souvent inverser l’image. Le nom de la marque n’est plus « lisible » et ils ne peuvent pas être accusés injustement. Mais quelle est la
transformation opérée sur la matrice ?
Il s’agit d’une symétrie axiale qui n’a pas vraiment d’application sur le plan mathématique, aussi, nous ne développerons pas plus avant cet aspect des choses.
Un cas particulier de transformation qui est en revanche utile à la théorie : Définition : Si A=(aij) est une matrice carrée alors on définit la matrice transposée de A partA=(aji) en utilisant la symétrie par rapport à la diagonale.
Exemple : Si
1 2 5
0 3 2
1 17
A π
−
= −
, alors
. . . . . . . . .
tA
=
.
II Le produit matriciel.
On a défini la somme de deux matrices, le produit par un réel. Il devient donc évident de faire la différence de deux matrices. Mais afin de jouer plus avant, on a besoin d’un produit interne. On impose le produit suivant :
Deux façons de le voir :
Le produit ligne-colonne (version 1):
Le produit ligne colonne (version 2):
Exemple : Soient 1 1
2 3
A −
=
−
et 0 2
1 1
B −
=
−
. Calculer AB et BA.
Remarque : LE PRODUIT N’EST PAS COMMUTATIF !
On pose 1 0
1 0
A −
=
, 7 2
3 1
B −
=
− , 1 2
C 3 7
=
et 1 0
0 1
I
=
. Calculer A AI BI AB ABC BC2, , , , , et CB .
Définition : Soit A=(aij) une matrice carrée d’ordre n. S’il existe une matrice
n( )
B∈M ℝ telle que AB= =In BA alors on dit que B est l’inverse de A. On note A−1=B. Remarque : L’inverse n’existe pas toujours et, quand il existe, il n’est pas clair qu’il est unique, ni même bilatère. On admettra ceci au niveau terminale.
Montrer que 1 2
2 4
A −
=− n’a pas d’inverse.
Nous n’avons traité que des produits matriciels entre matrices carrées de même ordre.
Mais rien n’empêche de faire le produit de matrices non carrées POUR PEU QUE LE NOMBRE DE COLONNES DE LA PREMIERE SOIT EGAL AU NOMBRE DE LIGNES DE LA SECONDE !!!
En termes plus techniques, si A∈Mn k, ( )ℝ et B∈Mk m, ( )ℝ , alors le produit AB existe et AB∈Mn m, ( )ℝ .
Effectuez les produits de tous les couples de matrices obtenus avec les quatre matrices suivantes, quand c’est possible.
1 2 3 0 1 1
1 0 1
A
=
−
, 1 0 1 B
=
−
, 2 0 1
1 1 2
C −
= − et D=
(
0 1 3)
.[seuls 9 produits sont possibles]
III Systèmes linéaires.
1. Systèmes 2x2 :
Rappels : On veut résoudre le système 10 4 3
6 2 5
x y
x y
+ =
+ = −
.
Procédés par substitution et combinaisons. On trouve 1 2;1 S
=
. Essayons de nous ramener à un produit matriciel :
En posant 10 4
6 2
A
=
, x
X y
=
et 3 B 5
=
− , on trouve AX=B. Il faudrait être capable de
1 1 1
I
A A X− =A B− ⇔ X = A B− Dans ce cas, on a
1 2 1
3 5
2 2
A 1
− −
−
=
.
A quelle condition un système n’a pas de solutions ? A quelle condition y en a-t-il une infinité ? Se ramener à un problème de colinéarité des vecteurs directeurs des deux droites.
Introduction du déterminant.
Définition : Soit a b
A c d
=
une matrice carrée d’ordre 2. On appelle déterminant de A le réel det A
( )
=ad−cb.2. Systèmes 3x3 :
Extension de la théorie précédente avec une vision dans l’espace. Nombre de cas possibles ?
Essayons de résoudre le système suivant :
2 0
2 4
4 x y z
x y x y z
− + =
+ =
− − = −
[…] Rappel des deux méthodes : opérations sur les lignes et les colonnes, substitution.
On obtient S ={(1, 2, 3)}.
IV Inverse d’une matrice.
Remarque : La notion d’inverse n’a de sens que sur des matrices carrées ! 1. En dimension 2 : On a le théorème suivant issu du programme :
Proposition (4.A) : Soit a b
A c d
=
une matrice carrée d’ordre 2. La matrice A est inversible si et seulement si det
( )
A ≠0 et1 1
det( )
d b
A A c a
− −
= −
2. Le cas particulier des polynômes annulateurs :
Imaginons que l’on sache à l’avance que A est telle que A2+3A I− =0. Alors on a facilement que (A A+3 )I =Iet donc A−1 = +A 3I (piece of cake !)
Cette méthode se généralise sans problème à des polynômes de degrés plus élevés. (En fait, on peut montrer que toute matrice d’ordre n possède un polynôme annulateur de degré n).
Exercez-vous sur 4 2 1 3
A
=
(on trouve A2−7A−10I =0 et
3 1
10 5
1
1 2
10 5
A
− −
−
=
) 3. Le cas général :
Dans le cas général, il existe des méthodes pour inverser des matrices d’ordre n. Ces méthodes ne sont pas au programme de terminale. Il est toutefois intéressant de commencer à s’y habituer et cela peut permettre de vérifier certains calculs sur des systèmes 3x3 par exemple.
Méthode de Gauss-Jordan pour inverser une matrice. L’idée est assez simple et basée sur l’intervention des matrices Bi j, ( )λ = +I λEi j, où I est la matrice identité et E et la i j, matrice nulle sauf pour le coefficient de la ligne i et de la colonne j qui vaut 1. On a donc une matrice avec des 1 sur la diagonale, des 0 partout ailleurs, sauf un λ qui traîne.
Voyons l’effet des ces matrices : On choisit l’exemple suivant :
1 2 1
2 1 0
1 1 1
A
−
=
− −
et 2,3
1 0 0 ( ) 0 1
0 0 1
B λ λ
=
Si on effectue les produits, on obtient :
2,3
1 2 1
( ) 2 1
1 1 1
B λ A λ λ λ
−
= + − −
− −
et 2,3
1 2 1 2
( ) 2 1
1 1 1
AB
λ
λ λ
λ
− −
=
− − −
Autrement dit, multiplier à gauche par ces matrices revient à agir sur les lignes (dans l’exemple, on a fait L2←L2+λL3) et multiplier à droite revient à agir sur les colonnes (dans l’exemple, on a fait C3←C3+λC2). Il s’agit donc d’une façon de formaliser les opérations sur les lignes et les colonnes. Mais peu importe, voici le lien entre système linéaire et matrice :
Dans l’exemple précédent, on avait à résoudre le système
2 0
2 4
4 x y z
x y x y z
− + =
+ =
− − = −
qui se traduit matriciellement par :
1 2 1 0
2 1 0 4
1 1 1 4
A
x y z
−
=
− − −
ou encore par
1 2 1 1 0 0 0
2 1 0 0 1 0 4
1 1 1 0 0 1 4
x y z
−
=
− − −
.
Agir sur les lignes de la matrice A revient à multiplier par des matrices de type Bi j, ( )λ à gauche. Rien ne nous empêche de le faire sur l’équation que nous venons d’écrire et de
recommencer toutes les opérations précédemment utilisées avec la méthode du pivot de Gauss afin d’obtenir :
3,1 2,1 3,1 2,1 3,1 2,1
0 1 2 1 0
( 1) ( 2) ( 1) ( 2) 4 0 5 2 ( 1) ( 2) 4
4 0 1 2 4
x x
B B A y B B I y B B
z z
−
− − = − − ⇔ − = − −
− − −
Et en changeant de pivot, on obtient une matrice triangulaire :
1
3,2 5 3,1 2,1
8 5
1 2 1 0
0 5 2 ( ) ( 1) ( 2) 4
0 0 4
x
y B B B
z
−
−
−
− = − −
−
On comprend bien qu’en poursuivant le raisonnement, on doit se ramener à une matrice identité à gauche afin d’avoir l’inverse de A à droite. En effet, si on y parvient, on aura trouvé une matrice B (produit de matrice de type Bi j, ( )λ ) telle que
0 4
I 4 x BA y B
z
=
−
. Cette matrice B sera alors l’inverse de A.
Mais pour que ce raisonnement soit correct, il faut continuer à multiplier à gauche et on ne peut donc agir que sur les lignes !! Notre nouveau pivot est −58, donc
5 5 1
1,3 8 2,3 4 3,2 5 3,1 2,1
8 5
1 2 0 0
0 5 0 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) 4
0 0 4
x
y B B B B B
z
− −
−
−
= − −
−
Et pour obtenir une matrice diagonale, on utilise le pivot central, en opérant toujours sur les lignes :
3
1 1
8 8 8
1 1 1 1
4 4 4
3 1 5
8 8 8
A− − −
−
=
Or,
3
1 1
8 8 8
5 5 5 5 5
2 1
1,2 5 1,3 8 2,3 4 3,2 5 3,1 2,1 4 4 4
3 1
5 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2)
1
B B B − B − B B − −
− −
− − =
Il reste juste à multiplier chacune des lignes par les bons coefficients pour avoir la matrice identité à gauche et on obtient :
3
1 1
8 8 8
1 1 1 1
4 4 4
3 1 5
8 8 8
1 3 1
1 2 2 2
8 3 1 5
A− − −
−
= = − −
−
(ouf !) Plusieurs remarques s’imposent :
1. Les calculs ne sont pas évidents (en fait, les calculs dépendent en grande partie du déterminant (qui se retrouve au dénominateur). Plus il est compliqué, plus les fractions le sont.
2. Cette méthode est ni plus ni moins que la méthode du pivot avec la contrainte supplémentaire de l’action à gauche uniquement, donc sur les lignes.
3. On peut utiliser le même raisonnement en agissant uniquement sur les colonnes (à droite donc.
4. Dans le cas où seule une résolution de système est demandée, il est plus simple de résoudre « à l’ancienne » sans faire appel aux matrices.
5. Dans tout le calcul, on peut s’affranchir des vecteurs et se contenter de la présentation suivante :
2 2 1
3 3 1
3
1 1 2
1 1 2
8 8 8 5
5 5 5
4 4 4
8 3 1
5 5 5
1 8
1 2 1 1 0 0
2 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1
1 2 1 1 0 0
0 5 2 2 1 0 2
0 1 2 1 0 1
... ...
1 0 0
0 5 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A I
L L L
L L L
L L L
− −
− − −
−
= =
− −
−
= − = − ← −
− − ← −
← +
= =
= =
3 1
8 8
1 1 1 1
2 2
4 4 4 5
3 1 5 5
3 3
8 8 8 8
L L
L L
− −
− −
←
←
IV Lien avec les suites récurrentes.
Un autre aspect des mathématiques dans lequel les matrices ont leur rôle à jouer est dans le domaine des suites récurrentes. En effet, imaginons un problème tel que l’étude des deux suites
4 2
1 5 5
3 1
1 5 5
n n n
n n n
u u v
v u v
+ +
= +
= +
avec
(
u v0, 0)
donné.En écrivant n n
n
X u v
=
, on a Xn+1 =AXn où
4 2
5 5
3 1
5 5
4 2 1
1 3 A 5
= =
.
On montre facilement par récurrence que Xn =A Xn 0. Au passage, on remarque l’analogie avec les suites géométriques.
En résumé, si l’on veut étudier une telle suite, il suffit d’être capable de calculer les puissances successives de A. C’est l’objet du chapitre suivant :
V Puissance d’une matrice.
Soit A une matrice carrée (peu importe l’ordre). On cherche dans tout ce paragraphe à calculer les puissances de A.
1. Si la matrice A est diagonale :
Sur un exemple, on voit bien ce qui se passe : si
0 0
0 0
0 0 A
α β
γ
=
, alors, une
récurrence rapide donne
0 0
0 0
0 0
n
n n
n
A α
β γ
=
pour n≥1. Aucune difficulté de ce côté-là.
2. Si la matrice A est triangulaire :
- La situation est déjà catastrophique et laisse peu d’espoirs pour le cas général.
En effet, rien qu’avec
1 1 0 0 2 1 0 0 3 A
=
, on trouve 2
1 3 1 0 4 5 0 0 9 A
=
, 3
1 7 6 0 8 19 0 0 27 A
=
… sans véritable idée du résultat a priori à part pour la diagonale qui semble avoir les mêmes propriétés que dans le cas précédent.
- Et si on annule la diagonale justement ? Que se passe-t-il ? On obtient un cas particulier intéressant :
Prenons
0 1 0 0 0 1 0 0 0 A
=
, alors 2
0 0 1 0 0 0 0 0 0 A
=
et 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 A
=
. C’est ce que l’on appelle des matrices nilpotentes (dans le sens où il existe une puissance pour lesquelles elles sont nulles).
3. Cas général :
Comme nous l’avons signalé ci-dessus, peu d’espoir d’avoir quelque chose de sympathique. L’idée est donc de se ramener à une matrice diagonale à tout prix. La théorie existe et n’est pas au programme de Terminale (en plus, elle est incomplète dans le sens où ça n’est pas toujours possible, on se contente parfois d’une triangulaire).
Mais restons loin de ces considérations. Dans notre cas, imaginons que l’on nous donne une matrice P inversible telle que A=PDP−1 où D est diagonale.
Que se passe-t-il pour A ? n
On a
1 1 1 1 1
( ) ...
n n n
I I I I
A = PDP− =PD P P D P P D P− − − P DP− =PD P.
Et voila, le tour est joué car on sait calculer la puissance d’une matrice diagonale.
4. Retour au cas des suites récurrentes :
Reprenons le cas précédent : On avait 1 4 2 1 3
A 5
=
si l’on donne 2 1
1 1
P
=
− , on trouve facilement 1 1 1 1
1 2
P− 3
= − et 1
2 5
1 0 D P AP− 0
= =
est bien diagonale.
Ainsi, le calcul donne
( ) ( )
( ) ( )
2 2
5 5
1
2 2
5 5
2 2 2
1
3 1 1 2
n n
n n
n n
A PD P−
+ −
= = − +
et
( ) ( )
( ) ( )
2 2
5 5 0
0 2 2
5 5 0
2 2 2
1
3 1 1 2
n n
n n
n n n
n
u u
X A X
v v
+ −
= = =
− +
.
D’où
( ) ( )
( ) ( )
2 2
0 0
5 5
2 2
0 0
5 5
1 1
2 2 2
3 3
1 1
1 1 2
3 3
n n
n
n n
n
u u v
v u v
= + + −
= − + +
et en passant à la limite, on obtient :
0 0
1 2
lim n 3 3
n u u v
→+∞ = + et 1 0 1 0
lim n 3 3
n v u v
→+∞ = + car 2
5 <1.
