Corrigé du DS du 10/04/2020 Exercice 1 :
A faire avec un cercle trigo :
1) Le réel − a le même point-image sur le cercle trigonométrique que : c)
En effet, − − = − = −12
2) Lorsque ∈ ; 2 : b) cos () ≥ 0 et sin () ≤ 0 3) Dans l’intervalle 0; , l’équation cos() = − admet : b) exactement une solution (c’est
)
4) Sur l’intervalle – ; , les solutions de l’inéquation sin() > sont : c) ; 5) Soit ∈ ; 2 tel que cos() = ", alors on a :
c) sin() = − (en effet, sur ; 2, le sinus est négatif)
6) Soit ∈ 0; tel que sin() =", alors on a : d) cos() =√"
En effet, (cos()) = 1 − (sin()) = 1 − $"% = 1 − = Sur 0; , cos () ≥ 0 donc , cos() = '=√"
Exercice 2 :
2) On sait que √
= cos" donc −√ = cos"
La valeur ( cherchée est
"
3) a) cos = −√ = cos"
) = *3 4 -
b) ) = .−" ;"/ c) ) = ." ;"/
Exercice 3 : 1)
0
6
4
3
tan() cos(0) =sin(0) 01 = 3
sin $ 6%
cos $ 6%=
12
√32
= 1
√3= √4 4
sin $ 4%
cos $ 4%=
√22
√22
= 5
sin $ 3%
cos $ 3%=
√32 12
= √4
sin()
cos() =−1 = 30
2) Pour tout réel tel que cos () ≠ 0 :
tan( + 2) = sin( + 2)
cos( + 2) = sin()
cos() = tan() On en déduit que la fonction tan est 2 −périodique.
Remarque : on pourrait montrer que la fonction tan est −périodique (voir l’année prochaine).
3) Pour tout réel tel que cos () ≠ 0 : tan(−) = sin(−)
cos(−) = − sin()
cos() = − tan() On en déduit que la fonction tan est impaire.
4) Pour tout réel tel que cos () ≠ 0 : 1 + (tan()) = 1 + (sin())
(cos()) =(cos())
(cos())+(sin())
(cos()) =(cos())+ (sin())
(cos()) = 1
(cos())
Exercice 4 :
1) a) 28² − 8 − 1 = 0 ⇔ 8 = 1 ou 8 = − b) D’après la résolution précédente,
2 sin²() − sin() − 1 = 0 ⇔ sin() = 1 ou sin() = − Dans l’intervalle 0; 2, on obtient :
; et . 2) a) =2>√2 + 1?@² = 4>2 + 2√2 + 1? = 4(3 + 2√2). b) On résout d’abord 48² + 2>√2 − 1?X − √2 = 0 :
∆= =2>√2 − 1?@² − 4 × 4 × >−√2? = 4(3 + 2√2)
Et, d’après la question précédente, ∆= =2>√2 + 1?@² : on obtient 8=D>√D?E>√E?
F = et 8 =D>√D?D>√E?
F = −√
Il reste à résoudre : cos () = et cos () = −√ Dans l’intervalle – ; , on obtient : −" ; − ; ; " .
